数学选修4-4一轮复习讲义.docx

选修4-4 极坐标与参数方程第一节坐标系备考导航考纲展示考情解读1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化3.能在极坐标系中给出简单的图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义4.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.1.高考主要考查极坐标的建立，极坐标系下点的坐标表示，几种简单曲线的极坐标方程的求法和极坐标与直角坐标的互化一般与参数方程交汇命题2.以解答题为主，属于容易题.要点梳理一、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换二、极坐标系的概念1极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系2极坐标设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有序数对(，)叫做点M的极坐标，记为M(，)一般地，不做特殊说明时，我们认为0，可取任意实数3点与极坐标的关系一般地，极坐标(，)与(，2k)(kZ)表示同一个点特别地，极点O的坐标为(0，)(R)和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示如果规定0，02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示；同时，极坐标(，)表示的点也是唯一确定的三、极坐标和直角坐标的互化1互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位2互化公式：如图所示，设M是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)(0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式xcos_，ysin_2x2y2，tan (x0)四、常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos_圆心为，半径为r的圆2rsin_(0)过极点，倾斜角为的直线(1)(R)或(R) (2)(0)或(0)过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos_a过点，与极轴平行的直线sin_a(00)上的动点，Q为曲线r2sin 上的动点，若线段PQ长度的最小值为1，则a的值为_【解析】由rsina，得a，即xya0.由r2sin ，得r2rsin ，即x2y2y0，化为标准方程得：x22.由题意可知，线段PQ长度的最小值为1(a0)，解得a.【答案】规律方法极坐标方程与普通方程互化的技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos ，sin ，2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程(2)巧借两角和差公式，转化sin()或cos()的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程(3)将直角坐标方程中的x转化为cos ，将y换成sin ，即可得到其极坐标方程1在极坐标系中，直线l的方程为(cos sin )，曲线C的极坐标方程为2cos，若直线l与曲线C交于A，B两点，则|AB|_.解析直线l的直角坐标方程为yx，2cos的直角坐标方程为221，所以圆心到直线l的距离d，|AB|.答案考点三曲线的极坐标方程【典例2】导学号：35540847已知圆C：x2y24，直线l：xy2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程；(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|OP|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程【解析】(1)将xcos ，ysin 代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：2，l：(cos sin )2.(2)设P，Q，R的极坐标分别为(1，)，(，)，(2，)，则由|OQ|OP|OR|2得1.又22，1，所以4，故点Q轨迹的极坐标方程为2(cos sin )(0)规律方法求曲线极坐标的方法1求曲线方程，常设曲线上任意一点P(，)，利用解三角形的知识列出等量关系，特别是正、余弦定理使用的较多2求曲线的极坐标的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程2在直角坐标系中，曲线C的方程为(x2)2y23，射线l的方程为xy0(x0)(1)把曲线C和射线l的方程化为极坐标方程；(2)若射线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|OB|的值解析(1)把xcos ，ysin 代入曲线C和射线l的方程分别得其极坐标方程为：24cos 10，(0)(2)由(1)知曲线C的极坐标方程为24cos 10，把代入上式可得：2210.设A，B两点的极径分别为1，2，则122.故|OA|OB|122.限时55分钟，满分80分一、填空题(85分40分)1设平面上的伸缩变换的坐标表达式为，则在这一坐标变换下曲线yx2的方程变为_解析代入yx2得3yx2，即yx2.答案yx22(2016惠州模拟)在极坐标系中，圆4sin 的圆心到直线(R)的距离是_解析如图：d2sin 1.答案13导学号：35540848(2015湖北)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的极坐标方程为(sin 3cos )0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|_.解析因为(sin 3cos )0，所以sin 3cos ，所以y3x0，即y3x.由消去t得y2x24.联立方程组，解得或，即A，B，由两点间的距离公式得|AB| 2.答案24导学号：35540849(2016佛山模拟)在极坐标系中，直线l的方程为(cos sin )4，曲线C的极坐标方程为4sin，则直线l和曲线C的公共点有_个解析把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程为xy40，曲线C的极坐标方程为4sin，即24，即x2y24y4x，即(x2)2(y2)28，表示以(2,2)为圆心，以r2为半径的圆圆心到直线的距离等于d2半径r，故直线和圆相切，故直线l和曲线C的公共点的个数为1.答案15导学号：35540850(2015重庆)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos 24，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_解析直线l的普通方程为yx2，由2cos 24得2(cos2sin2)4，直角坐标方程为x2y24，把yx2代入双曲线方程解得x2，因此交点为(2,0)，其极坐标为(2，)答案(2，)6导学号：35540851(2015广东)已知直线l的极坐标方程为2sin，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为_解析依题直线l：2sin和点A可化为l：xy10和A(2，2)，所以点A与直线l的距离为d，故应填入.