高数上练习题(部分参考答案与提示)

1 高等数学 上 基本概念与基本计算练习题高等数学 上 基本概念与基本计算练习题 参考答案参考答案 一 求极限一 求极限 1 n n n 2 1 lim 解 解 毕 毕 2 2 2 2 1 lim 2 1 lim e nn n nn n n n 2 x x x 1 0 31lim 解 解 毕 毕 3 3 3 1 0 1 0 3 1 lim 31 limexx x x x x x x 3 x x x 2sin lim 0 解 解 毕 毕 2 2 lim 2sin lim 00 x x x x xx 4 x x x arctan 1 lim 解 解 毕 毕 0arctan 1 lim 2 arctan 0 1 lim x x x x xx x x x 11 lim 5 0 解 解 毕 毕 2 1 11 lim 11 11 11 lim 11 lim 000 xx x xx xx x x xxx 6 1 1 1 2 lim 2 1 xx x 解 解 毕 毕 2 1 1 1 lim 1 1 2 lim 1 1 1 2 lim 1 2 1 2 1 xx x xx xxx 7 xx t x t x sin d e1 lim 0 0 解 解 毕 毕 2 1 2 e lim 2 e1 lim d e1 lim sin d e1 lim x 0 x 0 2 0 0 0 0 xx x t x x t x xx t xx t 2 8 3 0 0 d 1ln lim 2 x tt x x 解 解 3 2 lim 3 2 1ln lim 3 2 3 1ln 2 lim d 1ln lim 00 2 2 0 3 0 0 2 x x x x x xx x tt xxx x x 毕 毕 二 函数的连续性与间断点二 函数的连续性与间断点 1 2ln 2 的连续区间求函数 xxxf 解 解 因为对数函数是初等函数 所以该函数的定义域就是该函数的 连续区间 即 为连续1201 2 x x0 2 2 xxxx或 区间 毕毕 2 并判断间断点的类型的间断点指出函数 1 sin 1 2 xx xx xf 解 解 该函数为初等函数 且在点处无定义 因此 0 1 1 xxx 这三点就是该函数的间断点 又 所以为该函数的可去间断点 1 sin lim 1 1 lim 1 sin1 lim 00 2 0 x x xxx xx xxx 0 x 1sin 2 1sin lim 1 1 lim 1 sin1 lim 0101 2 01 x x xxx xx xxx 1sin 2 1sin lim 1 1 lim 1 sin1 lim 0101 2 01 x x xxx xx xxx 函数在点处 左右极限存在但不相等 所以为跳跃型间断1 x1 x 点 3 所以为无穷间断点 sin 1 1 lim 1 sin1 lim 1 2 1 x x xxx xx xx 1 x 毕毕 0 0 1 sin 0 0 0 sin 1 3处的连续性在讨论函数 x x x x x xx x xf 讨论 讨论 1 sin lim lim 00 0000 x x xff xx 0 1 sin lim lim 00 0000 x xxff xx 又0 0 f 因为 00 0 00 fff 因此函数在点处 只是右连续而非左连续 故函数在 xf0 x xf 点处是间断的 为第一类跳跃间断点 0 x0 x 毕毕 0 1 02 0 sin 4 为连续函数使确定 设xfba x x e x x ax x xf bx 解 解 只需选择使函数在点处连续即可 ba xf0 x 因为 aax x xff xx 1sin lim lim 00 0000 又b x bx x e xff x bx xx 000000 lim 1 lim lim 00 2 0 f 由 2 2 1 00 00 0 bafff 4 即 当时 函数为连续函数 2 2 1 ba xf 毕毕 13 5的正根至少存在一个小于证明方程xe x 证明 证明 设 因为函数在区间上连续 1 0 3 xxexf x xf 1 0 又 所以方程在区间至少有一个03 1 01 0 eff0 xf 1 0 根 即 13的正根至少存在一个小于方程xe x 毕毕 2 6 21 2 121 cfxfxf cxxbxxabaxf 使得 上至少有一点证明在内连续在设函数 证明 证明 设 则依题设在区 2 21 21 xxx xfxf xfxF xF 间上连续 21 xx 当时 只需取即可 21 xfxf 1 xc 当时 因为 21 xfxf 0 2 2 2 2 1221 21 2 21 121 xfxfxfxf xfxf xf xfxf xfxFxF 由连续函数的中介值定理可知 至少存在一点使成 21 xxc 0 cF 立 综上所述 成立 使得上至少有一点在 2 212 1 cfxfxfcxx 毕毕 三 三 求导数与求微分求导数与求微分 5 4 2 sin 1 2 dx dy x x xy求设 解 解 2 2 4 2 cos 22 sin 4 2 sin x xxxx x x xy 毕毕 tan 2dyfxfy求可微其中设 解 解 xdxxfxdxfxdfdy 2 sec tan tan tan tan 毕毕 0 3yexyexyy y 求所确定由方程设函数 解 解 又00 yxyyexye yy 1 0 x y 所以 1 01 0 0 eyyxyye xyx y 毕毕 arctan 1ln 4 2 22 dx yd dx dy tty tx