2.2.1综合法与分析法

第二章推理与证明 2 2直接证明与间接证明 课前预习 2 进一步体会合情推理 演绎推理以及两者之间的联系与差异 3 感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用 养成言之有理 论证有据的习惯 4 通过本节的学习 有助于发展学生的数学思维能力 提高学生的数学素养 7 用反证法证明命题的步骤 大体上分为 1 反证 假设命题的结论 即假设结论的反面成立 2 归谬 从 出发 通过推理论证 得出矛盾 3 结论 由矛盾判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 答案 1 从命题的条件或结论出发 根据已知的定义 公理 定理 直接推证结论的真实性2 已知未知题设结论已知条件某些数学定义 公理 定理等由因导果3 必要 4 要证明的结论充分条件执果索因6 间接证明不成立矛盾错误7 1 不成立 2 假设8 一个也没有至少有两个至多n 1个没有或至少两个存在x0不成立存在x0成立不都是 p且 q p或 q 自主演练 答案 B 2 如果 A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于 A2B2C2的三个内角的正弦值 则 A A1B1C1和 A2B2C2都是锐角三角形B A1B1C1和 A2B2C2都是钝角三角形C A1B1C1是钝角三角形 A2B2C2是锐角三角形D A1B1C1是锐角三角形 A2B2C2是钝角三角形 答案 D 本解法运用作差法 本题还有其他解法 如通过变形比较指数大小 或用导数法利用函数单调性判断 答案 C 4 在正四面体P ABC中 D E F分别是AB BC CA的中点 下面四个结论中不成立的是 A BC 平面PDFB DF 平面PAEC 平面PDF 平面ABCD 平面PAE 平面ABC 解析 因为D F分别为AB CA的中点 所以DF BC 所以BC 平面PDF 故A正确 又因为P ABC为正四面体 所以P在底面ABC内的射影O在AE上 所以PO 平面ABC 所以PO DF 又因为E为BC的中点 所以AE BC 所以AE DF 又因为PO AE O 所以DF 平面PAE 故B正确 又因为PO 面PAE PO 平面ABC 所以平面PAE 平面ABC 故D正确 所以四个结论中不成立的是C 故应选C 答案 C 6 下面关于三棱锥的四个命题 底面是等边三角形 侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形 侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形 侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥 侧棱与底面所成的角都相等 且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 其中是真命题的编号是 解析 顶点在底面射影是底面三角形的内心 又因为底面是正三角形 故为底面的中心 正确 反例如图 所示 在四面体S ABC中 AB BC AC SB SC SA 所以 ABC是等边三角形 且 SBC SCA SAB均为等腰三角形 但S ABC不是正三棱锥 错误 反例如图 所示 以正六边形ABDEFG的一边AB为边作正 ABC 正六边形的中心O为三棱锥S ABC的顶点S在底面的射影 满足条件 三棱锥的侧面积全相等 但S ABC不是正三棱锥 错误 侧棱与底面所成的角都相等 顶点在底面的射影是三角形的外心 侧面与底面所成的角相等 顶点在底面的射影是底面三角形的内心 二心合为一即为中心 正确 答案 课内讲练 评析 本题采用综合法 从题设入手得出x y与a b c的关系 相加时借助了比例性质作桥梁 巧妙地进行了等量代换 从而达到目的 另外 等量代换在证明等量关系时经常用到 评析 在用综合法证明不等式时 常利用不等式的基本性质 如同向不等式相加 同向不等式相乘等 但在运用这些性质时 一定要注意这些性质成立的前提条件 评析 本题采用综合法通过构造角的不等式转化为利用三角函数的单调性来证明 此法比常用的和差化积形式简单 分析 本题型较复杂 用综合法或分析法很难直接证明出命题 我们可采用分析 综合法证出此命题 评析 当结论为否定形式的命题时 常常借助于反证法进行证明 本题由假设出发 推出了一个与事实矛盾的式子 评析 此类问题若从条件直接推证 推证方向不明确 过程不可推测 较难 可使用反证法 证明 假设方程f x 0在区间 a b 上至少有两个实根 设 为其中的两个实根 因为 不妨设 又因为函数f x 在区间 a b 上是增函数 所以f f 这与假设f f 0矛盾 所以方程f x 0在区间 a b 上至多只