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导数应用及积分全攻略河南省三门峡市卢氏一高数学组（472200）赵建文综观近年来的高考试卷，利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题、解决实际优化问题和求积分是考查的重点和热点. 为帮助同学们全面掌握导数的应用和求积分，本文对导数应用和求积分相关考点作以解读，对相关解题规律作以总结.【考点及要求】1.了解函数单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次），会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.3.会应导数解决某些实际问题.4.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，了解微积分基本定理的含义，会应用微积分基本定理求积分.【考点归纳分析】考点1：函数的单调性问题利用导数研究函数的函数的单调性问题，有三类题型：（1）求函数的单调区间；（2）已知函数的单调性求函数参数的范围问题；（3）通过研究函数的单调性研究函数的图像和极值、最值及方程解得个数问题，可以为小题，也可为解答题，小题中档以下难度题，大题为中档题.例1（2009安徽理19）已知函数=，0，讨论的单调性.审题要津：本题是含参数的单调性问题，利用导数求单调区间.解： 的定义域为(0，+)，=.设=，二次方程=0的判别式=，当0即0时，对一切0都有0，此时是(0，+)上的单调增函数;当=0即=时，仅对=有=0，对其余的0都有0，此时是(0，+)上的单调增函数;当0即时，方程=0有两个不同的实根=，=，0（，）（，+）00单调递增极大单调递减极小单调递增此时的单调递增区间为（0，），（，+），单调递减区间为（，）.【点评】当函数含参数时，求单调区间注意分类讨论.策略指导对函数单调性问题，常有两类问题：（1）求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论；（2）已知在某个区间上的单调性求参数问题，先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数）0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加.考点2：函数极值问题函数的极值问题考查形式灵活多样，常与函数的最值、参数问题、方程解得个数问题、不等式证明、实际问题等相结合，考查求函数极值、已知极值求参数、应用函数图像解方程个数问题、求最值及利用最值证明不等式，既有小题又有大题.例2（2009天津卷理20）已知函数=其中（1） 当时，求曲线在点处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 当时，求函数的单调区间与极值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 审题要津：按求在某点切线的方法求切线，通过解导数大于（小于）0的不等式求单调区间,因含参数，要分类讨论.解：（I）（II）= . 令=0，解得=或=，由知以下分两种情况讨论。（1），则.当变化时，、的变化情况如下表：+00+极大值极小值函数增区间为，减区间为，函数在处取极大值= . 函数在处取极小值=（2），则，当变化时，、的变化情况如下表：+00+极大值极小值增区间为，减区间为，函数在处取极大值= . 函数处取极小值= 【点评】本题考查了利用导数求切线方程、求极值及分类讨论思想，注意求过某点的切线与在某点的切线不同，含参数要分类讨论.策略指导对极值问题，有三类题型，（1）求函数的极值，先求导函数，令导函数为0，求出导函数为0时，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点去极小值，要说明在哪一点去极大（小）值；（2）已知极值，求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0，列出关于参数方程，求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0的必要不充分条件，故需将参数代入检验在给点的是否去极值；（3）已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于0，求出参数的范围.考点3：函数最值问题函数的最值问题考查形式比较灵活，常与极值、值域、不等式证明、恒成立问题结合，考查利用导数处理最值问题、不等式证明、处理恒成立问题能力，可以是小题，也可能是解答题，小题是容易题，解答题为中档以上难度题.例3 (2009湖南卷理8)设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数，取函数=，若对任意的，恒有=，则 ( )AK的最大值为2 B. K的最小值为2CK的最大值为1 D. K的最小值为1 审题要津：利用导数先求出函数最值，从而得到K的范围，易求出K最小值.