xyy及求所确定由参数方程设函数 解 解 2 1 2 1 1 1 1 ln arctan 2 2 2 t t t t td ttd dx dy t t t t t t t d dx dx dy d dx yd 4 1 1 2 2 1 1 2 2 2 22 2 2 6 毕毕 1 f 1 1 1 1 1 5 3 3 和并求求可导在设函数ffbax xx xbax xf 解 解 因为 函数在点处可导的必要条件是 函数在 xf1 x xf 点处连续 所以有1 x 1 1 1 lim 01 lim 01 3 01 3 01 f xf babaxf x x 11 1 01 01 babafff 或 9 8 1 9 1 3 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 lim 1 1 lim 1 1 lim 1 3 1 1 1 lim 1 lim 1 1 lim 1 1 lim 1 33 2 33 2 3 01 3 0101 2 01 3 01 3 0101 abaafff xxx xxx x x x fxf f a x xxx a x aax x bax x fxf f xxx xxxx 由 即 当函数在点处可导时 xf1 x 9 8 9 1 ba 毕毕 或用下列方法求极限 9 8 1 9 1 3 1 3 1 1 1 3 1 1 3 1 lim 1 1 lim 1 1 lim 1 3 1 3 lim 1 lim 1 1 lim 1 1 lim 1 3 2 01 3 0101 2 01 3 01 3 0101 abaafff x x x x fxf f a ax x aax x bax x fxf f x L xx x L xxx 常 常 1 0 6 处的切线与法线方程在点求曲线 x ey 7 解 解 切线方程 0 1 0 xyy x 法线方程 0 1 1 0 x y y x 又1 00 x x x ey 所以 切线方程 法线方程 xy 1xy 1 毕毕 1 1 1ln 7 处的切线与法线方程在点求曲线 yxy 解 两边对解 两边对 求导得 求导得 x 0 y y yxy 将代入得 即 1 1 yx021 1 1 y 2 1 1 1 y 所以 切线方程 法线处的在点曲线 1 1 1ln yxy032 yx 方程 012 yx 毕毕 0 2 8 线方程相应的点处的切线与法在求曲线 t ey ex t t 解 解 因为当时 0 t 1 2 2 00 00 t t t t t t ey ex 切线方程 2 1 0 xyy t 法线方程 2 1 1 0 xyy t 又 2 1 2 2 000 t t t t t t t e e e e dx dy 8 所以 切线方程 法线方程 2 2 1 1 xy042 yx 2 21 xy032 yx 毕毕 四 四 利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的性质 1 2 3 3 2 的单调区间和极值求函数xxxf 结论 函数的单调增区间为 1 0 函数的单调减区间为 1 0 其极大值为 其极小值为0 0 f 5 0 1 f 2 ln2 2 凹凸区间及拐点的单调区间求xxy 结论 曲线在内为凹 曲线在内为凸的 为拐点 2 1 2 1 0 2ln 2 1 2 1 3 21 23 处有极值在已知函数xbxaxxxf 的所有极值及求常数xfba 解 解 是可微的 由极值的必要条件可得 bxaxxxf 23 已知函数 032 23 1 1 2 1 23 babaxxbxaxxf xx 又 解方程组 得 2 1 f 21 032 ba ba 3 0 b a 结论 其极大值为 其极小值为2 1 f2 1 f 4 3 1 23 babxaxy求凹凸区间及常数的拐点为曲线若点 解 解 且 是二阶可导的 易知函数 23 bxaxy baxy bxaxbxaxy 26 23 223 9 依题设 应有 3 026 26 1 23 1 11 xx xx bxaxy babaxy 解方程组 2 3 3 2 3 3 026 b a ba ba 结论 曲线在内为凹 曲线在内为凸的 1 1 5 0 93 23 上的最小值在求函数 xxxxf 结论 是函数 f x 在内唯一的极小值点 从而也是 f x 在1 x 0 该区间上的最小值点 且5 1 min f 6 2 1cos 0 2 x xx 时当证明 提示 提示 设 0 cos 2 1 2 xx x xf 0 0 0 0 0 7 单调增加在证明 且上二阶可导在 x xf xffxf 提示 令 x xf xF 2 x xfxfx xF 0 x 令 得 xfxfxxg 0 xfxxg 0 x 故在内单调增 也即 xg 0 0 0 gxg 0 x 由此便知 即在内单调增 0 xF x xf 0 1 0 025 8 3 内只有一个根在证明方程 xx 提示 令 25 3 xxxf 1 0 x 证明在内单调增 xf 1 0 证明在内满足零点定理 则有且仅有一个正根 xf 1 0 10 9 求函数在上的最大值与最小值 xI x t tt t 0 2 d 1 12 1 0 提示 求导 证明在内单调增 xI 1 0 则 0 0 min f 1 max f3ln 1ln d 1 121 0 2 1 0 2 ttt tt t 五 五 求不定积分与定积分求不定积分与定积分 1 dxxxe x 2 解 解 毕 毕 Cxedxxdxedxxxe xxx 2 5 2 3 5 2 22 2 