随机过程(2.3)

目录 2 1概率空间与随机变量2 2随机变量的数字特征2 3随机向量及其联合分布2 4条件数学期望2 5矩母函数和特征函数 2 3随机向量及其联合分布 2 3 1n维随机向量2 3 2二维离散型随机向量2 3 3连续型随机向量2 3 4随机向量的数字特征2 3 5独立与相关 一 n维随机向量的定义 2 3 1n维随机向量 2 3 1n维随机向量 二 n维随机向量的分布函数 2 3 2二维离散型随机向量 一 二维离散型随机向量 1 定义 2 二维离散型随机变量的联合分布律 2 3 2二维离散型随机向量 3 二维离散型随机变量联合分布律的性质 2 3 2二维离散型随机向量 二 边缘分布函数 边缘分布也称为边沿分布或边际分布 1 边缘分布的定义 2 3 2二维离散型随机向量 2 求边缘分布律 2 3 2二维离散型随机向量 2 3 2二维离散型随机向量 一 n维连续型随机向量 2 3 3连续型随机向量 1 定义 2 概率密度的性质 2 3 3连续型随机向量 3 二元分布函数的几何意义 y o x y X Y 2 3 3连续型随机向量 x 4 分布函数具有以下的基本性质 1 F x y 是变量x y的不减函数 即对于任意固定的y 当x1 x2时 对于任意固定的y 且 对于任意固定的x 当y1 y2时 对于任意固定的x 2 3 3连续型随机向量 3 F x y F x 0 y F x y F x y 0 即F x y 关于x右连续 关于y也右连续 y x o x1 x2 y1 y2 X Y x2 y2 x2 y1 x1 y2 x1 y1 2 3 3连续型随机向量 二 边缘密度函数 1 已知概率密度函数求边缘密度函数 2 3 3连续型随机向量 2 已知联合分布函数求边缘分布函数 则分量X的分布函数为 则分量Y的分布函数为 2 3 3连续型随机向量 解 3 例子 2 3 3连续型随机向量 2 3 3连续型随机向量 所以 2 3 3连续型随机向量 2 3 3连续型随机向量 结论1 结论2 2 3 3连续型随机向量 三 连续型随机变量和的分布 2 3 3连续型随机向量 2 3 3连续型随机向量 由于X Y的对称性可得 2 3 3连续型随机向量 2 3 3连续型随机向量 2 3 4随机向量的数字特征 一 期望 二 协方差 称Cov X Y E X EX Y EY EXY EXEY为随机变量X Y的协方差 Cov X X DX 1 协方差的定义 2 协方差矩阵 2 3 4随机向量的数字特征 1 Cov X Y Cov Y X 2 Cov aX bY abCov X Y 3 Cov aX bY cZ acCov X Z bcCov Y Z 3 协方差的性质 2 3 4随机向量的数字特征 称为随机变量X Y的相关系数 是一个无量纲的量 1 相关系数的定义 三 相关系数 由性质2 发现 协方差数值反映了随机变量X和Y相互间的关系 但是它受到随机变量本身数值大小的影响 因此 将协方差规范化 2 3 4随机向量的数字特征 2 相关系数的性质 证明 2 3 4随机向量的数字特征 说明 2 3 4随机向量的数字特征 n维正态随机向量 2 3 4随机向量的数字特征 2 3 4随机向量的数字特征 2 3 5独立与相关 一 随机变量的独立性 说明 结论 在独立的条件下有 2 3 5独立与相关 二 离散型随机变量的独立性 2 3 5独立与相关 三 连续型随机变量的独立性 2 3 5独立与相关 四 n维随机变量的独立性 注意 若X Y独立 f x g y 是连续函数 则f X g Y 也独立 1 定义 2 3 5独立与相关 2 性质 2 3 5独立与相关 2 3 5独立与相关 证明 EXY EXEY 所以 Cov X Y 0 由数学期望的性质 定理 若X Y独立 则X Y不相关 反之 不然 若X Y独立 注意 若E X EX Y EY 则X Y一定相关 且X Y一定不独立 即EXY EXEY 五 独立性v