第二部分：空间与图形的考法分析

第二部分：空间与图形的考法分析全国中考数学考试评价课题组“空间与图形”的内容主要涉及几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及平面图形的变换，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具2007年各地中考对“空间与图形”的考查依然占有较大的比重具体考法的设计方面呈现出这样的特点：既注重对基础知识和基本技能的考查，又突出对知识交汇点和动手操作能力及创新意识的考查；改变问题的设问方式，变封闭为开放，突出数学思想方法的理解和应用；注重数学与现实的联系；关注获取数学信息的能力以及“用数学”“做数学”的意识的考查一、“相交线与平行线”的考法分析（一）内容特点分析1自身结构特点“相交线与平行线”内容主要借助角来研究平面内两条直线之间的位置关系一方面，通过两条直线相交所成的角可以衡量它们相交的情况；另一方面，建立判定两条直线平行的方法：通过两条直线与第三条直线相交成的角的关系来判定这两条直线平行与否同时，也能通过两条直线的相交与平行获得对顶角、同位角、内错角等具有相等关系的角或邻补角和同旁内角等具有互补关系的角2在初中数学中的地位相交线与平行线是众多平面图形和空间图形的基本构成要素在图形中角的计算、角与角之间关系的探索与研究，大都以“相交线与平行线”的有关知识作为依据和基础（二）考法分析“相交线与平行线”的考法多以填空题、选择题和简单解答题的形式出现，具体有如下特点：1 注重考查平行线的判定和性质例1 学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图1(1)(4)）：从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ） 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行【2007年浙江省绍兴市中考试题】【考法评析】本题借助两次对折，将判定直线平行的依据蕴含在小敏的折纸过程之中，把对“双基”的考查，通过图示的操作过程灵活地展现出来，体现了新课程所倡导的学习方式例2 如图2，直线，F为垂足如果，那么的度数是 【2007年浙江省金华市中考试题】【考法评析】本题语言简洁、图形准确，重点考查了学生对平行线性质的理解和掌握情况此外，本题在重视基础、注重通性通法的前提下，还体现了一定的综合性例3 如图3，请你填写一个适当的条件： ，使【2007年黑龙江省佳木斯市中考试题】例4 如图4，AC交BD于点O，请你从下面三项中选出两个作为条件，另一个为结论，写出一个真命题，并加以证明，命题如下：已知：求证：【2007年甘肃省金昌中考试题】【考法评析】以上两题的背景材料自然、合理、公平，均以开放的形式，重点考查平行线的判定或性质，体现课程标准所倡导的数学学习方式无论是填空题还是证明题，均留给同学们自主发挥的空间，有利于同学们展示在数学课程学习中所取得的成就2 突出考查平行线的性质在综合问题中的应用例5 如图5，直线，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成、四个部分，规定线上各点不属于任何部分当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成，三个角 （1）当动点P落在第部分时，求证：；（2）当动点P落在第部分时，是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点P在第部分时，全面探究，之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论选择其中一种结论加以证明【2007年福建省福州市中考试题】【考法评析】本题融观察、猜测、验证、推理于一身，依据平行线的性质和三角形内角和定理，通过归纳和类比，巧妙地将“双基”和分类讨论的思想方法融合在一起考查二、“三角形”的考法分析（一）内容特点分析 1自身结构特点三角形的有关知识包括两类：其一，基于一个三角形的知识，包括三角形各个元素之间的关系（边之间的关系、角之间的关系、边与角之间的关系），以及有关的重要线段（高线、中线、角平分线、中位线）；其二，基于三角形之间关系的知识，如两个三角形之间的全等关系（性质与判定）等2在初中数学中的地位三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核心的内容三角形既是最基本的直线型平面图形，也是研究其他图形的工具和基础在初中，所有其他图形有关的计算问题、推理论证问题，大都可转化为三角形的问题来解决（二）考法分析“三角形”的考查形式多种多样，在填空题、选择题和解答题中均有体现，既可以独立成题，也可以同其他知识进行整合以综合题的形式出现其中，直接考查某个性质或定理的题目，是面向全体学生，体现“双基”，检测毕业水平，这里不做专门的评析1注重从多角度考查三角形的有关性质例1 