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数据包络分析法 DEA 1 1 DEA的简介2 C2R模型3 BC2模型4 投入冗余率和产出不足率5 deap2 1软件分析过程及结果解释6 DEA法的应用实例 2 1 DEA的简介 在人们的生产活动和社会活动中常常会遇到这样的问题 经过一段时间之后 需要对具有相同类型的部门或单位 称为决策单元 进行评价 其评价的依据是决策单元的 输入 数据和 输出 数据 输入数据是指决策单元在某种活动中需要消耗的某些量 例如投入的资金总额 投入的总劳动力数 占地面积等等 输出数据是决策单元经过一定的输入之后 产生的表明该活动成效的某些信息量 例如不同类型的产品数量 产品的质量 经济效益等等 再具体些说 譬如在评价某高校各个学院的时候 输入可以是学院的全年的资金 教职员工的总人数 教学用占用教室的总次数 各类职称的教师人数等等 输出可以是培养博士研究生的人数 硕士研究生的人数 大学生本科生的人数 学生的质量 德 智 体 教师的教学工作量 学校的科研成果 数量与质量 等等 根据输入数据和输出数据来评价决策单元的优劣 即所谓评价部门 或单位 间的相对有效性 3 数据包络分析 theDataEnvelopmentAnalysis 简称DEA 是1978年由美国著名的运筹学家A Charnes和W W Cooper等学者 以相对效率概念为基础发展起来的一种效率评价方法 他们的第一个模型被命名为C2R模型 从生产函数角度看 这一模型是用来研究具有多个输入 特别是具有多个输出的 生产部门 同时为 规模有效 与 技术有效 的十分理想且卓有成效的方法 1984年R D Banker A Charnes和W W Cooper给出了一个被称为BC2的模型 4 数据包络分析 即DEA 可以看作是一种统计分析的新方法 它是根据一组关于输入 输出的观察值来估计有效生产前沿面的 在有效性的评价方面 除了DEA方法以外 还有其它的一些方法 但是那些方法几乎仅限于单输出的情况 相比之下 DEA方法处理多输入 特别是多输出的问题的能力是具有绝对优势的 并且 DEA方法不仅可以用线性规划来判断决策单元对应的点是否位于有效生产前沿面上 同时又可获得许多有用的管理信息 因此 它比其它的一些方法 包括采用统计的方法 优越 用处也更广泛 5 它也可以用来研究多种方案之间的相对有效性 例如投资项目评价 研究在做决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何 例如建立新厂后 新厂相对于已有的一些工厂是否为有效 DEA模型甚至可以用来进行政策评价 特别值得指出的是 DEA方法是纯技术性的 与市场 价格 可以无关 只需要区分投入与产出 不需要对指标进行无量纲化处理 可以直接进行技术效率与规模效率的分析而无须再定义一个特殊的函数形式 而且对样本数量的要求不高 这是别的方法所无法比拟的 6 DEA方法的特点 适用于多输出 多输入的有效性综合评价问题 在处理多输出 多输入的有效性评价方面具有绝对优势DEA方法并不直接对数据进行综合 因此决策单元的最优效率指标与投入指标值及产出指标值的量纲选取无关 应用DEA方法建立模型前无须对数据进行无量纲化处理 当然也可以 7 无无须任何权重假设 而以决策单元输入输出的实际数据求得最优权重 排除了很多主观因素 具有很强的客观性DEA方法假定每个输入都关联到一个或者多个输出 且输入输出之间确实存在某种联系 但不必确定这种关系的显示表达式 8 2 C2R模型 规模报酬不变 假设有t个被评价的同类部分 称为决策单元DMU 每个决策单元均有m投入变量和n个产出变量 如下 其中xij表示第j个DMU对第i种输入的投入量 xij 0 yrj表示第j个DMU对第r种输出的产出量 yrj 0 vi表示第i种输入的一种度量 或称 权 ur表示第r中输出的一种度量 或称 权 i 1 2 m r 1 2 n xij yrj为已知数据 可以根据历史资料得到 vi ur为变量 9 对应于一组权系数 输入矩阵 输出矩阵 10 各字母定义如下 xij 第j个决策单元对第i种类型输入的投入总量 xij 0yrj 第j个决策单元对第r种类型输出的产出总量 yrj 0vi 对第i种类型输入的一种度量 权系数ur 对第r种类型输出的一种度量 权系数i 1 2 mr 1 2 sj 1 2 n 11 