2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题六 第三讲定点、定值、存在性问题.docx

教学资料范本2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题六 第三讲定点、定值、存在性问题编 辑：_时 间：_高考考点考点解读圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在(2)探索曲线是否存在(3)探索命题是否成立涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题.备考策略本部分内容在备考时应注意以下几个方面：1掌握处理定点、定值的方法2掌握解答存在性问题的处理方法3掌握函数与方程思想在处理定点、定值问题中的应用预测2020年命题热点为：(1)圆锥曲线中的定值问题(2)圆锥曲线中的存在性问题Z 1定值、定点问题在变化中所表现出来的不变的量.用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等.这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点.就是要求的定点.解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等.根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量2圆锥曲线中最值问题：主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等3圆锥曲线中的范围问题：关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系该问题主要有以下三种情况：(1)距离型：若涉及焦点.则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离.则可设出与已知直线平行的直线方程.再代入圆锥曲线方程中.用判别式等于零求得切点坐标.这个切点就是距离取得最值的点.若是在圆或椭圆上.则可将点的坐标以参数形式设出.转化为三角函数的最值求解(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中.利用判别式列出对应的不等式.解出参数的范围.如果给出的只是圆锥曲线的一部分.则需要结合图形具体分析.得出相应的不等关系(3)面积型：求面积型的最值.即求两个量的乘积的范围.可以考虑能否使用不等式求解.或者消元转化为某个参数的函数关系.用函数方法求解4探究性问题：有关圆锥曲线中的探究性问题.一般假设满足条件的量存在.以此为基础进行推理,Y 1求轨迹方程时要注意它的纯粹性与完备性2使用函数方法求解最值和范围时.需选择合适的变量解题时易忽略变量的范围.导致结果的错误3直线与双曲线交于一点时.不一定相切.反之.直线与双曲线相切时.只有一个交点4在解决直线与圆锥曲线问题时.若需设直线方程.易忽略直线斜率不存在的情况.1(文)(20xx北京卷.20)已知椭圆M：1(ab0)的离心率为.焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A.B(1)求椭圆M的方程(2)若k1.求|AB|的最大值(3)设P(2,0).直线PA与椭圆M的另一个交点为C.直线PB与椭圆M的另一个交点为D若C.D和点Q共线.求k.解析(1)由题意得2c2.所以c.又e.所以a.所以b2a2c21.所以椭圆M的标准方程为y21.(2)设直线AB的方程为yxm.由消去y可得4x26mx3m230.则36m244(3m23)4812m20.即m20且k2(2k4)10.即k1.且k3.且k1.所以kb0)的右顶点为A.上顶点为B已知椭圆的离心率为.|AB|.()求椭圆的方程；()设直线l：ykx(kx10.点Q的坐标为(x1.y1)由BPM的面积是BPQ面积的2倍.可得|PM|2|PQ|.从而x2x12x1(x1).即x25x1.易知直线AB的方程为2x3y6.由方程组消去y.可得x2.由方程组消去y.可得x1.由x25x1.可得5(3k2).两边平方.整理得18k225k80.解得k.或k.当k时.x29b0)的左焦点为F.上顶点为B已知椭圆的离心率为.点A的坐标为(b,0).且|FB|AB|6.()求椭圆的方程()设直线l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P.且l与直线AB交于点Q. 若sinAOQ(O为原点).求k的值解析()设椭圆的焦距为2c.由已知得.又由a2b2c2.可得2a3b.由已知可得.|FB|a.|AB|b.由|FB|AB|6.可得ab6.从而a3.b2.所以.椭圆的方程为1.()设点P的坐标为(x1.y1).