d 53 2 3 xx 解 解 毕 毕 Cxxxxx 433 53 20 1 5 d 3 53 5 1 d 53 d 49 3 2 x x x 解 解 毕 毕 Cx x xd x x x x x x 2 2 2 22 49 4 1 492 4 9 4 1 d 49 2 2 1 d 49 d sin cos 4 3 x x x 解 解 毕 毕 Cx x xd x x x 2 33 sin 2 1 sin sin d sin cos x x d 12 1 5 5 1 解 解 毕 毕 21312 1d 2 12 1 2 1 d 12 1 5 1 5 1 5 1 xx x x x xx dx e ln1 6 2 1 解 解 毕 毕 232ln12 ln1 1 ln ln1 2 22 1 11 e ee x x xd xx dx 11 xx d2cos1 7 0 解 解 xxxx xxxxxx dcos2dcos2 dcos2dcos2d2cos1 2 2 0 00 2 0 毕 毕 22sin2sin2 0 2 2 xx dxxxx 2 2 cos 8 解 解 2 cos2 sin sin 2 cos2coscoscos 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 xdxxxx dxxxdxxxdxxxdxxxx 毕 毕 9 9 已知的一个原函数是 求 xf x xsin d xxfx 解 解 C x xxx C x x x x x xxfxxfxdfxxxfx sin2cossin sin d d 毕 毕 10 已知 计算 0 0 21 1 32 xe x xxf x d2 3 1 xxf 提示 提示 12 3ln 2 1 3 1 21ln 2 1 3 1 d 21 1 d dd d d2 521 0 0 1 32 1 0 0 1 32 1 0 0 1 1 1 3 1 eeue u u ue uufuufuufxxf u u 毕 毕 11 判断下列反常积分的收敛性 若收敛 计算其值 3 d 1 4 0 2 x x d 1 2 1 3 x x 提示 1 为瑕点 3 x 4 0 2 3 d x x 3 0 2 3 d x x 4 3 2 3 d x x 又 故反常积分发散 3 0 2 3 d x x xx x 3 1 lim 3 1 3 3 0 2 1 2 3 1 2 11 xdx x2 1 2 1 2 1 lim 2 x x 故反常积分收敛 其值为 2 1 六 定积分的应用 定积分的应用 22 1 2 所围图形的面积与直线计算抛物线 xyxy 提示 4 171 4 171 Axxxd 22 2 2 2 2 所围图形的面积与直线计算曲线 yeyey xx 提示 2 1 Ayy y d ln 2 ln 2 3 2ln3 1 2 4 3 2 面积与该抛物线所围图形的 并计算法线方程处的切线与法线方程在点求抛物线 x y 提示 2 6 Axx x d 3 4 2 3 64 4 3 2 轴旋转所得立体体积轴所围图形绕与计算由曲线xxxy 13 提示 3 3 V xxd3 2 2 3 5 48 31 3 3 5的一段弧的弧长上相应于计算曲线 xx x y 提示 dxys 3 1 2 1dx x x 3 1 2 1 3 4 32 6 过点 坐曲线的切线 此切线与曲线和 y 0 围成一块平面图形 1 求该平面图形的面积 2 求该 平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积 3 求该图形边界曲X 线的弧长 提示 设切点 求切线方程 得切点 切线方程 1 1 1 2 1 xy 面积 常 常 AAA 3 1 d12 2 1 1 0 xx 或 1 0 Ayyyd 12 2 3 1 体积 常 常常 常 VVVx 21 3 1 2 1 0 2d xx 6 七 微分方程七 微分方程 1 求方程 的通解和满足初始条件 0sin 1 cos ydyeydx x 的特解 4 0 x y 提示 分离变量得x e y y y x d 1 1 d cos sin 两边积分Cx e y y y x d 1 1 d cos sin 得通解 C 为任意常数 1 cos x eCy 2 求方程 的通解 xxyy 提示 按可分离变量方程求解 xxy y dd 1 1 14 按一阶线性方程求解 用常数变易法或用公式法 常数变易法 先求的通解 即0 xyy 2 2 x eCy 将代入原方程得 即 2 2 x exCy xexC x 2 2 xxexC x d 2 2 从而得原方程通解为 22 22 Ceexy xx 3 的特解求1 sin dx dy x y x x x y 提示 此为一阶线性方程求特解 用常数变易法或用公式法 其中 1 x xP x x xQ sin 常数变易法 先求的通解 0 d d x y x y 即 xxP eCxy d x x eC d 1 x C1 将代入原方程得 x xC y 即 x x x xCsin CxxsxC cosinxd 从而得原方程通解为 xy x xCcos 所求方程的特解为 xy x xcos1 或直接利用公式 CxexQey xxPxxP d d d 4 验证 是方程的解 并求该方程的 x yxy 1 2 5 1 053 2 yyxyx 通解 提示 先验证是方程的解 x yxy 1 2 5 1 053 2 yyxyx 验证线性无关 即 x yxy 1 2 5 1 常 常常 常 6 2 1 x y y 该