答案7若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为_解析因为xcos ，ysin ，且y1x，所以sin 1cos ，所以(sin cos )1，.又0x1，所以0y1，所以点(x，y)都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0.故所求的极坐标方程为，0.答案，08在极坐标系中，直线(cos sin )2与圆4sin 的交点的极坐标为_解析(cos sin )2化为直角坐标方程为xy2，即yx2.4sin 可化为x2y24y，把yx2代入x2y24y，得4x28x120，即x22x30，所以x，y1.所以直线与圆的交点坐标(，1)，化为极坐标为.答案二、解答题(410分40分)9(10分)若直线3x4ym0与曲线22cos 4sin 40没有公共点，求实数m的取值范围解析曲线22cos 4sin 40的直角坐标方程是x2y22x4y40，即(x1)2(y2)21.要使直线3x4ym0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，2)到直线3x4ym0的距离大于圆的半径即可，即1，|m5|5，解得，m10.10(10分)求函数ysin经伸缩变换后的解析式解析由得将其代入ysin，得2ysin，即ysin.11导学号：35540852(10分)在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为2cos ，cos1.(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|OQ|2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形解析(1)C1的直角坐标方程为(x1)2y21，它表示圆心为(1,0)，半径为1的圆C2的直角坐标方程为xy20，所以曲线C2为直线由于圆心到直线的距离为d1，所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点(2)设Q(0，0)，P(，)，则即因为点Q(0，0)在曲线C2上，所以0cos1，将代入，得cos1，即2cos为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为221，因此点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆12导学号：35540853(10分)已知曲线C的极坐标方程为21，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程后，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C.(1)求曲线C的普通方程；(2)若点A在曲线C上，点B(3,0)，当点A在曲线C上运动时，求AB中点P的轨迹方程解析(1)把xcos ，ysin 代入21中，可得曲线C的直角坐标方程为1.将代入C的普通方程得x2y21，即C：x2y21；(2)设P(x，y)，A(x0，y0)，则x，y，所以x02x3，y02y，即A(2x3,2y)，代入C：x2y21，得(2x3)2(2y)21，即2y2，故AB中点P的轨迹方程为2y2.第二节参数方程2017备考导航考纲展示考情解读1.了解参数方程，了解参数的意义2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程3.掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.1.直线、圆与椭圆的参数方程及应用是命题的热点，着重通过参数方程与普通方程的互化考查直线与圆、椭圆的位置关系等问题2.以解答题为主，属于容易题.要点梳理一、参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程二、参数方程和普通方程的互化1曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程2如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程3在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致三、圆的参数方程如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0(t0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设M(x，y)，则(为参数)这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程其中参数的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度圆心为(a，b)，半径为r的圆的普通方程是(xa)2(yb)2r2，它的参数方程为：(为参数)四、椭圆的参数方程中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为1(ab0)，其参数方程为(为参数)其中参数称为离心角；中心在原点O，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是1(ab0)，其参数方程为(为参数)其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为0,2)五、直线的参数方程经过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的普通方程是yy0tan_(xx0)，而过M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)小题巩固1思考辨析(1)参数方程(t1)表示的曲线为直线()(2)参数方程表示的曲线为圆()(3)直线(t为参数)的倾斜角为30.()(4)参数方程表示的曲线为椭圆()解析(1)错误t1，故x2，所以所给的参数方程表示射线(2)正确把参数方程化为普通方程可得x2(y2)21，故表示圆(3)正确直线的参数方程为故倾斜角为30.(4)错误所给的参数方程表示的曲线是椭圆在第一象限的部分答案(1)(2)(3)(4)2导学号：35540854参数方程(t为参数)化为普通方程为_解析x，y4343x.又x20,2)，x0,2)所求的普通方程为3xy40(x0,2)答案3xy40(x0,2)3在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为_解析由C1得x2y25，且由C2得x1y.由联立解得答案(2,1)4直线(t为参数)与圆(为参数)相切，则切线的倾斜角为_解析直线的普通方程为bxay4b0，圆的普通方程为(x2)2y23，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为，从而有，即3a23b24b2，所以ba，而直线的倾斜角的正切值tan ，所以tan ，因此切线的倾斜角为或.答案或5已知曲线C的参数方程是(t为参数)则点M1(0，1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系_(填点是否在曲线上)解析将M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t0.