2.5.3切线长定理

2 5直线与圆的位置关系 第2章圆 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 2 5 3切线长定理 1 理解和掌握切线长定理 重点 2 初步学会用切线长定理进行计算与证明 难点 问题1通过前面的学习 我们了解到如何过圆上一点作已知圆的切线 如左图所示 如果点P是圆外一点 又怎么作该圆的切线呢 问题2过圆外一点P作圆的切线 可以作几条 请欣赏小颖同学的作法 如右下图所示 直径所对的圆周角是直角 导入新课 1 切线长的定义 经过圆外一点作圆的切线 这点和切点之间的线段的长叫作切线长 A O 切线是直线 不能度量 切线长是线段的长 这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点 可以度量 2 切线长与切线的区别在哪里 讲授新课 合作探究 在透明纸上画出下图 设PA PB是圆O的两条切线 A B是切点 沿直线OP对折图形 PA与PB APO与 BPO分别有什么关系 PA PB APO BPO 我们猜测过圆外一点所作的圆的两条切线长相等 这点和圆心的连线平分两条切线的夹角 接下来我们验证这个猜测 推导与验证 如图 连接OA OB PA PB与 O相切 点A B是切点 OA PA OB PB即 OAP OBP 90 OA OB OP OP Rt AOP Rt BOP HL PA PB OPA OPB B P O A 切线长定理 过圆外一点引所画的圆的两条切线 它们的切线长相等 这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角 PA PB分别切 O于A B PA PB OPA OPB 几何语言 切线长定理为证明线段相等 角相等提供了新的方法 要点归纳 B P O A 典例精析 例1如图 AD是 O的直径 点C为 O外一点 CA和CB是 O的切线 A和B是切点 连接BD 求证 CO BD 分析 连接AB 因为AD为直径 那么 ABD 90 即BD AB 因此要证CO BD 只要证CO AB即可 证明 连接AB CA CB是 O的切线 点A B是切点 CA CB ACO BCO CO AB AD是 O的直径 ABD 90 即BD AB CO BD 若连结两切点A B AB交OP于点M 可以得到结论 OP垂直平分AB 拓展结论 3 连接圆心和圆外一点 2 连接两切点 1 分别连接圆心和切点 例2如图 菱形ABCD的边长为10 圆O分别与AB AD相切于E F两点 且与BG相切于G点 若AO 5 且圆O的半径为3 则BG的长度为何 A 4B 5C 6D 7 解析 连接OE O与AB相切于E AEO 90 AO 5 OE 3 AB 10 BE 6 BG与 O相切于G BG BE 6 故选C 1 PA PB是 O的两条切线 A B为切点 直线OP交 O于点D E 交AB于C 1 写出图中所有的垂直关系 OA PA OB PB AB OP 2 写出图中与 OAC相等的角 OAC OBC APC BPC 当堂练习 AOP BOP AOC BOC ACP BCP 4 写出图中所有的等腰三角形 ABP AOB 3 写出图中所有的全等三角形 20 4 3 PA PB是 O的两条切线 A B是切点 OA 3 1 若AP 4 则OP 2 若 BPA 60 则OP 5 6 4 如图 PA PB是 O的切线 切点分别为A B 点C在 O上 如果 ACB 70 那么 OPA的度数是 度 20 5 如图 PA PB是 O的两条切线 切点为A B P 50 点C是 O上异于A B的点 则 ACB 65 或115 6 如图 小明同学测量一个光盘的直径 他只有一把直尺和一块三角板 他将直尺 光盘和三角板如图放置于桌面上 并量出AB 3cm 则此光盘的直径是 cm 解析 连接OA OB OC OD和OE PA PB是 O的两条切线 点A B是切点 PA PB 7 PAO PBO 90 AOB 360 PAO PBO P 140 DOE 又 DC DA是 O的两条切线 点C A是切点 DC DA 同理可得CE EB l PDE PD DE PE PD DC CE PE PA PB 14 OA OC OD OD AOD COD DOC DOA AOC 同理可得 COE COB DOE DOC COE AOC COB 70 课堂小结 切线长 切线长定理 作用 过圆外一点所画的圆的两条切线长