第一次诊断性考试数学(理科)

数学 理科 试题第 1 页 共 4 页 四川省大英中学暑期培训班第一次诊断性考试 数数 学学 理科 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的 1 若集合 A x 1 x 4 集合 B y y2 cos1B sin1 cos1 C sin1 sin2D sin2 0 且 a 1 在 R 上是奇函数 且是增函数 则 xx kaa 函数 g x loga x k 的大致图象是 A B C D xO y 21xO y 11 xO y 21xO y 1 1 数学 理科 试题第 2 页 共 4 页 7 若正数 a b 满足 则的最小值为 11 1 ab 19 11ab A 1B 6C 9D 16 8 已知函数 f x sin 其中 k 0 若当自变量 x 在任何两个整数间 64 kx 包括整数本身 变化时 至少含有 2 个周期 则最小的正整数 k 为 A 50B 51C 12D 13 9 已知都是锐角 且 则为 5 cos 5 4 sin 5 tan A 2B C 或 2D 或 2 2 11 2 11 11 2 10 已知 O 为 ABC 的外心 若 则的最 1 cos 3 A AOABAC 大值为 A B C D 1 32 1 3 2 4 3 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 设数列 an 的前 n 项和 Sn n2 则 a5 12 计算 63 125 132 13 已知变量 x y 满足约束条件则 z 2x y 的最大值为 10 10 1 xy xy y 14 已知 f x 是 R 上的减函数 A 3 1 B 0 1 是其图象上两个点 则不 等式 f 1 lnx 0 0 1 x 0 3 的图象 且最高点为 2 S 1 2 折线段 AOD 为固定线路 其 中 AO OD 4 折线段 BCD 为可变线路 但为保证驾驶安全 限定3 BCD 120 求 A 的值 应如何设计 才能使折线段道路 BCD 最长 19 本题满分 12 分 已知函数 f x x2 bx 2 g x x2 1 x R 若函数 f x 满足 f 3 x f x 求使不等式 f x g x 成立的 x 的取 值集合 若函数 h x f x g x 2 在 0 2 上有两个不同的零点 x1 x2 求 实数 b 的取值范围 A S B C D13x y O 数学 理科 试题第 4 页 共 4 页 20 本题满分 13 分 已知函数的定义域为 其中 t R 2 lg 1 ytxx M 若 求函数 f x 在 M 上的最小值及相应的 x 的值 3 2 t 2 3 42 xx 若对任意 函数满足 求 12 xxM 2 2 1 xt g x x 12 3g xg x t 的取值范围 21 本题满分 14 分 已知函数 a R 2 1 2 x f xexax 若函数 f x 的图象在 x 0 处的切线方程为 y 2x b 求 a b 的值 若函数 f x 在 R 上是增函数 求实数 a 的取值范围 如果函数 g x f x x2恰有两个不同的极值点 x1 x2 证明 2 1 a 12 ln2 2 xx a 数学 理科 试题第 5 页 共 4 页 四川省大英中学暑期培训班第一次诊断性考试数学 理科 参考解答及评分标准参考解答及评分标准 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 CBCDC ABBAD 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 9 12 613 514 15 2 1 e e 或 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 解 cosx 0 知 x k k Z 2 即函数 f x 的定义域为 x x R 且 x k k Z 3 分 又 x x xxx x xxxx xf2sin 2 2cos1 2cossin2sin2 cos cos sincossin2 2 2cos2 sin1xx 4 2sin 21 x 8 分21 max xf II 由题意得 0 即 12sin 2 4 x sin 2 4 x 2 2 解得 k Z 3 2 4 k 2 4 x 9 2 4 k 整理得 x k Z 4 k k 结合 x k k Z 知满足 f x 0 的 x 的取值集合为 x x 且 x k k Z 12 分 4 k k 2 17 解 I 设 an 的公差为 d 则由题知 解得 a1 2 d 4 4 分 或 或 4874 143 11 1 dada da an 2 4 n 1 4n 2 6 分 II 