自动控制原理第五章

1 第五章第五章第五章第五章 频域分析法频域分析法频域分析法频域分析法 目的 直观 对高频干扰的抑制能力 对快 高频 慢 低频 信号的跟踪能力 便于系统的分析与设计 易于用实验法定传函 5 1 5 1 5 1 5 1 频率特性频率特性频率特性频率特性 一一 定义定义 1n psps s sG 在系统输入端加一个正弦信号 tRtr m sin 22 jsjs R s R sR mm 系统输出 1 jsjs R psps s sY m n 2 tjtj eAeAtyty 瞬态响应 1 若系统稳定 即的极点全位于 左半平面 则 sGs0 lim 1 ty t 稳态响应为 tjtj ss eAeAty 而 2 1 22 jGR j js s R sGA m js m 2 1 22 jGR j js s R sGA m js m tj m tj mss ejGR j ejGR j ty 2 1 2 1 2 1 tjtj m ejGejGR j 又为 的有理函数 故 即 sGs jGjG 3 j ejGjG j ejGjG 2 1 tjtj mss eejGR j ty sin tjGRm sin tYm 可见 对稳定的线性定常系统 加入一个正弦信号 其稳态响应也是一个同频率的 正弦信号 其幅值是输入正弦信号幅值的倍 其相移为 jG jG 表示了稳定线性定常系统的稳态输出和输入正弦波之间的 jGjGjG 关系 故称为频率响应函数 又称为系统的频率特性 jG jG 可证 见上面 的求法 jR jY sGjG js AA 22 s ejGR sY j m j ejG sR sY 即系统正弦稳态响应与其输入量之比称为系统的频率特性频率特性 4 二 表示方法二 表示方法 jGjGjG j eA 为系统的幅频特性 为系统的相频特性 0 A 1 极坐标图 奈奎斯特图 幅相特性图 是复数 亦可看作一个矢量 jG 从变化时 矢量的端点在复平面上的运动轨迹 0 jG 正相角按正实轴方向反时针旋转定义 用来表示频率特性的平面称为平面 jGG 的幅相特性是 平面上的虚轴通过传递函数在平面上的映射 jGs jGG 5 2 对数频率特性 伯德图 对数幅频特性 lg lg20 AL 相频特性 lg 及的变化范围太大 故用对数坐标表示 A 纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的 是均匀的 横坐标按频率对数标尺刻度 但标出的是实际的值 是不均匀的 lg 这种坐标系称为半对数坐标系 在横轴上 对应于频率每增大 10 倍的范围 称为十倍频程 dec 如 1 10 5 50 而 轴上所有十倍频程的长度都是相等的 6 为了说明对数幅频特性的特点 引进斜率的概念 即横坐标每变化十倍频程 即变 lg 化 所对应的纵坐标分贝数的变化量 记为 decNdB 相频特性也是在半对数坐标系上表示 纵坐标相角是均匀的 横坐标同上不均匀 基本性质 串联环节总的对数幅频特性 1 n LLL 串联环节总的相频特性 1 n 互为倒数的传递函数 其 均以横坐标成镜像对称 L 1 2 1 jG jG lg20 lg20 2211 LjGLjG 2211 jjGjGj 3 对数幅相图 尼柯尔斯图 为参数L 直角坐标系 7 5 2 5 2 5 2 5 2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性典型环节的频率特性典型环节的频率特性 1 比例环节比例环节 0 j eKKjG KA KLlg20 0 极坐标图 对数坐标图 8 2 积分环节积分环节 2 11 j e j jG 1 A lg20 L L 90 极坐标图 对数坐标图 9 3 微分环节微分环节 2 j ejjG A lg20 L L 90 极坐标图 对数坐标图 10 4 惯性环节惯性环节 Ttgj e T Tj jG 1 22 1 1 1 1 22 1 1 T A 22 1lg20 TL Ttg 1 极 0 0 1 0 j ejG T 1 45 2 1 j e T jG 90 0 j ejG 对 近似法 1 T dBL0 二直线交点为1 T decdBTL 20lg20 T 1 T 10 10lg2020 dBL 11 T 100 2 10lg2040 dBL T n 