2.1多边形的外角和

2 1 多边形 第2课时 如图2 6 EDF是五边形ABCDE的一个外角 在多边形的每个顶点处取一个外角 它们的和叫作这个多边形的外角和 多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个外角 图2 6 我们已经知道三角形的外角和为360 那么四边形的外角和为多少度呢 如图2 7 在四边形ABCD的每一个顶点处取一个外角 如 1 2 3 4 1 2 3 4 4 180 360 360 1 DAB 180 2 ABC 180 3 BCD 180 4 ADC 180 又 DAB ABC BCD ADC 360 四边形的外角和为360 图2 7 三角形的外角和是360 四边形的外角和是360 n边形 n为不小于3的任意整数 的外角和都是360 吗 n边形的外角和与边数有关系吗 类似于求四边形外角和的思路 在n边形的每一个顶点处取一个外角 其中每一个外角与它相邻的内角之和为180 因此 这n个外角与跟它相邻的内角之和加起来是n 180 将这个总和减去n边形的内角和 n 2 180 所得的差即为n边形的外角和 n 180 n 2 180 n n 2 180 2 180 360 n边形的外角和与边数没有关系 任意多边形的外角和等于360 由此得出 例2一个多边形的内角和等于它外角和的5倍 它是几边形 举例 解设多边形的边数为n 则它的内角和等于 n 2 180 由题意得 n 2 180 5 360 解得n 12 因此这个多边形是十二边形 三角形具有稳定性 那么四边形呢 用4根木条钉成如图2 8的木框 随意扭转四边形的边 它的形状会发生变化吗 图2 8 我们发现 四边形的边长不变 但它的形状改变了 这说明四边形具有不稳定性 在实际生活中 我们经常利用四边形的不稳定性 例如图2 9 a 中的电动伸缩门 图2 9 b 中的升降器 有时又要克服四边形的不稳定性 例如在图2 9 c 中的栅栏两横梁之间加钉斜木条 构成三角形 这是为了利用三角形的稳定性 图2 9 a c b 1 一个多边形的每一个外角都等于45 这个多边形是几边形 它的每一个内角是多少度 答 这个多边形是八边形 每个内角是135 2 如图 求图中x的值 答 x 60 3 举出日常生活中利用四边形不稳定性的一些例子 答 有种衣架是根据平行四边形的不稳定性 用同样长的木条构成的几个相连的菱形 每个顶点处都有一个挂钩 不仅美观 而且实用 如下图 答 有种衣架是根据平行四边形的不稳定性 用同样长的木条构成的几个相连的菱形 每个顶点处都有一个挂钩 不仅美观 而且实用 如下图 液晶电视的双臂旋转伸缩可悬挂支架也用到了四边形的不稳定性 调节幅度大 可上下左右及前后多方向调节满足客户观看需要 如下图 例1 若一个正多边形的一个外角是40 则这个正多边形的边数是 A 10B 9C 8D 6 B 例2 某多边形的内角和是其外角和的3倍 则此多边形的边数是 A 5B 6C 7D 8 D 例3 一个多边形的每个内角均为108 则这个多边形是 A 七边形B 六边形C 五边形D 四边形 C 中考中多边形内角和是经常考查的内容之一 一般出现在选择题或填空题较前位置 虽然难度并不大 但同样可以灵活处理 法一 利用内角和公式 n 2 180 108n 解得n 5 法二 利用外角和是定值 180 108 n 360 解得n 5 解析 例4 当多边形的边数增加1时 它的内角和与外角和 A 都不变 B 内角和增加180 外角和不变C 内角和增加180 外角和减