点Q的坐标为(x2.y2)由已知有y1y20.故|PQ|sinAOQy1y2.又因为|AQ|.而OAB.故|AQ|y2.由sinAOQ.可得5y19y2.由方程组消去x.可得y1.易知直线AB的方程为xy20.由方程组消去x.可得y2.由5y19y2.可得5(k1)3.两边平方.整理得56k250k110.解得k或k.所以.k的值为或.3(20xx全国卷.20)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A.B两点线段AB的中点为M.(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点.P为C上一点.且FPFAFB0.证明：.成等差数列.并求该数列的公差解析(1)设A(x1.y1).B(x2.y2).则1.1.两式相减.并由k得k0.由题设知1.m.于是k.由题设得0m.故k.(2)由题意得F(1,0).设P(x3.y3).则(x31.y3)(x11.y1)(x21.y2)(0,0)由(1)及题设得x33(x1x2)1.y3(y1y2)2mb0)又点在椭圆C上.所以解得因此.椭圆C的方程为y21.因为圆O的直径为F1F2.所以其方程为x2y23.(2)设直线l与圆O相切于P(x0.y0)(x00.y00).则xy3.所以直线l的方程为y(xx0)y0.即yx.由消去y.得(4xy)x224x0x364y0.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点.所以(24x0)24(4xy)(364y)48y(x2)0.因为x0.y00.所以x0.y01.因此.点P的坐标为(.1)因为三角形OAB的面积为.所以ABOP.从而AB.设A(x1.y1).B(x2.y2).由(*)得x1,2.所以AB2(x1x2)2(y1y2)2.因为xy3.所以AB2.即2x45x1000.解得x(x20舍去).则y.因此P的坐标为.综上.直线l的方程为yx3. 例1 已知椭圆C：1(ab0).四点P1(1,1).P2(0,1).P3(1.).P4(1.)中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A.B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1.证明：l过定点解析(1)由于P3.P4两点关于y轴对称.故由题设知椭圆C经过P3.P4两点又由知.椭圆C不经过点P1.所以点P2在椭圆C上因此解得故椭圆C的方程为y21.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1.k2.如果l与x轴垂直.设l：xt.由题设知t0.且|t|0.设A(x1.y1).B(x2.y2).则x1x2.x1x2.而k1k2.由题设k1k21.故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0.解得k.当且仅当m1时.0.于是l：yxm.即y1(x2).所以l过定点(2.1)规律总结1过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为ykxt.由题设条件将t用k表示为tmk.得yk(xm).故动直线过定点(m,0)(2)动曲线C过定点问题解法：引入参变量建立曲线 C的方程.再根据其对参变量恒成立.令其系数等于零.得出定点2求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值.此值一般就是定值；(2)证明定值.有时可直接证明定值.有时将问题转化为代数式.可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零.得出定值；(3)得出结论G 已知椭圆C：1(ab0)的焦点为2.点(1.)在C上(1)求C的方程；(2)过原点且不与坐标轴重合的直线l与C有两个交点A.B.点A在x轴上的射影为M.线段AM的中点为N.直线BN交C于点P.证明：直线AB的斜率与直线AP的斜率乘积为定值解析(1)由题意知.C的焦点坐标为(1,0).2a4.b.所以.椭圆C的方程为1.(2)设A(x1.y1).P(x2.y2)(x1x2).则B(x1.y1).N(x1.).由点A.P在椭圆C上得.两式相减得.kBN.kBP.因为B.N.P三点共线.所以kBNkBP.即.所以kABkAP1. 例2 已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c,0).离心率为.点M在椭圆上且位于第一象限.直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c.|FM|.(1)求直线FM的斜率(2)求椭圆的方程(3)设动点P在椭圆上.