已知三角形的三边长分别是3，8，x；若x的值为偶数，则x的值有（ ）6个5个4个3个【2007年广东省深圳市中考试题】例2 如图1，已知，那么 【2007年安徽省中考试题】【考法评析】以上两题分别把三角形三边之间关系和内角与外角之间的关系定理（或三角形内角和定理）作为重点考查的内容，再借助不等式的性质和互为补角之间的关系，通过适当辨析与运算求得结果，这使得题目在一定程度上还考查了学生简单的综合运用知识的能力例3 小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图2（1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2（2），再将图2（2）的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图2（3），则图2（3）中的等腰直角三角形的一条腰长为 ；同上操作，若小华连续将图2（1）的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形（如图）的一条腰长为 【2007年云南省中考试题】【考法评析】本题以考查“等腰直角三角形底边上的高与腰之间的关系（底边上的高腰）”为基础，采用连续折叠并以图形呈现的方式考查学生探究规律、猜想结论的能力试题背景公平，图文并茂，较好展现了问题的变化趋势2突出考查三角形的全等关系例4 如图3，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且以D为顶点作一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 【2007年辽宁省沈阳市中考试题】【考法评析】本题在突出考查全等三角形判定和性质的同时，还考查了对运用等腰三角形、等边三角形有关知识和常用的添加辅助线的技能，使得这种考法较为自然地提高了对知识点的覆盖率，增加了思维含量例5 如图4，在中，M是AB的中点，（1）求证：；（2）如果把条件“”改为“”，其它条件不变，那么不一定成立如果再改变一个条件，就能使成立请你写出改变的条件并说明理由【2007年广东省佛山市中考试题】【考法评析】本题（1）以直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）为前提，再借助平行线的性质、三角形全等（或平行四边形）的判定和性质证得结论，较好考查了学生基本的演绎推理能力；本题（2）通过对已知条件的变更，自然将合情推理和演绎推理有机地结合在一起3重点考查三角形与相关知识间的联系例6 如图5，点P是的角平分线上一点，过点P作交OB于点C若，则点P到OA的距离PD等于 【2007年河南省中考试题】【考法评析】本题借助角平分线的定义和平行线的性质，考查特殊的等腰三角形、直角三角形相关性质试题虽然涉及的知识点较多，但思路清晰，较好体现了重点知识重点考查的意图例7 如图6，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接OD（1）求证：是等边三角形；（2）当时，试判断的形状，并说明理由；（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形？【2007年福建省宁德市中考试题】【考法评析】本题以等边三角形为基础，依据旋转的性质，综合考查等边、直角、等腰三角形的相关知识，以及学生推理证明、猜想验证、分类讨论等多方面的能力本题的设置具有层次性，既突出“双基”，又重视能力，有利于不同层次的考生展示其真实的成绩三、“四边形”的考法分析（一）内容特点分析1自身的结构特点初中数学中，四边形部分（也包括多边形的一些内容）其特点是：概念、性质和定理较多，特别是四边形中的特殊四边形，例如：“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“正方形”和“梯形”，它们都能自成体系，同时又相互联系，密不可分2在初中数学中的地位四边形这部分内容体现着和三角形的紧密联系，突出地显示着图形向三角形转化的意义和作用四边形部分在初中数学中的地位突出地表现为三个方面：其一，四边形自身所具有的美妙而重要的性质，是解决更多数学问题和现实问题的基础；其二，本部分和图形变换中的“平移”、“轴对称”、“旋转变换”（特别是其中的中心对称）都有着广泛的联系，是提升学生合情推理能力的重要载体；第三，四边形部分是“演绎证明”充分展开的主要场所，承载着培养和发展学生演绎推理能力的巨大任务（二）考法分析四边形的有关问题不仅直接应用四边形的有关性质，还常常转化为用三角形的有关知识进行解决，多边形的许多问题也是通过转化，用三角形和四边形的知识达到解决的目的因此，四边形在中考命题的领域里扮演着重要的角色，同样是中考数学试卷中必考的内容，考查方式也是灵活多变，丰富多彩1普遍注意对四边形基本性质的考查例1 