任意角的三角函数(2)

1 1 3 3 任意角的三角函数 任意角的三角函数 2 2 一 教学内容分析一 教学内容分析 本节课的教学内容是 普通高中课程标准实验教科书 数学 4 人教 A 版 三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型 有非常广泛的应用 直角三角形简单朴素的边角关系 以直角坐标系为工具进行自然地推广而 得到简明的任意角的三角函数定义 紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉 自然地导出三角函数线 定义域 符号判断 同角三角函数关系 多组诱导公 式 图象和性质 三角函数定义必然是学好全章内容的关键 如果学生掌握不 好 将直接影响到后续内容的学习 由三角函数定义的基础性和应用的广泛性 决定了本节教材的重点就是定义本身 二 学生学习情况分析二 学生学习情况分析 在初中学生学习过锐角三角函数 因此本课的内容对于学生来说 有比较 厚实的基础 新课的引入会比较容易和顺畅 学生要面对的新的学习问题是 角的概念推广了 原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任 意角呢 通过这个问题 让学生体会到新知识的发生是可能的 自然的 三 设计思想三 设计思想 教学中注意用新课程理念处理教材 采用学生自主探索 动手实践 合作 交流 阅读自学 师生互动 教师发挥组织者 引导者 合作者的作用 引导 学生主体参与 揭示本质 经历过程 根据本节课内容 高一学生认知特点 本节课采用 启发探索 讲练结合 的方法组织教学 四 教学目标四 教学目标 1 掌握任意角的正弦 余弦 正切的定义 包括这三种三角函数的定义域和 函数值在各象限的符号 2 理解任意角的三角函数不同的定义方法 掌握并能初步运用公式一 树立 映射观点 正确理解三角函数是以实数为自变量的函数 3 通过单位圆和角的终边 探讨任意角的三角函数值的求法 最终得到任意角 三角函数的定义 根据角终边所在位置不同 分别探讨各三角函数的定义域以及 这三种函数的值在各象限的符号 借助有向线段进一步认识三角函数 4 通过任意三角函数的定义 认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例 加深特殊与一般关系的理解 5 通过三角函数的几何表示 使学生进一步加深对数形结合思想的理解 拓 展思维空间 通过学生积极参与知识的 发现 与 形成 的过程 培养合情 猜测的能力 从中感悟数学概念的严谨性与科学性 五 教学重点和难点五 教学重点和难点 重点 任意角的正弦 余弦 正切的定义 包括这三种三角函数的定义域 和函数值在各象限的符号 终边相同的角的同一三角函数值相等 公式一 难点 任意角的正弦 余弦 正切的定义 包括这三种三角函数的定义域 和函数值在各象限的符号 六 教学过程设计六 教学过程设计 教学过程 一 复习引入 回想再认 情景 1 我们在初中通过锐角三角形的边角关系 学习了锐角的正弦 余弦 正切等三个三角函数 请回想 这三个三角函数分别是怎样规定的 学生口述后再投影展示 教师再根据投影进行强调 设计意图 学生在初中学习了锐角的三角函数概念 现在学习任意角的三角函数 又 是一种推广和拓展的过程 类似于从有理数到实数的扩展 温故知新 要让 学生体会知识的产生 发展过程 就要从源头上开始 从学生现有认知状况开 始 对锐角三角函数的复习就必不可少 二 引伸铺垫 创设情景 情景 2 我们已经把锐角推广到了任意角 锐角的三角函数概念也能推 广到任意角吗 试试看 可以独立思考和探索 也可以互相讨论 留时间让学生独立思考或自由讨论 教师参与讨论或巡回对学困生作启发 引导 能推广吗 怎样推广 针对刚才的问题点名让学生回答 用角的对边 临 边 斜边比值的说法显然是受到阻碍了 由于 1 1 节已经以直角坐标系为工具 来研究任意角了 学生一般会想到 否则教师进行提示 继续用直角坐标系来 研究任意角的三角函数 设计意图 从学生现有知识水平和认知能力出发 创设问题情景 让学生产生认知冲 突 进行必要的启发 将学生思维引上自主探索 合作交流的 再创造 征程 对 边 邻边 sin con tan 斜边 对边 斜边 邻边 邻边 对边 图 1 教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景 请同学们用直角坐标系重 新研究锐角三角函数定义 师生共做 学生口述 教师板书图形和比值 把锐角 安装 如何安装 角的顶点与原点重合 角的始边与 x 轴非负半 轴重合 在直角坐标系中 在角 终边上任取一点 P 作 PM x 轴于 M 构造 一个 Rt OMP 则 MOP 锐角 设 P x y x 0 y 0 的临边 OM x 对边 MP y 斜边长 OP r 根据锐角三角函数定义用 x y r 列出锐角 的正弦 余弦 正切三个 比值 并补充对应列出三个倒数比值 设计意图 此处做法简单 思想重要 为了顺利实现推广 可以构建中间桥梁或公共 载体 使之既与初中的定义一致 又能自然地迁移到任意角的情形 由于前一 节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了 学生自然能想到仍然以直角坐标 系为工具来研究任意角的三角函数 初中以直角三角形边角关系来定义锐角三 角函数 现在要用坐标系来研究 探索的结论既要满足任意角的情形 又要包 容初中锐角三角函数定义 这是一个认识的飞跃 是理解任意角三角函数概念 的关键之一 也是数学发现的重要思想和方法 属于策略性知识 能够形成迁移 能力 为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础 情景 3 思考 对于确定的角 这三个比值是否会随点在的终边上 P 的位置的改变而改变呢 显然 我们可以将点取在使线段的长的特OP1r 殊位置上 这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标 表示锐角三角函数 sin MP b OP cos OM a OP tan MPb OMa x O M P x y y sin con tan 