3.3模拟方法——概率的应用

第三章 概率3 模拟方法概率的应用考频解读考情分析几何概型相比古典概型，高考考的稍少一些，但近三年的各地高考题中不时有所体现，题型以选择，填空题为主，考解答题多与古典概型结合作为其中的一问来呈现，多为中低档题.几何概型主要在于转化，也即是将概率问题转化为几何度量之比，几何度量的转化多为长度、面积、体积三者的转化，且面积的转化最为常见，特别是二元变量问题转化为区域度量之比，借助线性规划知识来处量有逐步加大考查之势，值得仔细推敲，认真研究学习.3.3.1几何概型3.3.2均匀随机数的产生基础梳理1.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 ( 或 )成比例，则称这样的概率模型为 ，简称几何概型.2.在Excel中产生区间上均匀随机数的函数为 .答案： 长度； 面积； 体积； 几何概率模型； （ ）疑难讲练重难点精讲 几何概型（）1.几何概型的特点：2.几何概型与古典概型的不同之处在于：几何概型虽然每次试验的各种结果是也是等可能的, 但试验结果却是无穷多个，因此不能用求古典概型的公式P（A）=来求解，只能转化为长度、面积、体积之比来求概率。也即用下面的公式来计算：类型题探究题型一 与长度有关的几何概型例1. 某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）。【思维导图】转化等待时间少于3分钟每5分钟时间段内的后3分钟内到站几何概型长度之比所求概率【解答关键】能够依据题意进行正确的转化，使所求概率为长度之比.【规范解答】可以认为人在任一时刻到站是等可能的 设上一班车离站时刻为a，则某人到站的一切可能时刻为 = (a, a+5)，记A=等车时间少于3分钟，则他到站的时刻只能为g = (a+2, a+5)中的任一时刻，故【技巧感悟】本题可画出数轴，标出时间段（区间）帮助理解题意，以便于进行合理转化【活学活用】1.（2010山东安丘三中模拟）已知函数，若在区间上随机取一点，则使得的概率为 .O1015-15yx-10例2题图题型二 与面积（体积）有关的几何概型例2. 一海豚在水池中自由游弋水池为长30m，宽20m的长方形，随机事件A记为“海豚嘴尖离岸边不超过2m”求事件A发生的概率P（A）建立如图的直角坐标系，并用计算机所产生的随机数x和y组成的有序数组(x，y)来表示海豚嘴尖的坐标【思维导图】求面积之比即为概率求阴影部分的面积求大正方形的面积【解答关键】用间接法求阴影部分的面积【规范解答】解：这里几何区域D所表示的范围为长方形：x（-15，15），y（-10，10），事件A所表示的区域为图中的阴影部分d：13|x|15，8|y|10所求概率为【技巧感悟】对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解.【活学活用】2（1）在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察,求发现大肠杆菌的概率。（2）如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油,假如在这海领域里随意选定一点钻探,问钻到石油的概率是多少?题型三 会面问题xO15156060例3图y例3. 甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去求两人能会面的概率【思维导图】甲到时间与乙到时间分别为，二元线性问题会面的条件几何概型转化为区域度量之比会面的概率【解答关键】寻找会面的条件，也即是甲、乙两人所到的时间差控制在15分钟之内即可.本题的难点是把两个时间分别用，两个坐标表示，构成平面内的点，从而把时间这一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化为面积形几何概型问题【规范解答】以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的条件是在平面上建立直角坐标系如图7，则(x，y)的所有基本事件可以看作是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示故 P(两人能会面) 答 两人能会面的概率为【技巧感悟】几何概型一般有线型的和区域型的，对区域型的几何概型问题，要善于构造区域，一般来说，只要是受两个连续变量制约的随机事件的概率都可以通过构造区域转化成几何概型来解决.【活学活用】3两个CB对讲机持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3:0O时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：0O时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大?题型四 均匀随机数的产生例4 .曲线y=-x2+1与x轴、y轴围成一个区域A，直线x=1、直线y=1、x轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。【规范解答】解：如下表，由计算机产生两例01之间的随机数，它们分别表示随机点（x,y）的坐标。如果一个点（x,y）满足y-x2+1，就表示这个点落在区域A内，在下表中最后一列相应地就填上1，否则填0。xy计数0.5988950.94079400.5122840.11896110.4968410.78441700.1127960.69063410.3596000.37144110.1012600.65051210.9473860.90212700.1176180.30567310.5164650.22290710.5963930.9696950【技巧感悟】均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数 ）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量【活学活用】取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，试用模拟试验产生随机数的方法估计剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？并简述操作过程.同步测控第一课时学业基础测试1两根相距3m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m的概率为（）ABCD2.（2010西安高二期中试卷） 已知实数x、y可以在，的条件下随机取数，那么取出的数对满足的概率是 （ ）A B C D 3. （2009河南商丘模拟）如图，在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为（ ）A、 B、C、 D、4.（2009湖南模拟）如右图，大正方形靶盘的边长为，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，即阴影部分.较短的直角边长为2，现向大正方形靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为 AB CD5.向面积为S的ABC内任投一点P，则随机事件“PBC的面积小于”的概率为 6.在区间-1，1上任取两实数a、b，求二次方程x2+2ax+b2=0的两根都为实数的概率7 如图，在圆心角为90的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得AOC和 BOC都不小于30的概率8.在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？高考能力演练9.（2010北京黄冈高考冲刺预测卷）在铸铁过程中，经常出现铸件里面混入气泡的情况，但是如果在加工过程中气泡不暴露在表面，对产品就不会造成影响，否则产品就是不合格的.