高中数学空间向量与立体几何测试题

空间向量与立体几何 一 选择题 1 在下列命题中 若向量共线 则向量所在的直线平行 a b a b 若向量所在的直线为异面直线 则向量一定不共面 a b a b 若三个向量两两共面 则向量共面 a b c a b c 已知是空间的三个向量 则对于空间的任意一个向量总存在实数 x y z 使得 a b c p 其中正确的命题的个数是 pxaybzc A 0 B 1 C 2 D 3 2 与向量 3 4 5 共线的单位向量是 A 和 B 3 2 2 22 1052 3 22 22 1052 3 2 2 22 1052 C 和 D 3 2 2 22 1052 3 22 22 1052 3 22 22 1052 3 已知 A B C 三点不共线 点 O 为平面 ABC 外的一点 则下列条件中 能得到 M 平面 ABC 的充分条件是 A B 111 222 OMOAOBOC 11 33 OMOAOBOC C D OMOAOBOC 2OMOAOBOC 4 已知点 B 是点 A 3 7 4 在 xOz 平面上的射影 则等于 2 OB A 9 0 16 B 25 C 5 D 13 5 设平面内两个向量的坐标分别为 1 2 1 1 1 2 则下列向量中是平面的法 向量的是 A 1 2 5 B 1 1 1 C 1 1 1 D 1 1 1 6 如图所示 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 若 AB BB1 则 AB1与 C1B 所成的角2 的大小为 A 60 B 90 C 105 D 75 7 到定点的距离小于或等于 1 的点集合为 1 0 0 A B 2 22 11x y zxyz 2 22 11x y zxyz C D 11x y zxyz 222 1x y zxyz 8 已知均为单位向量 它们的夹角为 60 那么等于 a b 3ab A B C D 471013 9 在平面直角坐标系中 沿 x 轴把平面直角坐标系折成 120 的二面角后 则 2 3 3 2 AB 线段 AB 的长度为 A B C D 22 113 24 2 10 已知 表示两个不同的平面 m 为平面 内的一条直线 则 是 的 m A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 二 填空题 11 若空间三点 A 1 5 2 B 2 4 1 C p 3 q 2 共线 则 p q 12 设 M N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点 DE AB 于 E 如图 现将 ADE 沿 DE 折起 使二面角 A DE B 为 45 此时点 A 在平面 BCDE 内的射影恰为 点 B 则 M N 的连线与 AE 所成角的大小等 于 13 如图 PA 平面 ABC ACB 90 且 D C B A E N M B N M DC A PA AC BC a 则异面直线 PB 与 AC 所成角的余弦值等于 14 已知 若共同作用于 1 23Fijk 2 23Fijk 3 345Fijk 123 F F F 一物体上 使物体从点 M 1 2 1 移动到 N 3 1 2 则合力所作的功是 15 已知正四棱锥的体积为 12 底面对角线的长为 则侧面与底面所成的二面角等于 2 6 题号 1 2345678910 题号 题号1112131415 题号 三 解答题 16 设向量并确定的关系 使 3 5 4 2 1 832 abab a b 计算 轴垂直abz 与 17 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1棱长为 1 P Q 分别是线段 AD1和 BD 上的点 且 D1P PA DQ QB 5 12 1 求线段 PQ 的长度 2 求证 PQ AD 3 求证 PQ 平面 CDD1C1 18 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 PA 平面 ABCD AP AB 2 BC 2 E F 分别是 AD PC 的中点 2 证明 PC 平面 BEF 求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小 19 如图 已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形 AB CD ACBD 垂足为 H PH 是四棱锥的高 E 为 AD 中A 点 1 证明 PEBC 2 若APB ADB 60 求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值 20 如图 四棱锥 S ABCD 的底面是矩形 AB a AD 2 SA 1 且 SA 底面 ABCD 若边 BC 上 存在异于 B C 的一点 P 使得 PSPD 1 求 a 的最大值 2 当 a 取最大值时 求异面直线 AP 与 SD 所成角的大小 3 当 a 取最大值时 求平面 SCD 的一个单位法向量n 及点 P 到平面 SCD 的距离 21 如图所示 矩形 ABCD 的边 AB a BC 2 PA 平面 ABCD PA 2 现有数据 3 2 a 1a 3a 2a 4a 1 当在 BC 边上存在点 Q 使 PQ QD 时 a 可能取所给数据中的哪些值 请说明理由 2 