若直线FP的斜率大于.求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围解析(1)由已知有.又由a2b2c2.可得a23c2.b22c2.设直线FM的斜率为k(k0).则直线FM的方程为yk(xc)由已知.有222.解得k.所以直线FM的斜率为.(2)由(1)得椭圆方程为1.直线FM的方程为y.两个方程联立.消去y.整理得3x22cx5c20.解得xc.或xc.因为点M在第一象限.可得M的坐标为.由.解得c1.所以椭圆的方程为1.(3)设点P的坐标为.直线FP的斜率为t.得t.即yt.与椭圆方程联立 消去y.整理得2x23t2(x1)26.又由已知.得t.解得x1.或1x0.设直线OP的斜率为m.得m.即ymx(x0).与椭圆方程联立.整理可得m2.当x时.有yt(x1)0.因此m0.于是m.得m.当x时.有yt(x1)0.因此m0.于是m.得m.综上.直线OP的斜率的取值范围是.规律总结1与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法(1)数形结合法：根据待求值的几何意义.充分利用平面图形的几何性质求解(2)构建函数法：先引入变量.构建以待求量为因变量的函数.再求其最值.常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)2解决圆锥曲线中范围问题的方法一般题目中没有给出明确的不等关系.首先需要根据已知条件进行转化.利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数.把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解.解题时应注意挖掘题目中的隐含条件.寻找量与量之间的转化G 如图.已知抛物线x2y.点A(.).B(.).抛物线上的点P(x.y)(x)过点B作直线AP的垂线.垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值解析(1)设直线AP的斜率为k.kx.因为xb0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点.直线l：yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.()求椭圆E的方程及点T的坐标；()设O是坐标原点.直线l平行于OT.与椭圆E交于不同的两点A、B.且与直线l交于点P. 证明：存在常数.使得|PT|2|PA|PB|.并求的值解析()由已知.ab.则椭圆E的方程为1.由方程组得3x212x(182b2)0.方程的判别式为24(b23).由0.得b23.此时方程的解为x2.所以椭圆E的方程为1.点T的坐标为(2,1)()由已知可设直线l的方程为yxm(m0).由方程组可得所以P点的坐标为(2.1).|PT|2m2.设点A.B的坐标分别为A(x1.y1).B(x2.y2)由方程组可得3x24mx(4m212)0.方程的判别式为16(92m2).由0.解得m.由得x1x2.x1x2.所以|PA|2x1|.同理|PB|2x2|.所以|PA|PB|(2x1)(2x2)|(2)2(2)(x1x2)x1x2|(2)2(2)()|m2.故存在常数.使得|PT|2|PA|PB|.规律总结存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在.推证满足条件的结论.若结论正确则存在；若结论不正确则不存在(2)策略：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时.先假设成立.再推出条件；当条件和结论都不知.按常规法解题很难时.可先由特殊情况探究.再推广到一般情况G 已知椭圆C：1(0b0.b0)的左、右焦点.且|F1F2|2.若P是该双曲线右支上的一点.且满足|PF1|2|PF2|.则PF1F2面积的最大值是( B )A1 B C D2解析|PF1|4a.|PF2|2a.设F1PF2.cos.S2PF1F2(4a2asin)216a4(1)9(a2)2.当且仅当a2时.等号成立.故SPF1F2的最大值是.故选B4已知双曲线M的焦点F1.F2在x轴上.直线x3y0是双曲线M的一条渐近线.点P在双曲线M上.且0.如果抛物线y216x的准线经过双曲线M的一个焦点.那么|( B )A21 B14 C7 D0解析设双曲线方程为1(a0.b0).直线x3y0是双曲线M的一条渐近线.又抛物线的准线为x4.c4又a2b2c2.由得a3.设点P为双曲线右支上一点.由双曲线定义得6又0.在RtPF1F2中|2|282联立.解得|14.5已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点.F为C的焦点.若|FA|2|FB|.