函数与导数的应用.doc

函数与导数的应用21.已知函数（1）当时，试判断函数的单调性；Ks5u（2）当时，对于任意的，恒有，求的最大值 21解：（1）当时，故在区间，上单调递增，在上单调递减；当时，故在区间，上单调递增，在上单调递减；Ks5u当时，恒有，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在区间上单调递增当时，在，上单调递增，在上单调递减；（2）解法一：设函数，即在上恒成立。即为的最小值。故在区间上单调递减，在区间单调递增。故，解法二：即与点连线斜率的最小值在时取到。设则，即，又，故已知:函数f(x)=a+ (a1) （1） 证明：函数f(x)在(-1,+ )上为增函数； （2）证明方程f(x)=0没有负根)证明：(1) 设-1x1x2+ f(x1)-f(x2) =a-a + - =a-a + （4） -1x10 a-a0 0 f(x1)-f(x2)0 即 f(x1)f(x2) ,函数f(x)在(-1,+ )上为增函数 （6） (2) 若方程有负根x0 (x0-1)，则有a= -1 若 x0-1 , -10 故 a -1 （10） 若 -1x02 而 aa0=1 a -1 综上所述，方程f(x)=0没有负根 已知函数f(x)x3ex2mx1(mR)，g(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)对任意x1，x2R，若g(x1)f(x2)恒成立，求实数m的取值范围解：(1)f(x)x22exm，令4(e2m)()当me2时，f(x)0f(x)在R上递增()当m0令f(x)0xef(x)在(，e)和(e，)递增令f(x)0ex0时，f(x)minme2x1，x2R，g(x1)f(x2)g(x)maxf(x)mine2.圆 锥 曲 线22如图，过点作抛物线 的切线，切点A在第二象限. ()求切点A的纵坐标;()若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线交椭圆的另一点为B，记切线，OA，OB的斜率分别为，求椭圆方程22.解：()设切点，且，由切线的斜率为，得的方程为，又点在上，即点的纵坐标()由() 得，切线斜率，设，切线方程为，由，得，所以椭圆方程为，且过，由，将，代入得：，所以，椭圆方程为例题1 如图，在直角梯形ABCD中，O为AB的中点， ,椭圆以A，B为两焦点且经过D点（1）求椭圆的方程（2）若点E满足,问是否存在直线与椭圆交于M，N两点，且,若存在,求直线的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.例题2 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线与椭圆C相交于两点A，B（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.已知椭圆C：1(ab0)经过点A(1，)，且离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)过点B(1,0)能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由已知抛物线W：yax2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线l1，l2.(1)求抛物线W的方程及其准线方程；(2)设直线l1，l2分别交抛物线W于B，C两点(均不与A重合)若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程解：(1)由于点A(2,1)在抛物线W：yax2上，所以14a，即a.故所求抛物线W的方程为yx2，其准线方程为y1.(2)不妨设直线AB的方程为y1k(x2)(k0)，由，得x24kx8k40，解得x2或x4k2，所以点B的坐标为(4k2,4k24k1)，易知直线BC的斜率为k，故同理可得点C的坐标为(4k2,4k24k1)，所以|BC|8k，线段BC的中点坐标为(2,4k21)，因为以BC为直径的圆与准线y1相切，所以4k21(1)4k，由于k0，解得k.此时，点B的坐标为(22,32)，点C的坐标为(22,32)故直线BC的斜率为1，所以，直线BC的方程为y(32)x(22)，即xy10.已知椭圆C：1(ab0)经过点A(1，)，且离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)过点B(1,0)能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解：(1)由已知e，即c2a2，b2a2c2a2，所以，椭圆方程为1，将A(1，)代入得：1，解得a24，可知b21，所以，椭圆C的方程为y21.(2)因为直线l经过椭圆内的点B(1,0)，所以直线l与椭圆恒有两个不同的交点M，N.当直线l的斜率不存在时，其方程是：x1，代入y21得y，可知M(1，)，N(1，)，所以以MN为直径的圆不经过坐标原点O.当直线l的斜率存在时，可设l的方程为：yk(x1)，两交点M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(14k2)x28k2x4k240，x1x2，x1x2，因为，以MN为直径的圆经过坐标原点O，所以0.可得x1x2y1y2x1x2