10 n ndBL10lg2020 即 10 倍 20dB 20dB dec L 转角频率 处 T 1 dBL32lg20 最大误差发生处 5 一阶微分环节一阶微分环节 12 Ttgj eTTjjG 1 22 11 22 1 TA 22 1lg20 TL Ttg 1 极 0 0 1 0 j ejG T 1 45 2 1 j e T jG 90 j ejG 对 与惯性环节成镜像对称 6 振荡环节振荡环节 13 22 2 2 nn n jj jG 2 21 1 nn jj 2 1 222 2 2 1 2 exp 4 1 1 n n n n tg 222 2 2 4 1 1 n n A 222 2 2 4 1 lg20 n n L 2 1 1 2 n n tg 极 14 0 0 1 0 j ejG n 90 2 1 j n ejG 180 0 j ejG 对 的渐近线 L n dBL0 n 4 lg20 n L n lg40 dec dB40 为交接 转角频率 n 2lg 20 L 7 二阶微分环节 二阶微分环节 15 2 21 nn jjjG 极 对 与振荡环节成镜像对称 5 3 5 3 5 3 5 3 开环系统的频率特性开环系统的频率特性开环系统的频率特性开环系统的频率特性 16 一一 开环系统的极坐标图开环系统的极坐标图 开环频率特性的一般形式 1 1 1 1 1 1 21 210 Nn N m TjTjTjj jjjK jG 1 由决定时的形状N0 时0 0 1 i j 0 1 1 i Tj 90 1 j 90 lim 0 NjG 0 0 lim 0 0 N NK jG 17 0 型系统 0 N 0 jG 0 KjG 1 I 型系统 N 90 jG jG 2 II 型系统 N 180 jG jG 2 由决定时的形状nm 时 90 1 i j 90 1 1 i j 90 1 j 90 90 90 lim NnNmjG 90 nm nmK nm jG 0 0 lim 18 例 已知 1 1 1 1 321 jTjTjTj jG 求作极坐标图 解 0 m4 n1 N 90 lim 0 jG 3600 lim jG 由可求与虚轴交点处频率 0 Re jG y 由可求与实轴交点处频率 0 Im jG x 代入及即与实 虚轴交点 Re x jG Im y jG 由时 沿平行于虚轴的渐近线0 jG0 渐近线与实轴的交点 Relim 0 jGVx 19 二二 开环系统的伯德图开环系统的伯德图 一般规则 1 将写成典型环节之积 jG 2 找出各环节的转角频率 3 画出各环节的渐近线 4 在转角频率处修正渐近线得各环节曲线 5 将各环节曲线相加即的波特图 jG 实验法测的方法 先图 再函数 jHjG 5 4 5 4 5 4 5 4 频域稳定判据频域稳定判据频域稳定判据频域稳定判据 由开环频率特性判别闭环稳定性的方法 此法的优点 主要靠作图 计算量很小 20 不仅能回答闭环系统是否稳定 而且还可以得出系统接近不稳定的程度 称为稳定裕度 不要求知道系统的微分方程或传递函数 而只要依靠实验测出其开环频率特性就可以 由于这些重要优点 Nyquist 稳定判据在控制系统稳定性的分析中有十分重要的地位 事 实上它是整个频域控制理论的基石 一 奈奎斯特稳定判据一 奈奎斯特稳定判据 1 与的关系 sF sT 1 sF sG sHsG sG sR sC sT 分母 1 1 sD sNsD sD sN sHsGsF 21 21 n m pspsps zszszs K 极点 开环的极点 sF sHsG 21 零点 闭环的闭环极点 sF sT 闭环稳定闭环极点在 s 左半平面 零点在 s 左半平面 sF 2 辐角原理 映射定理 2121nm pspspszszszssF s 平面 顺时针包围的 个零点 F 平面 顺时针绕原点 圈 sFz sFz 角增量z 2 s 平面 顺时针包围的个极点 F 平面 逆时针绕原点圈 sFp sFp 角增量p 2 22 s 平面 顺时针包围的个极点及 个零点 F 平面 绕原点逆时针转 sFpz sF 圈 zpN 3 映射定理在分析闭环稳定性中的应用 奈奎斯特围线奈奎斯特围线 令 s 平面上的封闭曲线包围全部右半 s 平面 曲线由整个轴 从到 j 和右半 s 平面上半径为无穷大的半园轨迹构成 轨 迹为顺时针 