解：由=0知=0，所以（，）时，0，当（0，时，0，所以=1，即的值域是（，而要使=在R上恒成立，结合条件分别取不同的K值，可得D符合，此时=.故选D项.【点评】注意极值与最值的区别与联系.策略指导函数最问题，有两类，（1）对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；（2）对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题或，通过参变分离转化为不等式（）（是自变量，是参数）恒成立问题，（），转化为求函数的最值问题，注意函数最值的区别于联系.考点4：实际优化问题 实际优化问题，即求最值或求去最值条件的实际应用题，背景灵活多样，主要包括用料最省、费用最低、损失最小、方案最佳、收益最大等问题，常将其转化为函数或数列的最值问题，再用导数或基本不等式或函数性质求解，可以是小题，也可以是解答题，难度为中档难度题.例4(2009山东卷理21）两县城A和B相距20Km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和.记C点到城A的距离，建在C处的垃圾处理厂对城B的影响度为，统计调查表明；垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城B的平方成反比，比例系数为4；城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为K，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城B）总影响度为0.065.（）将表示成的函数；（）讨论（）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点城A的距离；若不存在，说明理由.审题要津：先根据题中条件和题意用待定系数法求出函数解析式，再利用导数求出函数最值.解：:（1）如图,由题意知ACBC,=, =(),其中当=时，=0.065,所以=9所表示成的函数为=();（2）求导得,=,令=0，得=,解得=，当0时, 0，所以函数为单调减函数,当20时，0所以函数为单调增函数.当=时, 即当C点到城A的距离为时, 函数=（）有最小值.【点评】不能忽视函数的定义域，本题也可用换元法和均值不等式求最值.策略指导对实际优化问题，要认真审题，要弄清是哪一类最优化问题，涉及哪些量及这些量间的关系，哪些量是已知的，哪些量是未知的，设出相关量，根据题意，列出关系式，注意根据变量的实际意义和相互关系确定变量的取值范围，将实际问题转化为数学最优化问题，再根据转化所得的数学问题类型，从导数法或基本不等式法或函数性质法或线性规划法中选择合适求解，并检验所得结果是否适合数学模型和符合实际问题要求，从而对原问题作出合乎实际的回答.考点5导数综合应用导数的综合应用，考查形式灵活多样，常考查利用导数求曲线的切线、求最值、证明不等式、研究方程解得个数、恒成立、参数等问题，是高考考查的重点内容，是高考中的难度较大的题目.例5（2009全国卷理）设函数=有两个极值点、且，（I）求的取值范围，并讨论的单调性； （II）证明：.审题要津：（1）将问题转化为导数对应的方程在定义域内有两解问题，利用根的分布去求解，（2）通过构造函数，研究该函数的单调性，利用单调性证明不等式.解：（I）=（1）， 令=，其对称轴为=.由题意知、是方程=0的两个均大于1的不相等的实根，其充要条件为，得0，当（1，）时，0，在（1，）内为增函数；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当(,)时，0,在(,)内为减函数；当(,)时，0, 在(,)内为增函数；（II）由（I）=0,0，=,=,设=(0)，则=,当(,0)时，0,在单调递增；当(,0)时，=，故= 【点评】本题极值个数问题和不等式证明问题，要掌握这类问题解法.策略指导（1）对极值个数问题，常转化为导函数对应方程解得个数问题，利用导函数的图像求解；（2）对方程的解得问题，通常先利用导数研究对应函数的图像与性质，在利用函数的图像与性质求解；（3）对不等式的证明问题，先根据题意构造函数，再利用导数研究函数的单调性与最值，利用函数的单调性与最值证明不等式；（3）对参数和恒成立问题、有解问题，常通过参变分离，转化为含参数部分大于另（小于）一端不含参数部分的最大值（最小值）问题，再利用导数研究函数的最值，注意恒成立与有解的区别.考点6：简单的积分问题积分问题，有着多种多样的实际背景，常与平面几何中曲边题型面积、物理中有关问题，重点考查对积分概念、积分思想、运用微积分基本定理求积分、积分在实际问题中的简单应用，常常一小题形式出现，是较容易题目.例6 （2009福建理4）等于( )A B. 2 C. -2 D. +2审题要津：利用积分运算性质和微积分基本定理求解.解：=1，=， =+=，故选D.【点评】先用积分运算法则分成简单函数的积分，再用微积分基本定理求解.策略指导积分问题，有三种类型，（1）求定积分，利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则从反向求出，再微积分基本定理和积分运算性质求出定积分；（2）利用积分求平面图形面积，应首先画出平