已知四边形ABCD中，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）【2007年上海市中考试题】【考法评析】此题以选择题的形式，对正方形的判定方法进行了全方位的考查，较好地体现了中考要突出考查“双基”的要求例2 图1背景中的点均为大小相同的小正方形的顶点，其中画有两个四边形，下列叙述中正确的是（ ）这两个四边形面积和周长都不相同这两个四边形面积和周长都相同这两个四边形有相同的面积，但的周长大于的周长这两个四边形有相同的面积，但的周长小于的周长 【2007年浙江省杭州市中考试题】【考法评析】本题巧妙地利用点阵为背景，结合勾股定理灵活考查学生的计算与分割图形的能力题目设计新颖，趣味性强，对学生的观察、抽象和概括能力都提出了一定的要求这种考法使得本题设置的具体问题及其蕴涵的数学思想方法在一定程度上能上升到标准的整体要求2注重四边形与图形变换的结合与应用例3 生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：如果由信纸折成的长方形纸条（图2）长为26cm，宽为xcm，分别回答下列问题：（1）为了保证能折成图2的形状（即纸条两端均超出点P），试求x的取值范围（2）如果不但要折成图2的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离（用x表示）【2007年山东省烟台市中考试题】【考法评析】本题以矩形为背景，以折叠为手段，将操作过程以图示方式呈现出来，把对知识（矩形和轴对称的性质）的考查过程融于观察、猜想、推理、计算之中试题考查重点侧重观察和理解，注重分析和应用，计算量小，较好体现了新课程的理念例4 如图3，正方形ABCD绕点A逆时针旋转后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O（1）以图中已标有字母的点为端点连接两条线段（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为，求旋转的角度n解：（1）我连接的两条相交且互相垂直的线段是 和 理由如下：（2）【2007年江苏省扬州市中考试题】【考法评析】本题以正方形的旋转为前提，融观察、猜想、推理、计算于一体，综合考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，以及“动”中寻“静”（探寻旋转中的不变量）和计算能力3突出对四边形中推理能力的综合考查例5 如图4，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，所围成的四边形EFGH显然是平行四边形（1）当四边形ABCD分别是菱形、矩形、等腰梯形时，相应的平行四边形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：四边形菱形矩形等腰梯形平行四边形（2）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？ 【2007年江苏省徐州市中考试题】【考法评析】本题比经典题目“连接四边形四边中点所得到的四边形是平行四边形”更具有一般性，但解决问题的方法具有一致性，即依据不同类型四边形对角线之间的关系对所作四边形的形状作出判断，反之亦然因而，在一定程度上全面考查了各类四边形的判定和性质例6 四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点如图5，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，则点P为四边形ABCD的准等距点（1）如图6，画出菱形ABCD的一个准等距点（2）如图7，作出四边形ABCD的一个准等距点（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图8，在四边形ABCD中，P是AC上的点，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且，求证：点P是四边形ABCD的准等距点（4）试研究四边形的准等距点个数的情况（说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明）【2007年浙江省宁波市中考试题】【考法评析】题目背景公平，问题设置体现层次性，充分考虑不同层次学生的需求，为优秀生提供更大的发挥空间本题具有探究价值，对应用新知识解决问题的能力提出了较高的要求，较好地考查了作图技能和合情、演绎推理的能力四、“圆”的考法分析（一）内容特点分析1自身的结构特点圆的知识主要分为三个方面：其一，半径、弧、弦、圆心角、圆周角等与圆有关的概念及其间的一些关系；其二，直线与圆及圆与圆的位置关系；其三，弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积等与圆有关的一些数量的计算2在初中数学中的地位圆为三角形的运用及化归思想的培养，以及巩固和深化“图形变换”的教学提供了理想的平台此外，圆在现实生活中还有着广泛的应用，为培养同学们的应用意识和解决实际问题的能力提供了很好的载体（二）考法分析圆的知识多以选择、填空和简单解答题的形式呈现，考查内容也以圆的基本性质以及切线的性质和判定的简单应用为主，以圆为载体的探究类试题有上升的趋势1重点考查圆的有关概念和性质例1 