中考函数专题

中考函数专题中考函数专题 1 平面直角坐标系平面直角坐标系 相关知识点 1 定义 平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系 简称为直角坐标系 注意 画平面直角坐标系时 x 轴 y 轴上的单位长度通常应相同 但在实际应用中 有时 会遇到取相同的单位长度有困难的情况 这时可灵活规定单位长度 但必须注意的是 同一 坐标轴上相同长度的线段表示的单位数量相同 2 各个象限内点和坐标轴上点的特征 第一象限 点 P x y 则 x 0 y 0 第二象限 点 P x y 则 x 0 y 0 第三象限 点 P x y 则 x 0 y 0 第四象限 点 P x y 则 x 0 y 0 在 x 轴上 x 0 点 P x y 则 y 0 在 x 轴的正半轴 0 点 P x y 则 x 0 y 0 在 x 轴的负半轴 0 点 P x y 则 x 0 y 0 在 y 轴上 0 y 点 P x y 则 x 0 在 y 轴的正半轴 0 点 P x y 则 x 0 y 0 在 y 轴的负半轴 0 点 P x y 则 x 0 y 0 坐标原点 0 0 点 P x y 则 x 0 y 0 3 点到坐标轴的距离 点 P x y 到 x 轴的距离为 y 到 y 轴的距离为 x 到坐标原点的距离为 22 yx 4 中点与两点间的距离 已知点 11 yxA 22 yxB 则 2 21 2 21 yyxxAB AB 的中点 P 的坐标为 2 2 2121 yyxx P 5 点的对称 点 P m n 关于 x 轴的对称点坐标是 m n 关于 y 轴的对称点坐标是 m n 关于原点的对称点坐标是 m n 6 平行线 平行于 x 轴的直线上的点的特征 纵坐标相等 平行于 y 轴的直线上的点的特征 横坐标相等 7 象限角的平分线 第一 三象限角平分线上的点横 纵坐标相等 点 P a b 关于第一 三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是 b a 第二 四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数 点 P a b 关于第二 四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是 b a 8 点的平移 在平面直角坐标系中 将点 x y 向右平移 a 个单位长度 可以得到对应点 x a y 将点 x y 向左平移 a 个单位长度 可以得到对应点 x a y 将点 x y 向上平移 b 个单位长度 可以得到对应点 x y b 将点 x y 向下平移 b 个单位长度 可以得到对应点 x y b 注意 对一个图形进行平移 这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化 反过来 从图 形上点的坐标的加减变化 我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移 练习 1 点 P 在第二象限内 P 到 x 轴的距离是 4 到 y 轴的距离是 3 那么点 P 的坐标为 A 4 3 B 3 4 C 3 4 D 3 4 2 已知点 P 2 3 关于 y 轴的对称点为 Q a b 则 a b 的值是 A 1 B 1 C 5 D 5 3 已知点 A m 1 3 与点 B 2 n 1 关于 x 轴对称 则 m n 4 如果点 M a b ab 在第一象限 那么点 N b a 在第 象限 5 已知线段 AB 3 AB x 轴 若点 A 的坐标为 1 2 则点 B 的坐标为 6 已知点 B 3a 5 6a 2 在第二 四象限的角平分线上 则 a 7 已知第三象限内一点 P 到 x 轴的距离为 2 到 y 轴的距离为 4 则点 P 的坐标为 8 已知点 M a 1 3a 5 在两坐标轴夹角的平分线上 则 M 的坐标为 2 一次函数一次函数 定义 一次函数的概念 函数 y k b 为常数 k 叫做一次函数 当 b 时 函数 y k 叫做正比例函数 思考 bkxy n 为一次函数的条件是什么 正比例函数与一次函数的对比 练习 1 如果一次函数 y kx 3k 6 的图象经过原点 那么 k 的值为 2 已知 y 1 与 x 成正比例 且 x 2 时 y 4 那么 y 与 x 之间的函数关系式为 3 已知一次函数 y kx b k 0 在 x 1 时 y 5 且它的图象与 x 轴交点的横坐标是 6 求这 个一次函数的解析式 4 已知一次函数 y kx b y 随着 x 的增大而减小 且 kb0 在同一坐标系中的图象可能是 6 某医药研究所开发了一种新药 在实际验药时发现 如果成人按规定剂量服用 那么每毫 升血液中含药量 y 毫克 随时间 x 时 的变化情况如图所示 当成年人按规定剂量服药 后 1 服药后 时 血液中含药量最高 达到每毫升 毫克 2 服药 5 时 血液中含药量为每毫升 毫克 3 当 x 2 时 y 与 x 之间的函数关系式是 4 当 x 2 时 y 与 x 之间的函数关系式是 5 如果每毫升血液中含药量 3 毫克或 3 毫克以上时 治疗疾病最有效 那么这个有效时间是 小时 7 一次函数的图象过点 0 3 且与两坐标轴围成的三角形面积为 9 4 一次函数的解析式为 8 正方形 OCBA 111 1222 CCBA 2333 CCBA 按如图所示的方式放置 点 1 A 2 A 3 A 和点 1 C 2 C 3 C 分别在直线 y kx b k 0 和 x 轴上 已知点 1 B 1 1 2 B 3 2 则 n B 的坐标是 x y o