斜边 对边 r y 斜边 邻边 r x 邻边 对边 x y y r x r y x 图 2 a的终边 P x y O x y 思考 上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示 那么 角的 概念推广以后 我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改 以利推广到 任意角呢 本节课就研究这个问题 任意角的三角函数 先让学生想象思考 作出主观判断 再用几何画板动画演示 同时作好解 释说明 引导学生观察图 3 联系相似三角形知识 探索发现 对于锐角 的每一个确定值 三个比值都是 确定的 不会随 P 在终边上的移动而变化 三 探究新知 1 探究 结合上述锐角的三角函数值的求法 我们应如何求解任意角的三 角函数值呢 显然 我们只需在角的终边上找到一个点 使这个点到原点的距离为 1 然后 就可以类似锐角求得该角的三角函数值了 所以 我们在此引入单位圆的定义 在 直角坐标系中 我们称以原点为圆心 以单位长度为半径的圆 O 2 思考 如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义 如图 设是一个任意角 它的终边与单位圆交于点 那么 P x y 1 叫做的正弦 sine 记做 即 y sin siny 2 叫做的余弦 cossine 记做 即 x cos cosx 3 叫做的正切 tangent 记做 即 y x tan tan 0 y x x 注意 当 是锐角时 此定义与初中定义相同 指出对边 邻边 斜边所 在 当 不是锐角时 也能够找出三角函数 因为 既然有角 就必然有终 边 终边就必然与单位圆有交点 从而就必然能够最终算出三角函数值 P x y 设计意图 初中学生对函数理解较肤浅 这里在学生思维的最近发展区进一步研究初 中学过的锐角三角函数 在思维上更上了一个层次 扣准函数概念的内涵 突 出变量之间的依赖关系或对应关系 是从函数知识演绎到三角函数知识的主要 依据 是准确理解三角函数概念的关键 也是在认知上把三角函数知识纳入函 数知识结构的关键 这样做能够使学生有效地增强函数观念 四 探索定义域 情景 4 1 函数概念的三要素是什么 x O M P y 图 3 P M 函数三要素 对应法则 定义域 值域 正弦函数 sin 的对应法则是什么 正弦函数 sin 的对应法则 实质上就是 sin 的定义 对 的每一 个确定的值 有唯一确定的比值 y r 与之对应 即 y r sin 2 布置任务情景 什么是三角函数的定义域 请求出三个三角函数的定义 域 填写下表 三角函数sin cos tan 定义域 引导学生自主探索 如果没有特别说明 那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的 定义域 三角函数的定义域自然是指 使比值有意义的角 的取值范围 关于 sin y r cos x r 对于任意角 弧度数 r 0 y r x r 恒有意义 定义域都是实数集 R 对于 tan y x k 2 时 x 0 y x 无意义 tan 的定义域是 R 且 k 2 教师指出 sin cos tan 的定义域必须紧扣三角函数定义在理解 的基础上记熟 设计意图 定义域是函数三要素之一 研究函数必须明确定义域 指导学生根据定义 自主探索确定三角函数定义域 有利于在理解的基础上记住它 应用它 也增 进对三角函数概念的掌握 五 符号判断 形象识记 情景 5 能判断三角函数值的正 负吗 试试看 引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析 r 0 三角函数值的符号决定于 x y 值的正负 根据终边所在位置总结出形象的识记口诀 sin y r 上正下负横为 0 cos x r 左负右正纵为 0 tan y x 交叉正负 设计意图 y x y x y x 判断三角函数值的正负符号 是本章教材的一项重要的知识 技能要求 要引导学生抓住定义 数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号 并总结出 形象的识记口诀 这也是理解和记忆的关键 六 练习巩固 理解记忆 1 自学 例 1 求的正弦 余弦和正切值 5 3 2 角 的终边经过点 P 3 4 求 的正弦 余弦及正切值 课堂练习 p17 题 1 2 3 处理 要求取点用定义求解 针对计算过程提问 点评 理解巩固定义 强调 终边在坐标轴上的角叫轴线角 如 0 2 3 2 等 今后 经常用到轴线角的三角函数值 要结合三角函数定义记熟这些值 设计意图 及时安排自学例题 自做教材练习题 一般性与特殊性相结合 进行适量 的变式练习 以巩固和加深对三角函数概念的理解 通过课堂积极主动的练习 活动进行思维训练 把 培养学生分析解决问题的能力 贯穿在每一节课的课 堂教学始终 七 回顾小结 建构网络 要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记 提问检查并强调 1 你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的 或者说任意角三角函数 具体是怎样定义的 建立直角坐标系 使角的顶点与坐标原点重合 在 终边上任意取定一点 P 2 你如何判断和记忆正弦 余弦 正切函数的定义域 根据定义 3 你如何记忆正弦 余弦 正切函数值的符号 根据定义 想象坐标位 置 设计意图 遗忘的规律是先快后慢 回顾再现是记忆的重要途径 在课堂内及时总结 识记主要内容是上策 此处以问题形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容 抓住要害 人人参与 及时建构知识网络 优化知识结构 培养认知能力 八 布置课外作业 1 书面作业 习题 1 2 第 1 2 题 2 认真阅读 p20 阅读与思考 三角学与天文学 了解三角学在天文学 中的重要作用 七 教学反思七 教学反思 新教材的教学理念之一是让学生去体验新知识的发生过程 这节 任意角 三角函数 的教案 主要围绕这一点来设计 到底应该怎样去合理定义任意角的三角函