每一个DMU都有相应的效率评价指数其中可以适当地选取权系数和 使其满足 12 对第j0个决策单元进行效率评价 一般说来 hj0越大表明DUMj0能够用相对较少的输入而取得相对较多的输出 这样我们如果对DUMj0进行评价 看DUMj0在这n个DMU中相对来说是不是最优的 我们可以考察当尽可能的变化权重时 hj0的最大值究竟是多少 13 该模型的基本思想 通过对样本的投入 产出数据的分析确定出有效生产前沿面 并根据个DMU与生产前沿面的距离状况 确定个DMU是否为DEA有效 14 如图所示 假设A B C D分别表示有效率的DMU 他们构成生产前沿面ABCD E表示无效率的DMU 设E 与C 分别为OE与OC在生产前沿面ABCD上的交点 则E的效率值为OE OE 1 而C得效率值为OC OC 1 15 现在对第j0个DMU进行效率评价 以权系数v和u为变向量 第j0个DMU的效率指数为目标 以所有的DMU 也包括第j0个DMU 的效率指数为约束 构建如下的最优化模型 16 其中 17 对该分式规划进行Charnes Cooper变换 令则有等价的线性规划问题 18 其对偶规划为 DC2R 并引入松弛变量为 其中 无约束 19 为第i个DMU的技术效率值 满足 当 1且时 则称DMU为DEA有效 当 1时 DMU为非DEA有效 20 3 BC2模型 规模报酬可变 1984年 Banker Charnes和Cooper为生产可能集合建立凸性性质 无效率性质 射线无限制性质和最小外插性质等四项公理 并引进了Shepherd距离函数的概念 将技术效率 TE 分解为纯技术效率 PTE 和规模效率 SE 即 TE PTE SE 通过增加对权重 的约束条件 建立如下的规模报酬可变模型 21 其中I 1 1 1 1 t 22 目标函数求得的即是纯技术效率 PTE 根据SE TE PTE可以求出规模效率SE PTE是测度当规模报酬可变时 银行与生产前沿面的距离 SE是测度当规模报酬可变时 生产前沿面与规模报酬不变时的生产前沿面的距离 23 4 投入冗余率和产出不足率 根据DMU在DEA相对有效面的投影原理 如果S0 S0 以及 0是C2R模型的解 则作为在DEA相对有效面上的投影 其构成的投入和产出相对于原来的n个DMU是有效的 则投入冗余和产出不足分别为 投入冗余率为 产出不足率为 24 25 5 deap2 1软件分析过程及结果解释 第一步 设置参数 变量及选定所用模型 eg1 dtaDATAFILENAMEeg1 outOUTPUTFILENAME16NUMBEROFFIRMS1NUMBEROFTIMEPERIODS4NUMBEROFOUTPUTS3NUMBEROFINPUTS00 INPUTAND1 OUTPUTORIENTATED10 CRSAND1 VRS00 DEA MULTI STAGE 1 COST DEA 2 MALMQUIST DEA 3 DEA 1 STAGE 4 DEA 2 STAGE 26 第二步 结果解释 1 效率分析EFFICIENCYSUMMARY firmcrstevrstescale四列数据分别表示 firm样本次序 crste不考虑规模收益是的技术效率 综合效率 vrste考虑规模收益时的技术效率 纯技术效率 scale考虑规模收益时的规模效率 规模效率 纯技术效率和规模效率是对综合效率的细分 最后有一列irs drs 分别表示规模收益递增 不变 递减 27 2 SUMMARYOFOUTPUTSLACKS SUMMARYOFINPUTSLACKS分别表示产出和投入指标的松弛变量取值 即原模型中的s值 28 3 SUMMARYOFPEERS 表示非DEA有效单元根据相应的DEA有效单元进行投影即可以实现相对有效 后面有相应的权数SUMMARYOFPEERWEIGHTS 29 4 SUMMARYOFOUTPUTTARGETS SUMMARYOFINPUTTARGETS为各单元的目标值 即达到有效的值 如果是DEA有效单元则是原始值 30 5 FIRMBYFIRMRESULTS即针对各个单元的详细结果 originalvalue表示原始值 radialmovement表示投入指标的松弛变量取值 即投入冗余值 slackmovement表示产出指标的松弛变量取值 即产出不足值 projectedvalue达到DEA有效的目标值 31 第三步 针对各结果 进行分析 针对结果进行效率分析 投入冗余产出不足分析 投影分