x y o x y o x y o ABC D x 时 y 毫克 6 3 25O y x OC1 B2 A2 C3 B1 A3 B3 A1 C2 3 反比例函数反比例函数 相关知识点 1 反比例函数的概念 1 可以写成 的形式 注意自变量 x 的指数为 在解 决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件 2 也可以写成 xy k 的形式 用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的 k 从而得到反比例函数的解析式 3 反比例函数的自变量 故函数图象与 x 轴 y 轴无交点 2 反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时 应注意自变量 x 的取值不能为 0 且 x 应对 称取点 关于原点对称 3 反比例函数及其图象的性质 1 函数解析式 2 自变量的取值范围 3 图象 图象的形状 双曲线 越大 图象的弯曲度越小 曲线越平直 越小 图象的弯曲度越大 图象的位置和性质 与坐标轴没有交点 称两条坐标轴是双曲线的渐近线 当时 图象的两支分别位于一 三象限 在每个象限内 y 随 x 的增大而减小 当时 图象的两支分别位于二 四象限 在每个象限内 y 随 x 的增大而增大 对称性 图象关于原点对称 即若 a b 在双曲线的一支上 则 在双 曲线的另一支上 图象关于直线对称 即若 a b 在双曲线的一支上 则 和 在双曲线的另一支上 4 k 的几何意义 如图 1 设点 P a b 是双曲线上任意 一点 作 PA x 轴于 A 点 PB y 轴于 B 点 则矩形 PBOA 的面积是 三角形 PAO 和三角形 PBO 的面积都是 如图 2 由双曲线的对称性可知 P 关于原点的对称点 Q 也在双曲线上 作 QC PA 的 延长线于 C 则有三角形 PQC 的面积为 图 1 图 2 5 说明 双曲线的两个分支是断开的 研究反比例函数的增减性时 要将两个分支分别讨论 不能一概而论 直线与双曲线的关系 当时 两图象没有交点 当时 两图象必有两个交点 且这两个交点关于原点成中心对称 反比例函数与一次函数的联系 4 实际问题与反比例函数 1 求函数解析式的方法 待定系数法 根据实际意义列函数解析式 2 注意学科间知识的综合 但重点放在对数学知识的研究上 5 充分利用数形结合的思想解决问题 练习 1 下列函数中 y 是 x 的反比例函数的是 A y 3x B C 3xy 1 D 2 下列函数中 y 是 x 的反比例函数的是 A B C D 3 已知函数是反比例函数 若它的图象在第二 四象限内 那么 k 若 y 随 x 的增大而减小 那么 k 4 已知一次函数 y ax b 的图象经过第一 二 四象限 则函数的图象位于第 象限 5 若反比例函数经过点 2 则一次函数的图象一定不经过第 象限 6 已知 a b 0 点 P a b 在反比例函数的图象上 则直线不经过的象限 是 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 7 若 P 2 2 和 Q m m 是反比例函数图象上的两点 则一次函数 y kx m 的 图象经过 A 第一 二 三象限 B 第一 二 四象限 C 第一 三 四象限 D 第二 三 四象限 8 已知函数和 k 0 它们在同一坐标系内的图象大致是 A B C D 9 在反比例函数的图象上有两点 且 则 的值为 A 正数 B 负数 C 非正数 D 非负数 10 在函数 a 为常数 的图象上有三个点 则函 数值 的大小关系是 A B C D 11 下列四个函数中 y 随 x 的增大而减小的 函数有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 12 已知反比例函数的图象与直线 y 2x 和 y x 1 的图象过同一点 则当 x 0 时 这 个反比例函数的函数值 y 随 x 的增大而 填 增大 或 减小 13 如图 在函数的图象上有三个点 A B C 过这三个点分别向 x 轴 y 轴作垂线 过每一点所作的两条垂线段与 x 轴 y 轴围成的矩形的面积分别为 则 A B C D 第 13 题图 第 14 题图 14 如图 A B 是函数的图象上关于原点 O 对称的任意两点 AC y 轴 BC x 轴 ABC 的面积 S 则 A S 1 B 1 S 2 C S 2 D S 2 15 如图 Rt AOB 的顶点 A 在双曲线上 且 S AOB 3 求 m 的值 第 15 题图 第 16 题图 16 已知函数的图象和两条直线 y x y 2x 在第一象限内分别相交于 1 P 和 2 P 两点 过 1 P 分别作 x 轴 y 轴的垂线 11Q P 11R P 垂足分别为 1 Q 1 R 过 2 P 分别作 x 轴 y 轴的垂线 22Q P 22R P 垂足分别为 2 Q 2 R 求矩形 111 RPOQ 和 222 RPOQ 的周长 并比较它们的大小 17 如图 一次函数的图象与反比例数的图象交于 A B 两点 A 1 B 1 n 求反比例函数和一次函数的解析式 根据图象写出使一次函数的值大于 反比例函数的值的 x 的取值范围 18 如图 一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限 C D 两点 坐 标轴交于 A B 两点 连结 OC OD O 是坐标原点 利用图中条件 求反比例函数的解析式和 m 的值 双曲线上是否存在一点 P 使得 POC 和 POD 的 面积相等 若存在 