2019-2020学年泰州市泰州中学高一上学期第二次检测数学试题（解析版）

2019-2020学年江苏省泰州市泰州中学高一上学期第二次检测数学试题一、单选题1集合的真子集个数为A3B4C7D8【答案】C【解析】，集合有3个元素，所以集合的真子集个数为，故填：C.2设，则使幂函数为奇函数且在上单调递增的a值的个数为( )A0B1C2D3【答案】D【解析】本试题主要是考查了幂函数的性质的简单运用。因为=时，函数，以-x代x解析式不变，那么就是偶函数，=-1时，函数为反比列函数，因为f(-x)=-f(x)=-故为奇函数，且在（0，+）单调递减；=2时，函数是二次函数，对称轴为y轴故为偶函数；根据幂函数的性质可知，幂指数为正奇数时，则在第一象限递增，故=1，3，不仅函数为奇函数，且在（0，+）单调递增，满足题意，故选D.解决该试题关键是对于各个取值意义验证，判定是否满足幂函数的性质。3已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是()A(2,3B(2,3)C2,3)D2,3【答案】A【解析】根据题意可得 且 ，解不等式组求得的取值范围【详解】cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上2a3.故选A.【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，根据三角函数值的符号判断角所在的象限，得到 且，是解题的关键，属于基础题4函数的一个零点所在的区间是( )ABCD【答案】B【解析】先求出根据零点存在性定理得解.【详解】由题得，所以所以函数的一个零点所在的区间是.故选：B【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5设a=20.5，b=log20152016，c=sin1830，则a，b，c的大小关系是（ ）Aabc Bacb Cbca Dbac【答案】D【解析】试题分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出解：1a=20.5=，b=log201520161，c=sin1830=sin30=，bac，故选：D【考点】对数值大小的比较6已知是定义在上的函数，且恒成立，当时，则当时，函数的解析式为（ ）ABCD【答案】D【解析】，推导出函数的周期性，得到，然后令，利用，即可求出时的函数解析式，【详解】，所以是以2为周期的函数，设，可得，此时， 根据，得，因此，当时，答案选D【点睛】本题考查函数的周期性问题，属于基础题7已知函数，则下列关于该函数图象对称性的描述正确的是（ ）A关于点对称B关于点对称C关于直线对称D关于直线对称【答案】D【解析】令即可解出对称轴的方程，从而得到C错误，D正确. 令可得对称中心的横坐标，从而可判断A、B是错误的.【详解】令，其中，所以，当时，故的图像关于直线对称，因为无整数解，故直线不是函数图像的对称轴.令，其中，所以，因为无整数解，故点不是函数图像的对称中心，同理也不是函数图像的对称中心.故选D.【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，属于基础题.8已知，则（ ）ABCD【答案】B【解析】利用两角和的正弦函数化简求得，再利用诱导公式，即可求解，得到答案.【详解】因为，所以，整理得，即，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9给出如下四个函数：；，b，c为常数；其中最小正周期一定为的函数个数为（ ）A0B1C2D3【答案】B【解析】将表达式化简，周期.【详解】周期为周期为；对，当时，易知不恒成立，周期为；因此仅有满足故选：B【点睛】此题考查三角函数的化简，熟记和差公式和两个基本公式即可，另外求最小正周期的前提是函数是周期函数，属于较易题目。10要得到函数的图象，可由函数（ ）A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位【答案】A【解析】利用诱导公式将函数化成余弦形式，再根据“左加右减”原则，即可得到答案.【详解】函数，函数，所以函数向左平移个长度单位可得.故选：A.【点睛】本题考查三角函数诱导公式、平移变换，考查转化与化归思想的运用，求解时要注意先将函数名化成相同，再利用“左加右减”的变换原则.二、多选题11关于函数有下述四个结论中的正确结论是（ ）A函数是偶函数B函数在区间单调递增C函数在区间上有4个零点D函数的最大值为2【答案】ABD【解析】对A，利用偶函数的定义；对B，当时，对函数进行化简得，再判断单调性；对C，对进行讨论，将函数写成分段函数的形式，再求方程的根，从而得到函数的零点；对D，当时，与同时取到最大值1.【详解】对A，因为函数的定义域为，关于原点对称，且，故函数为偶函数，故A正确；对B，当时，对函数等价于，显然函数在递增，故B正确；对C，函数当时，解得：或或，只有3个零点，故C错误；对D，当时，与同时取到最大值1，即函数的最大值为2，故D正确；故选：ABD【点睛】本题考查分段函数的奇偶性、单调性和最值，考查数形结合思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.三、填空题12若定义在上的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数都成立，则称是一个“特征函数”则下列结论中正确命题序号为_是常数函数中唯一的“特征函数”；不是“特征函数”；“特征函数”至少有一个零点；是一个“特征函数”【答案】【解析】当时，任何常函数都是“特征函数”，所以错误；对任意的不能恒成立，不是“特征函数”，所以正确；成立，则与异号，由又函数是连续的，所以在至少存在一个零点，所以正确；，则满足时，对任意恒成立满足，所以正确。所以正确的是。点睛：本题考查函数性质的应用。本题中需要学生理解“特征函数”的定义，并能在选项的判断中利用定义进行判断，对学生的数学能力要求极高，并在判断过程中能够联系学过的函数性质，加以应用。13函数的定义域为_.【答案】【解析】根据对数的真数大于0，开偶次方根的被开方数大于等于0，解不等式即可得到答案.【详解】由题意得：解得，所以函数的定义域为：.