在满足 1 的条件下 a 取所给数据中的最大值时 求直线 PQ 与平面 ADP 所成角的正 切值 3 记满足 1 的条件下的 Q 点为 Qn n 1 2 3 若 a 取所给数据的最小值时 这样的点 Qn有几个 试求二面角 Qn PA Qn 1的大小 答案 1 5 AABBB 6 10 BACBB 11 3 2 12 13 14 14 15 30 2 3 3 16 解 9 15 12 4 2 16 5 13 28 323 3 5 4 2 2 1 8 ab 3 5 4 2 1 8 6 5 32 21a b 由 0 0 1 32 5 48 ab 0 0 1 480 即当满足 0 即使与 z 轴垂直 48 ab 17 解 以 D 为坐标原点 DA DC DD1分别为 x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 由于正方体的棱长为 1 所以 D 0 0 0 D1 0 0 1 B 1 1 0 A 1 0 0 P Q 分别是线段 AD1和 BD 上的点 且 D1P PA DQ QB 5 12 P Q 所以 512 0 1717 55 0 17 17 512 0 1717 PQ 1 13 17 PQPQ 2 PQ AD 1 0 0 DA 0PQ DA 3 又平面 0 1 0 DC 1 0 0 1 DD 1 512 1717 PQDCDD 1 DD DC CDD1C1 PQ平面 CDD1C1 PQ 平面 CDD1C1 18 解法一 如图 以 A 为坐标原点 AB AD AP 算在直线分别为 x y z 轴建 立空间直角坐标系 AP AB 2 BC AD 2 2 四边形 ABCD 是矩形 A B C D 的坐标为 A 0 0 0 B 2 0 0 C 2 2 2 0 D 0 2 2 0 P 0 0 2 又 E F 分别是 AD PC 的中点 E 0 2 0 F 1 2 1 2 2 2 PC 2 1 2 1 1 0 1 2 4 2 0 2 0 2 0 BF EF PC BF PC EF PC BF PC EF BF EF F 来源 Zxxk Com PC 平面 BEFPC BF PC EF II 由 由 I 知平面 知平面 BEF 的法向量的法向量 平面平面 BAP 的法向量的法向量 设平面 设平面 BEF 与平面与平面 BAP 的夹角为的夹角为 则则 45 平面平面 BEFBEF 与平面与平面 BAPBAP 的夹角为的夹角为 45 解法二解法二 I 连接 连接 PE EC 在在 PA AB CD PA AB CD AE DE AE DE PE PE CE CE 即即 PEC PEC 是等腰是等腰三角形 又又 F F 是是 PCPC 的中点 的中点 EF PC EF PC 又 F F 是是 PCPC 的中点 的中点 BF PC BF PC 来源来源 学学 科科 网网 Z X X K Z X X K 又 19 解 解 以为原点 分别为轴 线段的长为单位长 建立空间直H HA HB HP x y zHA 角坐标系如图 则 1 0 0 0 1 0 AB 设 则 0 0 0 0 0 0 C mPn mn 1 0 0 0 2 2 m DmE 可得 因为所以 1 1 0 2 2 m PEn BCm 00 22 mm PE BC PEBC 由已知条件可得 33 1 33 mnC 故 0 0 设 为平面的法向量 313 0 0 0 0 0 1 326 DEP nx y x PEH 则 即因此可以取 n HEo n HPo 13 0 26 0 xy z 1 3 0 n 由 可得 1 0 1 PA 2 cos 4 PAn 所以直线与平面所成角的正弦值为PAPEH 2 4 20 解 建立如图所示的空间直角坐标系 则各点坐标分别为 A 0 0 0 B a 0 0 C a 2 0 D 0 2 0 S 0 0 1 设 P a x 0 0 x 2 1 1 PSax 2 0PDax 由得 PSPD 2 2 0axx 即 2 2 02 axxx 当且仅当 x 1 时 a 有最大值为 1 此时 P 为 BC 中点 2 由 1 知 1 1 0 0 2 1 APSD 210 cos 525 AP SD AP SD APSD A 异面直线 AP 与 SD 所成角的大小为 10 cos 5 arc 3 设是平面 SCD 的一个法向量 1 nx y z 1 0 0 0 2 1 SD D C 由得 11 11 00 0 201 0 21 xx nDCn DC yzy nSDn SD zy A A 取 1 0 1 2 n 平面 SCD 的一个单位法向量 1 1 15 2 5 0 1 2 0 555 n n n 又在方向上的投影为 0 1 0 C P n 5 5 5 15 n n C P 点 P 到平面 SCD 的距离为 5 5 21 解 建立如图所示的空间直角坐标系 则各点坐标分别为 A 0 0 0 B a 0 0 C a 2 0 D 0 2 0 P 0 0 2 设 Q a x 0 0 x 2 1 2 2 0 PQa xQDax 由 PQ QD 得 22 2 0 2 PQQDaxxaxx 2 0 2 2 0 1xaxx 在所给数据中 a 可取和两个值 3 2 a 1a 2 由 1 知 此时 x 1 即 Q 为 BC 中点 点 Q 的坐标为 1 1 0 1a 从而又为平面 ADP 的一个法向量 1 1 2 PQ 1 0 0AB 16 cos 66 1 PQ AB PQ