在一个棱长为4cm的正方体铸件中不小心混入一个半径为0.1cm的球形气泡，在加工这个铸件的过程中，如果将铸件去掉0.5cm的厚度后产品表面没有麻眼（即没有露出气泡），产品就合格，则产品合格的概率是 10.（2010青岛模拟）已知关于的一元二次方程.(1)若是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；(2)若，求一元二次方程没有实数根的概率.11（2009安徽芜湖市高一模块考试）设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率。第二课时学业基础测试1.（2010山东青岛高一期末考试）在数轴上这个区间内任取一点，则此点坐标小于的概率是（ ） 2.（2010河南模拟） 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A. B. C. D. 3.在长为18cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（）ABCD4.（2010广东惠州高三调研）如图，在半径为R的圆内随机撒一粒黄豆,它落在阴影部分内接正三角形上的概率是（ ）A B C D 5.（2009福建文）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 。6.已知棱长为2的正方体的内切球O，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为多少？7如图，在等腰三角形ABC中，B=C=30，求下列事件的概率：（1） 在底边BC上任取一点P，使BPAB；(2) 在BAC的内部任作射线AP交线段BC于P，使BPAB高考能力演练8（辽宁凌海高一期末演练）如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长。在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为 。（用分数表示）9.设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点P与A连结，求弦长超过半径的倍的概率10正四面体ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD的内部的点设“VP-ABC”的事件为X，求概率P(X)；设“VP-ABC且VP-BCD”的事件为Y，求概率P(Y)参考答案类型题探究活学活用1. 解析：由函数 得，解得，而整个函数的定义域为，故的概率为2.解：（1）由于取水样的随机性,所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比，即2/400=0.005。（2）由于选点的随机性,可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的,因而所求概率自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比,即等于40/50000=0.0008。3. 解：设x和y分别代表莉莉和霍伊距某地的距离，于是则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x,y),这里x，y都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置， 他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生（如右图）因此构成该事件的点由满足不等式的数对组成，此不等式等价于右图中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代表所求事件，方形区域的面积为1200平方米公里，而事件的面积为，于是有。4.分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍0，3内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应0，3上的均匀随机数，其中取得的1，2内的随机数就表示剪断位置与端点距离在1，2内，也就是剪得两段长都不小于1m。这样取得的1，2内的随机数个数与0，3内个数之比就是事件A发生的概率。解法1：（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND（2）经过伸缩变换，a=a1*3（3）统计出1，2内随机数的个数N1和0，3 内随机数的个数N（4）计算频率fn(A)=即为概率P（A）的近似值解法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度0，3（这里3和0重合）转动圆盘记下指针在1，2（表示剪断绳子位置在1，2范围内）的次数N1及试验总次数N，则fn(A)=即为概率P（A）的近似值同步测控第一课时学业基础测试1.B.提示：记“彩珠与两端都大于1m”为事件A，则P(A)=。2.解析：满足，区域为一正方形，面积为4,而满足的点构成的区域为以（1,1）为圆心，以1为半径的圆的内部，面积为，故所求概率为.3.B 解析：设阴影部分的面积为S，正方形的面积为4,则由题意可得，解得S，故选B.4.C 解析：设直角三角形较短直角边的边长为2，则较长直角边为，则正方形的边长为1,所以飞镖落在阴影区域的概率为.Oba5. 解析：作ABC的边BC上的高AD，取EAD且ED=，过E作直线MNBC分别交AB于M，AC于N，则当P落在梯形BCNM内时，PBC的面积小于ABC的面积的，故P=6.解：方程有实根的条件为=(2a)2-4b20，故|a|b|点(a，b)的取值围成如图所示的单位正方形的区域D，随机事件A“方程有实根”的所A第7题OEDCB围成的区域如图所示的阴影部分易求得7.解：记事件A=弦长超过圆内接等边三角形的边长，取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一点在劣弧CD上时，|BE|BC|，而弧CD的长度是圆周长的三分之一，所以可用几何概型求解，有则“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为8.解：记A=作射线OC，使AOC和BOC都不小于30，作射线OD、OE使AOD=30，AOE=60当OC在DOE内时，使AOC和BOC都不小于30，则P(A)=高考能力演练9.0.343 解析：试验的全部结果所构成的区域是棱长为4cm的正方体的体积，根据本题的条件可以发现如果要产品合格，球心距离正方体的表面应为0.6cm,所以球心必须在正方体内的一个棱长为2.8cm的正方体内部才符合题意，所以构成事件A的区域是棱长为2.8cm的正方体的体积，故这件产品合格的概率10.分析：（1）列举基本事件个数，根据方程有正实数根，找到随机事件中的基本事件的个数，利用古典概型的概率公式进行计算即可；（2）把作为点的坐标，可知基本事件可构成平面区域，一元二次方程没有实数根也可构成平面区域，所以根据几何概型的概率计算公式进行计算即可.解析：（1）基本事件共有36个，且，方程有两个正实数根等价于即设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为（6,1），（6,2），（6,3），（5,3）共4个，故所求的概率为（2）试验的全部结果构成区域，其面积为设“一元二次方程无实数根”为事件B，则构成事件B的区域为，其面积为故所求的概率为11.12.第二课时学业基础测试1.D 解析：若要点的坐标小于1，则需在区间上选取，所求概率为2.C 解析：蜜蜂若要“安全飞行”，则需控制在正方体内部，以正方体中心为中心的棱长为1的小正方体内部，所以“安