故答案为：.【点睛】本题考查具体函数的定义域求解，考查不等式的求解，注意定义域要写成集合或区间的形式.14在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则_【答案】【解析】15已知，则_.【答案】【解析】，16已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是 _【答案】【解析】在同一坐标系中作出函数和的图象，题意说明函数的图象在函数的图象的下方，即恒成立，整理后为二次不等式，由可得的范围【详解】由题意，对任意的恒成立，在同一坐标系中作出满足题意函数和的图象，如图所示，恒成立，恒成立，解得（舍去），故答案为：【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题，由于函数中含有绝对值符号，较为复杂，因此解题时利用函数的图象，把问题转化为一般的二次不等式恒成立，使得问题轻松解决数形结合思想是中学数学中的重要的思想方法，平常学习必须注意掌握四、解答题17（1）计算的值；（2）已知，求和的值【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用公式计算；（2）利用齐次的弦化切技巧计算。试题解析：(1)原式=2+= - （2）， .18已知函数，且.（1）求的值；（2）判断函数的奇偶性并证明；（3）判断在上的单调性并加以证明.【答案】（1）1；（2）是奇函数，证明见解析；（3）在上是增函数，证明见解析.【解析】（1）利用列方程，求得的值.（2）先求得函数定义域，然后利用奇偶性的定义，判断出函数为奇函数.（3）根据函数单调性的定义，计算，由此证得函数在上的是增函数.【详解】（1）由已知有，解得，所以的值为1.（2）奇函数，证明如下：函数的定义域为,是奇函数.（3）在上是增函数，证明如下：任取两数且,则，,，即，即，在上是增函数.【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查函数奇偶性的判断和证明，考查函数单调性的判断和证明，属于中档题.19设.（1）求的单调递减区间；（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 个单位，得到函数的图象，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（）化简,根据正弦函数的单调性可得的单调递增区间；（）由 平移后得进一步可得试题解析：（）由由得所以， 的单调递增区间是（或）.（）由（）知 把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到 的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到 的图象，即所以【考点】和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质、三角函数图象的变换.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角函数，进一步讨论函数的性质，利用“左加右减、上加下减”的变换原则，得出新的函数解析式并求值.本题较易，能较好地考查考生的基本运算求解能力及对复杂式子的变形能力等.20设函数，函数，且，的图象过点及（1）求和的解析式；（2）求函数的定义域和值域【答案】（1），；（2）,.【解析】(1)根据得出关于方程，求解方程即可；（2）根据的图象过点及，列方程组求得的解析式，可得，解不等式可求得定义域，根据二次函数的性质，配方可得，利用对数函数的单调性求解即可.【详解】（1）因为 ， ；因为的图象过点及，所以， ；（2）由，得函数的定义域为 ，即的值域为.【点睛】本题主要考查函数的解析式、定义域与值域，属于中档题. 求函数值域的常见方法有配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；换元法；不等式法；单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值.21某企业为打入国际市场，决定从两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）其中年固定成本与年生产的件数无关，为待定常数，其值由生产产品的原材料价格决定，预计.另外，年销售件产品时需上交万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.（1）写出该厂分别投资生产两种产品的年利润与生产相应产品的件数之间的函数关系，并指明其定义域；（2）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：(1)生产产品的年利润每件产品销售价销售量 (年固定成本每件产品成本销售量);同理,生产产品的年利润也可求得.(2)由,得,所以是增函数,且，易知时,有最大值;二次函数,易求得当时,有最大值.将的最大值和的最大值作差,比较可得何时投资哪种产品获得年利润最大.试题解析：（1）设年销售量为件，按利润的计算公式，得生产、两产品的年利润分别为： ,且;, ，且.（2）因为，所以，所以为增函数,又且，所以时，生产产品有最大利润为:(万美元).又, 且,所以时，生产产品有最大利润为(万美元) ,作差比较：,令，得；令，得；令，得.所以当时，投资生产产品件获得最大年利润；当时，投资生产产品件获得最大年利润；当时，投资生产产品和产品获得的最大利润一样.点睛：本题主要考查了二次函数的实际应用.(1)根据产品的年利润每件产品销售价销售量 (年固定成本每件产品成本销售量)，产品的年利润=每件产品销售价销售量(年固定成本每件产品成本销售量)特别关税，分别求出，与的函数关系式，根据表格写出自变量的取值范围即定义域；(2)根据，与的函数关系式，由一次函数、二次函数的性质求最大值，利用作差法求两个最大值的差，根据的取值范围，分类讨论.22已知为奇函数，为偶函数，且（1）求及的解析式及定义域；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范