北京市崇文区09—10学年度高三第一学期期末考试（数学理）

崇文区20092010学年度第一学期期末考试 高三数学（理科） 2010.1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷1至2页，第卷3至5页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共40分）注意事项：1考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。2答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑。3答题卡上第卷必修用2B铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以遮住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。第卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若是虚数单位，则（A） （B） （C） （D）（2）已知命题：，那么下列结论正确的是（A）， （B），（C）， （D），（3）“”是“直线与直线相互垂直”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（4）设，则的大小关系是（A） （B） （C） （D）（5）已知是定义在上的偶函数，并满足，当时，则（A） （B） （C） （D）（6）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是是否结束输出开始（A） （B） （C） （D）（7）已知点分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（A） （B） （C） （D）（8）若函数的定义域为，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）崇文区20092010学年度第一学期期末统一练习 高三数学（理科） 2010.1第卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。俯视图侧（左）视图主（正）视图（9）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为_.（10）在极坐标系中，曲线所表示图形的面积为_. 甲乙677438028091（11）某班甲、乙两名同学进入高中以来5次数学考试成绩的茎叶图如图，甲、乙两人5次数学考试成绩的中位数分别为_，平均数分别为_.（12）在中，则的面积为_.（13）如图，已知是圆的切线，切点为，交圆于两点，则圆的半径为 ， .（14）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”.已知函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有_个.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共12分） 已知函数（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最大值和最小值及相应的值（16）（本小题共14分）在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，是中点（）在棱上求一点，使得平面； （）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值（17）（本小题共13分）一个商场经销某种商品，根据以往资料统计，每位顾客采用的分期付款次数的分布列为：123450.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元表示经销一件该商品的利润（）求购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款的概率；（）求的分布列及期望（18）(本小题共14分）已知函数（）若函数在处取得极值，且曲线在点，处的切线与直线平行，求的值；（）若，试讨论函数的单调性（19）（本小题共14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于，两点 （）求椭圆的方程；（）当直线的斜率为1时，求的面积；（）在线段上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.（20）(本小题共13分)已知为二次函数，不等式的解集为，且对任意，恒有，.数列满足，（）求函数的解析式；（）设，求数列的通项公式；（）若（）中数列的前项和为，求数列的前n项和.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）崇文区20092010学年度第一学期期末统一练习高三数学（理科）参考答案及评分标准 2010.1一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案DBACDDBA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11）84，82；84，84 （12） （13）1， （14）三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共12分）解：（） . 最小正周期. -6分 （） 当，即时，函数取得最大值. 当，即时，函数取得最小值.-12分（16）（共14分）（）当为棱中点时，平面.证明如下：分别为中点，又平面，平面平面. -4分（）连结，为中点，, ，.同理, ，.又,.,平面.平面平面平面. -9分（）如图,建立空间直角坐标系.则， ， .由（）知是平面的一个法向量.设平面的法向量为，则 .令，则，平面的一个法向量.二面角的平面角为锐角，所求二面角的余弦值为 -14分（17）（共13分）解：（）设“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”为事件 “购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”为事件 -1分 - 6分（）的可能取值为元，元，元 ， 的分布列为：（元） - 13分（18）（共14分）解：（）函数的定义域为. 由题意 ，解得. - 5分（）若， 则. （1）令，由函数定义域可知，所以当时，函数单调递增；当时，函数单调递增；（2）令，即当时，不等式无解；当时，函数单调递减；综上：当时，函数在区间为增函数；当时，函数在区间为增函数； 在区间为减函数.-14分 （19）（共14分）解：（）由已知，椭圆方程可设为 -1分 两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2， 所求椭圆方程为 - 4分（）右焦点，直线的方程为设，由 得 ，解得 -9分（）假设在线段上存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形因为直线与轴不垂直，所以设直线的方程