下列说法正确的有（ ）（1）如图1（），可以利用刻度尺和三角板测量圆形工件的直径；（2）如图1（），可以利用直角曲尺检查工件是否为半圆形；（3）如图1（），两次使用丁字尺（CD所在直线垂直平分线段AB）可以找到圆形工件的圆心；（4）如图1（），测倾器零刻度线和铅垂线的夹角，就是从P点看A点时仰角的度数1个2个3个4个【2007年内蒙古自治区鄂尔多斯市中考试题】【考法评析】本题以实物为背景，其内容与表述贴近实际，卷面亲切友好，体现人文关怀，考查的内容较为丰富，将圆的直径的判定（圆内最大的弦；90的圆周角所对的弦），圆心的确定（依据垂径定理，得到两条直径的交点），测倾器的原理等知识作为考查目标例2 如图2，AB，AC是圆的两条弦，AD是圆的一条直径，且AD平分，下列结论中不一定正确的是（ ）【2007年广西自治区南宁市中考试题】例3已知：如图3，AB为的直径，BC交于点D，AC交于点E，给出以下五个结论：；劣弧是劣弧的2倍；其中正确结论的序号是【2007年重庆市中考试题】【考法评析】以上两题分别以选择题和填空题的形式，对圆的相关知识进行了较为全面的考查例2题干文字不多，但内容丰富；例3将圆的有关知识同等腰三角形的性质有机融合在一起，并采用多个选项的形式呈现问题，大大增加了试题的知识含量，两题均较好体现新课程的理念例4如图4，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为的方向折向行走按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时，则的度数是（ ）【2007年山东省济宁中考试题】【考法评析】题目利用圆的半径相等，构造出一系列等腰三角形，再借助等腰三角形的性质和三角形内角和定理，以及这些等腰三角形的顶角之和为周角这一事实求得结果本题虽然用到了较多的数学知识，但都是最基础、最核心的重要内容2突出从多角度考查与圆有关的计算问题例5 如图5，在中，分别以B、C为圆心的两个等圆外切，两圆的半径都为1cm，则图中阴影部分的面积为 【2007年甘肃省陇南市中考试题】【考法评析】本题借助于扇形面积及有关的问题，侧重考查计算能力、等积变形能力和整体解决问题（等圆中，两扇形的圆心角之和为90）的能力例6 如图6，的半径为4cm，点A，C分别是射线BM，BN上的动点，且直线当AC平移到与相切时，AB的长度是（ ）8cm6cm4cm2cm【2007年海南省中考试题】【考法评析】本题将切线的性质同直线的平移结合起来，考查学生探究运动中的不变量问题和综合运用切线的性质、解直角三角形的知识解决问题的能力，较好体现了基础知识的综合与运用例7 如图7，已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长【2007年安徽省芜湖市中考试题】【考法评析】完成本题要求有较强的分析、综合、推理和探究能力同学们既可以由平移和圆的定义巧妙求解，也可以由轴对称的性质结合勾股定理设未知数运算求解，还可以由垂径定理和等腰三角形的判定等知识求解本题的探究和推理为学生提供了较多的选择空间五、“视图与投影”的考法分析（一）内容特点分析1自身的结构特点“视图”以“视”的基础上的“对应”为特征，建立起三维（空间）的基本几何体及简单物体与二维（平面）图形表示方法间的对应关系；“投影”以画图和相关的计算为特征，研究光线下实物与其影子的对应关系视图与投影可以视为研究同一问题的两种策略2在初中数学中的地位本部分内容在一定程度上提供了三维空间向二维平面转换的手段，运用这些手段的过程与培养和发展学生的“空间观念”在很大程度上具有统一性另外，实际生活中有这部分知识的大量原型，通过解决与这些原型有关的问题可以有效地发展学生的数学应用意识（二）考法分析视图与投影的知识是“课标”新增内容，各地中考多以三视图、展开与折叠和有实际背景的平行投影（太阳光线）、中心投影（电灯、光线）作为问题情景，采用选择题、填空题或解答题的形式加以考查1注重适当考查空间观念例1 下列三视图所对应的直观图是（ ）【2007年四川省绵阳市中考试题】【考法评析】本题给了实际物体的三视图，逆向考查其直观图，适当加大了对学生空间观念的考查力度例2 如图1，已知MN是圆柱底面的直径，NP是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿NP剪开，所得的侧面展开图是（ ）【2007年四川省德阳市中考试题】例3 在图2中添加一个小正方形，使该图形经过折叠后能围成一个四棱柱，不同的添法共有（ ）7种4种3种2种【2007年广西省南宁市中考试题】【考法评析】以上两题分别借助于展开圆柱的侧面和折叠立方体，有一定的思维含量，在一定程度上可以考查学生的空间观念、图形的操作能力和探究能力2重视适度考查平行投影与中心投影例4 如图3，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m若小芳比爸爸矮0.3m，则她的影长为（ ）1.3m1.65m1.75m1.8m【2007年吉林省中考试题】【考法评析】本题以生活中发生在自己身边的具体事例为背景，根据太阳光线平行这一事实，要求学生借助平行投影的性质，构造相似三角形进而求得结果，实现了对理解和应用平行投影性质的有效考查 例5 学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律如图4，在同一时间，身高为1.6m的小明（AB）的影子BC长是3m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得m（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为 m（直接用n的代数式表示）【2007年浙江省金华市中考试题】【考法评析】本题背景自然合理，拉近了数学与实际的联系题目以中心投影的性质作为解决问题的前提，进而考查相似三角形的性质及解直角三角形的能力六、“轴对称、平移与旋转”的考法分析（一）内容特点分析1自身的结构特点任何图形经过“轴对称、平移与旋转”变换后所得的新图形与原图形之间仅仅是位置发生了变化，其形状和大小都没有变化；“轴对称、平移与旋转”刻画了“两个全等图形”特定的位置关系，不同变换之下的图形之间都具有各自不同的性质，这些性质不仅能为合情推理提供依据，同时也是解决许多实际问题的重要工具2在初中数学中的地位这部分内容在初中数学中的地位主要体现在：第一，从变换的角度来研究诸如等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆等图形，有助于对这些几何图形形成更为概括的认识；第二，“轴对称、平移与旋转”可作为重要的研究手段和方法，在作图、探索与发现图形性质及图形关系等方面有着极为广泛的运用；第三，以上两个方面对提高学生的空间观念和合情推理能力具有重要的作用（二）考法分析基于“课标”的中考试卷中一般以操作探究的形式对这部分知识进行了重点考查1注重考查对变换性质的理解和运用例1 如图1，沿DE折叠后，点A落在BC边上的处，若点D为AB边的中点，则的度数为 【2007年海南省中考试题】【考法评析】本题以折叠三角形为背景，以灵活运用轴对称的性质为前提，再赋予关于边和角的一些条件，设计出问题，能有效地考查同学们对轴对称及其相关知识的掌握情况例2 如图2，在中，将沿直线BC向右平移2.5个单位得到，连接AD，AE，则下列结论中不成立的是（ ）且为等边三角形【2007年福建省莆田市中考试题】【考法评析】通过平移变换，将平移的性质同直角三角形、等腰三角形的相关知识巧妙地融合在一起，借助不同选项，系统、全面地考查平移性质，同时也较好体现了数学知识间的联系与综合2强化考查变换在推理论证中的工具作用例3 如图3，把两个三角板如图3放置，其中，斜边cm，cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转得到如图3这时AB与相交于点O，与AB相交于点F（1）求的度数；（2）求线段的长（3）若把三角形绕着点C顺时针再旋转得，这时点B在的内部、外部、还是边上？证明你的判断【2007年四川省德阳市中考试题】【考法评析】本题以旋转变换为背景，结合旋转变换的性质、特殊三角形的有关知识，综合运用操作探究、计算论证、猜想证明等手段来解决问题，问题的设计由浅入深，层次感强例4 如图4，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图4），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为，再将这两张三角纸片摆成如图4的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图4至图4中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决（1）将图4中的沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；（2）将图4中的绕点F顺时针方向旋转到图4的位置，交DE于点G，请你求出线段FG的长度；（3）将图4中的沿直线AF翻折到图4的位置，交DE于点H，请证明：【2007年浙江省义乌市中考试题】【考法评析】本题以同学们熟悉的矩形为背景，通过裁剪、组合，进而探究在各种变换下的一些具体问题（计算和证明），借助变换手段，全面考查观察、猜想、推理和计算能力此题虽然具有多变的操作过程，但都是“课标”的基本要求，起到突出考查“双基”的目的，有利于基本功扎实的同学展示在数学中所取得的成绩七、“相似形”的考法分析（一）内容特点分析1自身的结构特点图形的相似，是“形状相同”的两个图形间的一种关系，这种关系的数量刻画就是“相似比”这部分知识的核心表现为：两个图形相似的条件；利用性质特别是相似比解决两个图形相似情况下的有关问题 