则k的值为( D )A B C D解析设A(x1.y1).B(x2.y2).则x10.x20.|FA|x12.|FB|x22.x122x24.x12x22.由.得k2x2(4k28)x4k20.x1x24.x1x24.由.得xx220.x21.x14.45.k2.k.6已知斜率为的直线l与抛物线y22px(p0)交于位于x轴上方的不同两点A.B.记直线OA.OB的斜率分别为k1.k2.则k1k2的取值范围是(2.).解析设直线l：x2yt.联立抛物线方程消去x得y22p(2yt)y24py2pt0.设A(x1.y1).B(x2.y2).16p28pt0t2p.y1y24p.y1y22pt0t0.即2pt0.x1x2(2y1t)(2y2t)4y1y22t(y1y2)t24(2pt)2t4pt2t2.k1k2.2pt2.即k1k2的取值范围是(2.)7已知F1.F2分别是双曲线3x2y23a2(a0)的左、右焦点.P是抛物线y28ax与双曲线的一个交点.若|PF1|PF2|12.则抛物线的准线方程为x2.解析将双曲线方程化为标准方程得1.抛物线的准线为x2a.联立x3a.即点P的横坐标为3a.而由|PF2|6a.又易知F2为抛物线的焦点.|PF2|3a2a6a.得a1.抛物线的准线方程为x2.8设抛物线C：y24x的焦点为F.过F的直线l与抛物线交于A.B两点.M为抛物线C的准线与x轴的交点.若tanAMB2.则|AB|8.解析依题意作出图象如图所示.设l：xmy1.A(x1.y1).B(x2.y2).由得.y24my40.y1y24m.y1y24.x1x21.x1x2m(y1y2)24m22.tanAMBtan(AMFBMF).2.2.y1y24m2.44m2.m21.|AB|AF|BF|x11x214m248.9(20xx抚州一模)已知动圆C与圆x2y22x0外切.与圆x2y22x240内切(1)试求动圆圆心C的轨迹方程；(2)过定点P(0,2)且斜率为k(k0)的直线l与(1)中轨迹交于不同的两点M.N.试判断在x轴上是否存在点A(m,0).使得以AM.AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在.求出实数m的范围；若不存在.请说明理由解析(1)由x2y22x0得(x1)2y21.由x2y22x240得(x1)2y225.设动圆C的半径为R.两圆的圆心分别为F1(1,0).F2(1,0).则|CF1|R1.|CF2|5R.所以|CF1|CF2|6.根据椭圆的定义可知.点C的轨迹为以F1.F2为焦点的椭圆.所以c1.a3.所以b2a2c2918.所以动圆圆心C的轨迹方程为1.(2)存在直线l的方程为ykx2.设M(x1.y1).N(x2.y2).MN的中点为E(x0.y0)假设存在点A(m,0).使得以AM.AN为邻边的平行四边形为菱形.则AEMN.由得(89k2)x236kx360.x1x2.所以x0.y0kx02.因为AEMN.所以kAE.即.所以m.当k0时.9k212.所以m0；当k0时.9k12.所以0b0)经过点A(0.1).且离心率为.()求椭圆E的方程；()经过点(1,1).且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P.Q(均异于点A).证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.解析()由题意知.b1.结合a2b2c2.解得a.所以.椭圆的方程为y21.()证明：由题设知.直线PQ的方程为yk(x1)1(k2).代入y21.得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0.由已知0.设P(x1.y1).Q(x2.y2).x1x20.则x1x2.x1x2.从而直线AP与AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.2设点P是曲线C：x22py(p0)上的动点.点P到点(0,1)的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为.(1)求曲线C的方程；(2)若点P的横坐标为1.过P作斜率为k(k0)的直线交C于点Q.交x轴于点M.过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N.问是否存在实数k.使得直线MN与曲线C相切？若存在.求出k的值；若不存在.请说明理由解析(1)依题意知1.解得p.所以曲线C的方程为x2y.(2)由题意直线PQ的方程为：yk(x1)1.则点M(1.0)联立方程组.消去y得x2kxk10.得Q(k1.(k1)2)所以得直线QN的方程为y(k1)2(xk1)代入曲线方程yx2中.得x2x1(1k)20.解得N(1k.(1k)2)所以直线MN的斜率kMN.过点N的