随机信号1.1-1.2.4

第一章概率与随机变量1 1随机事件及其概率 1 1 1随机现象现象 第一类 确定的 可以预测的第二类 随机的 不可预测的 随机现象 是指在相同条件下进行多次重复试验 有多种可能的结果 但在试验前不能准确预言它的结果 1 1 2随机试验为了掌握随机现象的统计规律 就必须对随机现象进行大量观测或试验 例1 抛硬币试验E1 抛一枚硬币 观察其正面H 反面T出现的情况 例2 掷骰子试验E2 掷一颗骰子 观察出现的点数 例3 产品抽样测试试验E3 在一批灯泡中任意抽取一只 测试它的寿命 这些试验均具有以下三个特点 1 试验可以在相同条件下重复进行 2 试验有多种可能结果 并且事先明确知道该试验的所有可能的结果 3 每次试验出现哪个结果 是不能准确预言的将具有以上三个特点的试验称为随机试验 简称试验 常用E来表示 1 1 3随机事件在随机试验的结果中 可能发生也可能不发生 但在大量重复试验中 却具有某种规律性的事件 叫做随机事件 简称为事件 1 1 4样本空间随机试验E的所有基本事件所组成的集合叫E的样本空间 记为S S中的元素就是试验E的基本事件 这里基本事件也称为样本点 1 1 6随机事件的频率和概率1 随机事件的频率一般地 在同样条件下 大量进行重复试验 来观察事件A发生或不发生 若在n次独立试验中 随机事件A出现nA次 比值称为事件A在这n次试验中出现的频率 2 概率的定义设E是随机试验 S是它的样本空间 对于E的每一事件赋予一实数 记为P A 称之为事件A的概率 显然 1 2条件概率与统计独立 1 2 1条件概率事件在一定条件下发生的情况 即在一个事件发生的条件下另一事件发生的概率 这就是条件概率问题 定义设A B为随机试验的两个事件 且P A 0 则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 类似地 有 P B 0 定义对于事件A与B 若则称事件A与B相互独立 简称独立 1 2 2事件的独立性 1 3随机变量及其概率分布 1 3 1随机变量的概念 E1抛硬币 可能出现正面或反面 E2从一批产品中任取10件 抽到的废品数可能是0 1 2 10中的一个数 E3掷骰子 可能出现1 2 3 4 5 6点 定义设随机试验的样本空间为S ei 如果对样本空间的每一个元素ei 都有一实数X ei 与之对应 对所有的元素 就得到一个定义在空间S上的实单值函数X e 称X e 为随机变量 简写为X 1 3 2离散型随机变量及其分布律 如果随机变量X只能取有限个或可列无穷多个数值 则称X为离散型随机变量 定义设X为一个离散型随机变量 它所有可能取的值为xk k 1 2 而pk k 1 2 是X取值xk时相应的概率 即或写成则称上式或表格表示的函数为离散型随机变量X的概率分布 或称为X的分布律 1 3 3连续型随机变量 对于可以在某一区间内任意取值的随机变量 它的值不是集中在有限个或可列无穷个点上 这就是连续型随机变量 1 3 4概率分布函数定义设X是一随机变量 x是任意实数 函数称为X的概率分布函数 简称为分布函数 1 3 5概率密度函数概率密度函数定义为概率分布函数F x 对x的导数 即有时简称为密度函数 1 3 6二维随机变量及其分布 1 二维随机变量及其分布函数定义设随机试验E的样本空间S e X X e 和Y Y e 是定义在样本空间S上的两个随机变量 由X和Y构成的矢量 X Y 称为二维随机矢量或二维随机变量 定义设 X Y 为二维随机变量 对于任意实数x和y 令则称FXY x y 为二维随机变量 X Y 的联合分布函数 或称二维分布函数 2 二维概率密度 定义若二维分布函数FXY x y 连续并存在二阶偏导数 则定义为 x y 的二维联合概率密度 简称为二维概率密度 4 随机变量的独立性 定义设X Y为两个随机变量 如果对任意实数x和y 事件和相互独立 即则称X和Y相互独立 1 4随机变量的数字特征 1 4 1数学期望对于连续随机变量X 它的概率密度为fX x 则其数学期望定义为 对于离散随机变量X 假定它有n个可能取值 各个取值的概率为 则数学期望定义为 若X Y是二个相互独立的随机变量 则有 1 4 2方差 连续随机变量X的方差定义为 离散随机变量X的方差定义为 若X Y是两个相互独立的随机变量 则有 1 4 3矩 n阶原点矩定义为 对于离散和连续随机变量 则分别有 n阶中心矩定义为 对于离散和连续随机变量 则分别有 二维随机变量X和Y的n k阶联合原点矩定义为 二维随机变量X和Y的n k阶联合中心矩为 当n 1 k 1时 二阶联合原点矩为它又称为X和Y的相关矩 当n 1 k 1时 二阶联合中心矩为它又称为X和Y的协方差 由协方差定义得相关系数定义为 当时 则称X与Y不相关 若 则称X与Y相关 当 称为正相关 当 称为负相关 1 4 4统计独立与不相关 统计独立 对于随机变量而言 X和Y相互统计独立的充要条件为 下面对这两个概念进行讨论 1 随机变量X和Y相互统计独立的充要条件为 2 随机变量X与Y不相关的充要条件是 3 若两个随机变量统计独立 它们必然不相关 4 两个随机变量不相关 则它们不一定互相独立 5 若随机变量X Y的相关矩为零 即则称X Y互相正交 1 5随机变量的函数变换 这个函数关系的含义为 在随机试验E中 设样本空间为S ei 对每一个试验结果ei 对应于X的某个取值X ei 相应地指定一个Y ei 且Y ei 与X ei 有如下关系 显然 Y的概率特性与X是有关系的 1 5 1一维变换 若随机变量X Y满足下列函数关系如果X与Y之间的关系是单调的 并且存在反函数 即若反函数h Y 的导数也存在 则可利用X的概率密度求出Y的概率密度 综合上述讨论 得到 如果X和Y之间不是单调关系 即Y的取值y可能对应X的两个或更多的值x1 x2 xn 假定一个y值有两个x值与之对应 则有 一般地 如果y g x 有n个反函数h1