设 bn 的公比为 q 若 q 1 则 S1 b1 S2 2b1 S3 3b1 数学 理科 试题第 6 页 共 4 页 由已知 代入得 8b1 4b1 而 b1 0 故 q 1 不合题意 312 322SSS 7 分 若 q 1 则 S1 b1 q qb S 1 1 2 1 2 q qb S 1 1 3 1 3 于是 23 11 1 1 1 223 11 bqbq b qq 或 整理得 4q2 3q q3 解得 q 0 舍去 q 1 舍去 q 3 10 分 12 分80 31 31 2 4 4 S 18 解 I 由已知 A 2 且有 即 3 0sin 2 2 3 sin 由 得 2 3 又 最高点为 1 2 解得 或 2 3 sin 2 6 6 分 36 sin 2 xy II B 点的横坐标为 3 代入函数解析式得 1 2sin 3 63 B y 8 分2 34 1 22 BD 在 BCD 中 设 CBD 则 BDC 180 120 60 由正弦定理有 60sin sin120sin BCCDBD 9 分 sin 3 62 CD 60sin 3 62 BC 60sin sin 3 62 CDBC sin 2 1 cos 2 3 sin 3 62 3 sin 3 62 当且仅当时 折线段 BCD 最长 最长为千米 12 分 6 3 62 19 解 I 由于 f 3 x f x 知函数 f x 关于对称 2 3 x 数学 理科 试题第 7 页 共 4 页 即 解得 b 3 于是 f x x2 3x 2 3 分 2 3 2 b 2 2 111 111 xxx g x xx 或或或 或或 当 x 1 或 x 1 时 由 f x g x 有 x2 3x 2 x2 1 解得 x 1 此时 x 的范围为 x 1 或 x 1 当 1 x 1 时 由 f x g x 有 x2 3x 2 1 x2 解得 x 或 x 1 1 2 此时 x 的范围为 10 恒成立 不满足条件 2 2311 511 xxx h x x 或或或 或 9 分 若 b 0 时 函数 x bx 5 在 0 1 上是单调函数 即 x 在 0 1 上至多一个零点 不妨设 0 x1 x2 2 如果 0 x1 1 1 x2 2 时 则 且 0 即0 1 0 1 2 hh 解得 50 5 211 0 b bb 或 或 11 2 5b 经检验时 的零点为 2 舍去 2 11 b xh 10 11 11 2 5b 若 1 x1 x2 2 时 即得 5 2 1 1 2 0 12 4 240 h h b b 或 或 或 或 或或 或 或 或 6262 48 0112 05 bb b b b 2 6b 综上所述 b 的取值范围为 12 分 11 2 6 2 b 20 解 I 由解得 即 2 分0 2 3 1 2 xx2 2 1 x 2 2 1 或 M 数学 理科 试题第 8 页 共 4 页 xxxx xf24 2 3243 22 令 2x t 则 4 2 2 t 3 4 3 2 343 22 ttttgxf g t 在上是增函数 4 2 2 或 g t 在上无最小值 即 f x 在 M 上无最小值 4 2 2 或 7 分 II 0 1 1 2 22 2 x xtx xg g x 在 M 上是增函数 8 分 设 1 tx x2 0 的两根为 则 t 1 M 于是 1 2 1 2 22 tt gg 1 1 1 2 1 2 22 22 tt 12 2 2 22 t 2 2 4 4 t t 4 2 4 2 t 由题意知 要使原不等式恒成立 只需 解得 34 2 t 55 t 或 13 分 21 解 I axexf x af 1 0 于是由题知 1 a 2 解得 a 1 xxexf x 2 2 1 0 1f 于是 1 2 0 b 解得 b 1 4 分 II 由题意 1 即 0 恒成立 x f axe x 恒成立 xea x 设 则 xexh x 1 x exh x 0 0 0 x h 0 h x 减函数极小值增函数 数学 理科 试题第 9 页 共 4 页 h x min h 0 1 a 1 9 分 III 由已知 axaxexaxaxxexg xx 2222 2 1 2 1 aaxexg x 2 x1 x2是函数 g x 的两个不同极值点 不妨设 x10 若 a 0 时 即 g x 是 R 上的增函数 与已知矛盾 且0 x g 0 1 x g0 2 x g 02 1 1 aaxex02 2 2 aaxex 两式相减得 21 21 2 xx ee a xx 于是要证明 即证明 a xx 2ln 2 21 21 2 21 21 xx ee e xx xx 两边同除以 即证 即证 x1 x2 2 x e 21 2 1 21 21 xx e e xx xx 2 21 xx e 1 2