2在初中数学中的地位两个相似图形的对应边构成的比例等式，使其成为初中数学中有关线段长度计算的重要途径和工具另外，在“投影”和其他许多与相似相联系的问题中，相似的知识和思想也有着广泛的应用 （二）考法分析在中考试卷中，对相似形的考查体现在三个方面：其一，直接利用相似形的判定和性质，解决数学问题，突出基础；其二，借助相似形的判定和性质，解决实际问题，强调应用；其三，将相似形的有关知识作为解决综合性问题的中间过程，体现综合1简单考查相似多边形的性质例1 若如图1所示的两个四边形相似，则的度数是（ ）【2007年福建省宁德市中考试题】【考法评析】本题用简洁的语言文字和图形语言来展现，直接考查了相似多边形的性质2灵活考查相似三角形的判定和性质例2 如图2，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）【2007年海南省中考试题】【考法评析】本题内涵较为丰富，考生需熟练掌握相似三角形的所有判定条件才能获得正确的解答这样的考法既突出了基础，又具有一定的灵活性例3 如图3，点O是外的一点，分别在射线OA，OB，OC上取一点，使得，连接，所得与是否相似？证明你的结论【2007年湖北省十堰市中考试题】【考法评析】题目利用位似图形的设置方式，考查同学们对三角形相似判断条件的熟练掌握情况，具有较强的思维含量，同时还考查同学们严密的逻辑推理能力和语言表达能力例4 如图4是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为 cm【2007年山东省青岛市中考试题】【考法评析】本题利用物理中小孔成像的原理知识为背景，要求同学们读懂图形中所给出的数据，将问题转化为相似三角形中对应高的比等于相似比这一已有知识中去解决问题，既对同学们提出读图能力的要求，又提出了转化思想解决问题的策略，体现了利用数学解决跨学科问题的实质，在一定程度上表明了数学是一门有用的工具性学科3综合考查相似三角形与其他知识的联系例5 在中，点D在BC所在的直线上运动，作（A，D，E按逆时针方向）（1）如图5，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E求证：；当是等腰三角形时，求AE的长（2）如图5，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由；如图5，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由【2007年广东省佛山市中考试题】【考法评析】本题以相似三角形的判定和性质为基础，借助等腰直角三角形的性质，从等腰三角形的判定出发，系统考查学生对特殊三角形性质的理解和掌握情况，将分类讨论、操作探究、归纳猜想和推理论证自然融为一体，试题层次感强，有利于不同水平的考生展示自己在数学课程学习中所取得的成就八、“锐角三角函数”的考法分析（一）内容特点分析1自身的结构特点这一部分知识主要体现在：直角三角形中角与角、边与边和角与边之间的数量关系，这些关系将直角三角形各个元素有机地联系在一起，是解决直角三角形中边或角的相关问题的有力工具；通过解直角三角形及其应用，更加突出地展示了本部分内容的自身特点和在初中数学中的作用2在初中数学中的地位解直角三角形本身是一种工具，在实际问题中有着广泛的应用，同学们通过掌握这方面的知识可以进一步发展自己的数学应用意识此外，在数学内部凡是有关图形中量的计算问题，以及坐标系里点的坐标的计算，大多数的情况都需借助于构造及解直角三角形来解决，由此，它也是解决数学自身问题的重要工具（二）考法分析锐角三角函数知识重点应用在解直角三角形之中，渗透于同直角三角形相联系的大多数试题之中，同实际问题联系密切，且在大多数中考试卷中以不同形式反复考查，体现了重点知识加重考查力度的目的1关注对锐角三角函数定义的考查例1 如图1，P是的边OA上一点，且点P的坐标为， 则（ ）【2007年甘肃省陇南市中考试题】例2 在正方形网格中，的位置如图2所示，则的值为（ ）【2007年山西省太原市中考试题】【考法评析】以上两题分别借助于坐标系和网格直接考查学生掌握锐角三角函数定义的情况这样的考法有利于考查同学们掌握具体基础知识和基本技能的情况，引导初中加强基础知识和基本技能的教学2突出考查解直角三角形在实际问题中的广泛应用例3 某县妇联在“六一”国际儿童节到来之际，在县民族广场升起了一个氢气球以示祝贺（如图3），小明为测量氢气球离地面的高度CD，在地面上相距80米的A，B两点，测得，已知A，D，B三点在同一直线上，那么氢气球离地面的高度是多少米（精确到0.1米）？