给出证明并求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 4 二次函数二次函数 1 定义与定义表达式 一般地 自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系 cbxaxy 2 为常数 且决定函数的开口方向 时 开口方向向 abc0a a0a 上 时 开口方向向下 还可以决定开口大小 越大开口就越小 越小开口就 0a aaa 越大 则称 y 为 x 的二次函数 二次函数表达式的右边通常为二次三项式 2 二次函数的三种表达式 一般式 为常数 2 yaxbxc abc0a 顶点式 抛物线的顶点 P h k 2 ya xhk 交点式 仅限于与 x 轴有交点 A 0 和 B 0 的抛物线 12 ya xxxx 1 x 2 x 注 在 3 种形式的互相转化中 有如下关系 2 b h a 2 4 4 acb k a 2 12 4 2 bbac x x a 3 二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数的图像 2 yx 可以看出 二次函数的图像是一条抛物线 4 抛物线的性质 1 抛物线是轴对称图形 对称轴为直线 2 b x a 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P 特别地 当 b 0 时 抛物线的对称轴是 y 轴 即直线 x 0 2 抛物线有一个顶点 P 坐标为 2 4 24 bacb P aa 当时 P 在 y 轴上 当时 P 在 x 轴上 0 2 b a 2 4bac 3 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小 当 a 0 时 抛物线向上开口 当 a 0 时 抛物线向下开口 a 越大 则抛物线的开口越小 4 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 当 a 与 b 同号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴左 当 a 与 b 异号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴右 5 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于 0 c 6 抛物线与 x 轴交点个数 0 时 抛物线与 x 轴有 2 个交点 2 4bac 0 时 抛物线与 x 轴有 1 个交点 2 4bac 0 时 抛物线与 x 轴没有交点 2 4bac 5 二次函数与一元二次方程 特别地 二次函数 以下称函数 2 yaxbxc 当 y 0 时 二次函数为关于 x 的一元二次方程 以下称方程 即 2 0axbxc 此时 函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根 函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的 根 练习 1 已知函数是关于 x 的二次函数 则 k 2 4 2 kk ykx 2 在边长为 4m 的正方形中间挖去一个长为 xm 的小正方形 剩下的四方框形的面积为 y 则 y 与 x 间的函数关系式为 3 二次函数 y ax2 bx c 的图像如图 则点 M b 在 c a A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 4 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 2 所示 则下列结论 a b 同号 当 x 1 和 x 3 时 函数值相等 4a b 0 当 y 2 时 x 的值只能取 0 其中正确的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5 已知 关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 3 的一个根为 x 2 且二次函数 y ax2 bx c 的 对称轴是直线 x 2 则抛物线的顶点坐标为 A 2 3 B 2 1 C 2 3 D 3 2 6 把二次函数的图象向左平移 1 个单位 然后向上平移 3 个单位 则平移后的图象 2 yx 对应的二次函数的关系式为 A B 2 1 3yx 2 1 3yx C D 2 1 3yx 2 1 3yx 7 若A B C 为二次函数的图象上的三点 则 1 4 13 y 2 4 5 y 3 4 1 y2 45yxx 的大小关系是 1 y 2 y 3 y A B 123 yyy 213 yyy C D 312 yyy 132 yyy 8 二次函数 的图像的顶点坐标是 A 1 8 B 1 8 C 1 2 D 1 4 cbxaxy 2 2 365yxx 2 4bacbxy 9 抛物线 图像如图所示 则一次函数 与反比例函数 在同一坐标系内的图像大致为 abc y x 10 已知二次函数 则函数值 y 的最小值是 13123 2 xxy A 3B 2C 1D 1 11 将抛物线绕它的顶点旋转 180 所得抛物线的解析式是 2 21216yxx A B 2 21216yxx 2 21216yxx C D 2 21219yxx 2 21220yxx 12 已知二次函数 的图象如图所示 有下列结论 2 yaxbxc 0a 2 40bac 0abc 80ac 930abc 其中 正确结论的个数是 A 1 B 2 C 3