解析式未给定函数变形方法种种

解析式未给定函数变形方法种种解析式未给定函数变形方法种种 涉及未给定解析表达式的函数的相关问题通常较难 对同学的基本数学素质要求较 高 除了要掌握函数的基本性质之外 还要掌握一定的代数变形方法 本文精选几例给 同学们阅读 以期提高同学们的阅读 概括能力 掌握这类问题的解决方法 例例 1 函数对任意 R 都有 并且当时 xfa b1 bfafbaf0 x 1 xf 1 求证 是 R 上的增函数 xf 2 若 解不等式 5 4 f3 23 2 mmf 解解 设 R 且 则 1 x 2 x 21 xx 0 12 xx1 12 xxf 12 xfxf 1112 xfxxxf 1 1112 xfxfxxf 01 12 xxf 即 是 R 上的增函数 21 xfxf xf 2 22 4 ff1 2 2 ff5 3 2 f 不等式即为 3 23 2 mmf 2 23 2 fmmf 是 R 上的增函数 于是 xf223 2 mm 解之得 3 4 1 m 例例 3 已知定义在 R 上的函数对任意 R 都有 xfx y 成立 且方程有最小正根 c 存在 2 yfxfyxfyxf 0 xf 求证求证 1 且是偶函数 1 0 f xf 2 且是周期函数 2 xfcxf xf 3 即是有界函数 1 xf xf 证明证明 1 在条件式中令 得0 yx 0 0 2 0 0 ffff 解得或 0 0 f1 0 f 若 在条件式中令 得 0 0 f0 y 0 2 fxfxfxf 0 xf 方程的解是任意实数 与 有最小正根 矛盾 0 xf 1 0 f 在条件式中令 可得 0 x 0 2 yffyfyf yfyf 是偶函数 xf 2 2 cxcfcxcfxfxcf 0 2 cfxcf 2 xfxcf 又 而 2 2 4 ccxfcxf 2 xfcxf 0 c 是周期函数 xf 3 假设存在R 有成立 则 0 x1 0 xf 2 00 xcfxcf 0000 xcxcfxcxcf 2 2 0 xfcf 00 xxfccf 2 2 0000 xxfxfxfccfcfcf 0 2 0 2 00 fxfxffcfcf 2 2 0 2 xf0 1 2 0 2 xf 0 00 xcfxcf 但是 2 00 xccfxcf 00 xcfxcf 与 式矛盾 0 00 xcfxcf 对任意R 即是有界函数 x1 xf xf 例 4 函数的定义域为 R 且对任意 R 有 xfx y yfxfyxf 且当时 0 x0 xf2 1 f 1 证明 是奇函数 xf 2 证明 在 R 上是减函数 xf 3 求在区间上的最大值和最小值 xf 3 3 1 证明 证明 由 得 yfxfyxf xfxfxxf 0 fxfxf 又 0 0 00 fff 0 0 f 从而有 0 xfxf 是奇函数 xfxf xf 2 证明 证明 任取 R 且 1 x 2 x 21 xx 则 21 xfxf 1211 xxxfxf 1211 xxfxfxf 12 xxf 21 xx 0 12 xx0 12 xxf 即 从而在 R 上是减函数 0 12 xxf 21 xfxf xf 3 解 解 由于在 R 上是减函数 故在上的最大值是 xf xf 3 3 3 f 最小值是 3 f 由于 2 1 f 21 3 ff 2 1 ff 11 1 ff 1 1 1 fff 1 3f 6 2 3 6 3 3 ff 从而最大值是 6 最小值是 6 例例 5 设函数定义在 R 上 对任意实数 恒有 xfy mn 且当时 nfmfnmf 0 x1 0 xf 1 求证 且当时 1 0 f0 x1 xf 2 求证 在 R 上递减 xf 3 设集合 1 22 fyfxfyxA RayaxfyxB 1 2 若 求的取值范围 BA a 1 证明 证明 在中 令 得 nfmfnmf 1 m0 n 0 1 1 fff 1 0 xf1 0 f 设 则 令 代入条件式有 0 x0 xxm xn 0 xfxff 而 1 0 f1 1 xf xf 2 证明 证明 设 则 21 xx 0 12 xx1 0 12 xxf 令 则代入条件式 1 xm 2 xnm 12 xxn 得 即 1212 xxfxfxf 1 0 1 2 xf xf 12 xfxf 在 R 上单调递减 xf 3 解 解 由 1 22 fyfxf 1 22 fyxf 又由 2 知为 R 上的递减 点集表示圆的内部 xf1 22 yx A1 22 yx 由得点集表示直线 1 2 yaxf02 yax B02 yax 直线与圆相离或相切 BA 02 yax1 22 yx 于是 1 1 2 2 a 33 a 例例 6 已知函数对任意实数 都有 tfxy yxf yfxf 3 2 3 yxxy1 1 f 1 若 为自然数 试求的表达式 t Nt tf 2 满足条件的所有整数 能否构成等差数列 若能构成等差数列 求出此数ttf t 列 若不能构成等差数列 请说明理由 3 若 为自然数 且时 恒成立 求的最大值 t4 tmtmmttf3 14 2 m 解解 1 yxf yfxf 3 2 3 yxxy 393 1 1 2 ttftftf 2 1 1 tftftftftf 1 2 ff 1 f 1 2 1 3 22 tt 1 2 1 9 tt1 1 4 t 6 12 1 3 ttt tf 2 1 9 tt 1 1 4 t 33 23 tt 当 为自然数时 的解析式为 t tf tf33 23 tt Nt 2 当时 Nt tf33 23 tt 当时 在中 令 0 t yxf yfxf 3 2 3 yxxy0 yx 知 得 3 0 0 0 fff3 0 f 当时 Zt Nt 由 3 0 36 2 fttftfttf 得 66 2 ttftf66 3 3 223 ttt33 23 tt 综上所述 当时 Zt tf33 23 tt ttf ttt 33 23 1 1 t1 2 t3 3 t 0 1 2312 231 ttt 成等差数列 此数列