（参考数据，）【2007年广西自治区河池市中考试题】【考法评析】本题以学生最熟悉的氢气球为背景，借助解直角三角形的知识研究氢气球的高度由于试题使用的素材对所有考生具有公平合理性，同时题目图示将构造的直角三角形也呈现出来，这样的考法可以相对突出考查同学们运用解直角三角形解决实际问题的能力例4 “村村通路工程”加快了邵阳市建设社会主义新农村的步伐如图4，C村村民们欲修建一条水泥公路将C村与县级公路相连在公路A处测得C村在北偏东方向，前进500米，在B处测得C村在北偏东方向（1）为节约资源，要求所修公路长度最短试求符合条件的公路长度（结果保留整数）（2）经预算，修建1 000米这样的水泥公路约需人民币20万元按国家的相关政策，政府对修建该条水泥公路拨款人民币5万元，其余部分由村民自发筹集试求修建该条水泥公路村民需自筹资金多少万元【2007年湖南省邵阳市中考试题】【考法评析】本题选择具有地方特色的题材，以测量为载体，考查同学们如何解决实际问题解决这个问题的策略是转化为解直角三角形例5 一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图5所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形现需将其整修并进行美化，方案如下：将背水坡AB的坡度由改为；用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花（1）求整修后背水坡面的面积；（2）如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？【2007年四川省资阳市中考试题】【考法评析】本题以计算水库大坝坡面面积为问题，考查学生将计算坡面面积问题转化为直角三角形来解决，体现了数学在生活中的应用以及数学的价值和作用此外，题目设计了在大坝种草、栽花的情景，符合现代社会的提倡环境保护的时代要求，具有实际意义，使问题（2）的设计较为合理、自然 九、“图形与坐标”的考法分析（一）内容特点分析1自身的结构特点“图形与坐标”的内容使得形具有数的特征及数具有形的特征，体现了形与数的统一，也为人们研究几何图形提供了新的策略和方法2在初中数学中的地位掌握这部分知识是发展学生数形结合意识和思想的重要途径，也是用代数方法研究图形的起始与基础形式之一初中的许多几何图形问题与代数问题都可以借助“图形与坐标”的思想方法加以研究（二）考法分析在中考试卷中，以确定图形或物体位置和探索点的坐标的变化与图形变换之间的关系为主的问题，常常同“图形与变换”结合在一起进行考查1重视对图形与坐标对应关系的理解与应用例1 如图1，小手盖住的点的坐标可能为（ ）【2007年吉林省中考试题】【考法评析】本题语言简洁，图文并茂，题目表达清楚明了，改变了以往命题单纯使用文字叙述的缺陷，可以有效地考查是否理解点的坐标的意义例2 2008年奥运火炬将在我省传递（传递路线为：昆明丽江香格里拉），某校学生小明在我省地图上设定的临沧市位置点的坐标为，火炬传递起点昆明市位置点的坐标为如图2，请帮助小明确定出火炬传递终点香格里拉位置点的坐标为 【2007年云南省中考试题】【考法评析】本题以奥运火炬传递路线为背景，考查物体位置的确定，背景公平合理，时代感强，地方特色浓厚例3 已知：如图3，以O为位似中心，按比例尺，把缩小，则点E的对应点的坐标为（ ）或或【2007年江苏省泰州市中考试题】【考法评析】本题的问题是利用位似变换，在坐标系中将三角形进行缩小，既考查了对位似概念的理解，相似的应用，还考查了对坐标变换的掌握情况例4 如图4，是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案：在图5中，先画线段OA，将线段OA平移至CB处，得到风车的第一个叶片，然后将第一个叶片OABC绕点O逆时针旋转得到第二个叶片，再将，同时绕点O逆时针旋转得到第三、第四个叶片，根据以上过程，解答下列问题：（1）若点A的坐标为，点C的坐标为，写出此时点B的坐标；（2）请你在图5中画出第二个叶片；（3）在（1）的条件下，连接OB，由第一个叶片逆时针旋转得到第二个叶片的过程中，线段OB扫过的图形面积是多少？【2007年湖北省武汉市中考试题】【考法评析】本题将知识的形成过程用风车为背景进行考查，题目既用科学的语言文字叙述操作过程，同时又有图形展示，图文并茂，有利于学生展示自己在数学课程学习中取得的成就，具有较好的教育价值2关注了图形与坐标的综合应用例5 线段AB，CD在平面直角坐标系中的位置如图6所示，O为坐标原点若线段AB上一点P的坐标为，则直线OP与线段CD的交点的坐标为 【2007年山东省中考试题】【考法评析】本题通过坐标系内网格图，将点的坐标内含其中，较好考查了同学们读图、识图的能力，以及在此基础上综合运用作图、论证（借助相似三角形）手段获得正确的结果的能力例6 已知：如图7，在平面直角坐标系中，O为坐标