包含了的全部具有正实部的零极点 sF 若在此无零点 则此处亦无闭环极点 系统闭环稳 sF 定 如何知如何知 在此无零点在此无零点 sF 可由 的零点 的极点 即开环极点 知道 即可根据 zpN 0 z sF pN sF 逆时针绕原点的圈数 反推出闭环极点 则系统以 c 1 45 L 1 c 40dB dec 穿过 0dB 线 越大 越小 10时 临界稳定 45 1 1 c 7 5 b 只要 不会小于 以 20dB dec 穿过 0dB 线 若 则系统以 c 2 45 L 2 c 40dB dec 穿过 0dB 线 越小 越小 0 1时 临界稳定 45 2 1 c 7 5 结论结论 只要以 20dB dec 穿过 0dB 线 二阶系统至少有的 或离越远 L 45 1 2 c 37 越大 当以 20dB dec 穿过 0dB 线 或离越远 越小 L 1 2 c 若 b 的高频段再附加 60dB dec 斜率的线段 则 1 1 32 TjTjj K jG 此时 90 32 cc c arctgarctg 32 cc arctgarctg 高频段多一个惯性环节使 当以 40dB dec 穿过 0dB 线时 由于小时常的存在可能导致系统不稳定 L 3 T 结论 结论 以 20dB dec 穿过 0dB 能满足稳定性要求 中频段长度越长 越大 此 L 时对应 离有距离 90 c 180 中频段 中频段 附近斜率 20dB dec 的那一段 c L 38 简单系统 Ts s 1 G 1 1 T Ts s 在过 0dB L T c 1 dBL c 0 dBM c 3 即为截止频率 c 对复杂系统 近似为截止频率 c 4 高频段决定对高频干扰的抑制 高频段 1 jHjG 可从开环传递函数研究闭环频率特性 1 jG jHjG jG jT 希望从 此时闭环系统尽可能准确地复现输入信号 1 jT 0 39 希望保持高增益地频率范围宽 一些 但太宽干扰进来了 jG 5 6 5 6 5 6 5 6 校正方法校正方法校正方法校正方法 一 一 校正的概念校正的概念 定义 给系统附加一些具有某种典型环节特性的元件 有效地改善整个系统的控制性能 达 到指标的要求 即为校正 这一附加的部分称为校正元件 方法 利用根轨迹法 频率法用试探方式设计 分类 1 串联校正 40 又分 sGc 滞后 超前网络校正器 滞后网络校正器 超前网络校正器 2 并联校正 反馈校正 41 又分 sGc 硬反馈比例反馈 软反馈 加速度反馈 速度反馈 3 前馈校正 二 二 串联校正方法串联校正方法 42 RC 超前网络 1 超前校正 加开环零点可提供超前相位 使根轨迹向右弯曲 1 超前校正器 作用是提供一个超前相位 1 1 1 21 2 1 21 1 CSR RR R CSR RR R sE sE sG i o c 令 CRT 1 1 21 2 RR R Ts Ts Ts Ts sGc 1 1 1 1 43 极坐标图极坐标图 1 1 11 222 22 TtgTtg T T jGc 0 jGc1 jGc 最大超前角发生在处 m 1 1 2 1 2 1 sin m 1 1 sin 1 m 伯德图伯德图 为高通滤波器 转角频率 T 1 1 T 1 2 位于 m 的几何中点 TT 11 lg20 c L 44 TT 11 dBLc0 串联一个的放大器后 1 K 2 1 lg 2 11 lg 1 lg 2 1 lg TTT m T m 1 lg10 m L 2 超前校正 设单位反馈系统 原开环频率特性的 jGc 对数坐标图如右 时 0lg20 G0 不稳定 而加超前校正后稳定 45 作用 作用 可在截止频率处产生超前相位 以增加 增加频宽提高快速性 对提高作用很大 ss e 2 滞后校正 46 RC 滞后网络 1 滞后校正器 1 1 1 11 Ts Ts Ts Ts sGc CRT 2 1 2 21 R RR 极坐标图 11 11 sin 1 m 伯德图 为低通滤波器 2 滞后校正 47 设单位反馈系统 原开环频率特性的 Bode 图如下 jGc 滞后校正后 减少了频宽 12cc 作用 作用 抑制高频但降低快速性 对稳定裕度无很大影响 3 滞后 超前校正 48 1 1 1 1 21 21 TsTs TsTs sGc 低频段 滞后校正 高频段 超前校正 为带通滤波器 三 三 P I D