因此M1在曲线C上同理可知方程组无解，故M2不在曲线C上答案M1在曲线C上，M2不在曲线C上考点一参数方程与普通方程的互化自主演练1导学号：35540855在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程是x22y25，C2的参数方程是(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标是_解析C2的参数方程是(t为参数)，转化成直角坐标方程为：x23y2，则由，解得，由于C2的参数方程是(t为参数)，满足所以，即交点坐标为(，1)答案(，1)2(2016茂名模拟)在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为(为参数)，则坐标原点到该圆的圆心的距离为_解析圆C的参数方程为(为参数)，cos ，sin ，1sin2cos222，化简得x2(y2)24，故C(0,2)，|OC| 2.答案23导学号：35540856已知圆的极坐标方程为2cos ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，则圆心到直线l的距离为_解析圆的极坐标方程为2cos ，转化成直角坐标方程为：x2y22x0，则圆心坐标为(1,0)直线l的参数方程为(t为参数)，转化成直角坐标方程为：xy210，则圆心到直线l的距离d2.答案2规律方法参数方程与普通方程互化的方法参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等，在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形考点二直线的参数方程【典例1】导学号：35540857设直线l的参数方程为(t为参数，为倾斜角)，圆C的参数方程为(为参数)(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围【解析】(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，1)，所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k.(2)解法一由圆C的参数方程得圆C的圆心是C(1，1)，半径为2.由直线l的参数方程为(t为参数，为倾斜角)，知直线l的普通方程为y4k(x3)(斜率存在)，即kxy43k0.当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即.即直线l的斜率的取值范围为.解法二将圆C的参数方程化成普通方程为(x1)2(y1)24，将直线l的参数方程代入式，得t22(2cos 5sin )t250.当直线l与圆C交于两个不同的点时，方程有两个不相等的实根，即4(2cos 5sin )21000，即20sin cos 21cos2，两边同除以cos2，由此解得tan ，即直线l的斜率的取值范围为.规律方法直线参数方程应用的注意事项(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题(2)对于形如(t为参数)的参数方程，当a2b21时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题1已知直线l：xy10与抛物线yx2相交于A，B两点，求线段AB的长度和点M(1,2)到A，B两点的距离之积解析因为直线l过定点M，且l的倾斜角为，所以它的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)，把它代入抛物线的方程，得t2t20，解得t1，t2.由参数t的几何意义可知|AB|t1t2|，|MA|MB|t1t2|2.考点三极坐标、参数方程的综合应用【典例2】导学号：35540858(2015福建)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为sinm(mR)(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值【解析】(1)消去参数t，得到圆的普通方程为(x1)2(y2)29.由sinm，得sin cos m0，所以直线l的直角坐标方程为xym0.(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即2，解得m32.规律方法涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然还要结合题目本身的特点，确定选择何种方程2导学号：35540859(2015陕西)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为2sin .(1)写出C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的直角坐标解析(1)由2sin ，得22sin ，从而有x2y22y，所以x2(y)23.(2)设P，又C(0，)，则|PC| ，故当t0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为(3,0)限时50分钟，满分80分一、填空题(85分40分)1曲线(为参数)的两焦点间的距离为_解析曲线化为普通方程为1，c，故焦距为2.答案22已知曲线C的参数方程为(t为参数，t0)，则曲线C的普通方程为_解析因为x2t2，所以x22t，故曲线C的普通方程为3x2y60.答案3x2y603导学号：35540860(2015东城二模)若直线(t为参数)与曲线(为参数，a0)有且只有一个公共点，则a_.解析直线的普通方程为xy2，曲线的普通方程为(x4)2y2a2(a0)，表示圆心坐标为(4,0)，半径为a的圆若直线和圆只有一个公共点，则直线和圆相切，则圆心到直线的距离da，即a.答案4在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为(为参数)，则坐标原点到该圆的圆心的距离为_解析圆C的参数方程为(为参数)，cos x1，sin y，1sin2cos2y2(x1)2，即(x1)2y21，故C(1,0)，|OC|1.答案15在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为4sin ，曲线C1与C2交于M，N两点，则线段MN的长为_解析由题意得，C1的参数方程转化为直角坐标方程为xy40，C2的极坐标方程4sin 转化为直角坐标方程为x2y24y，即x2(y2)222，圆心(0,2)到直线xy40的距离为d，所以|MN|22.答案26导学号：35540861(2016岳阳模拟)已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为24cos 30，则圆心C到直线l距离为_解析因为直线l的参数方程为(t为参数)消去参数t可得直线的普通方程为：y(x3)xy30.又因为圆C的极坐标方程为24cos 30，所以圆的直角坐标方程为：x2y24x30，即：(x2)2y21；圆心为(2,0)，半径为1.故圆心到直线的距离为：.答案7导学号：35540862(2015汕头模拟)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为1，点P是直线l上的一个动点，过点P作曲线C的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为_解析直线l的参数方程为(t为参数)l：xy40，又曲线C的极坐标方程为1，圆C：x2y21，显然过圆C的圆心(0,0)作直线l：xy40的垂线，垂足为P，此时|PQ|的值最小圆C的圆心(0,0)到直线l：xy40的距离d2，|PQ|，即|PQ|的最小值为.答案8在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，则线段AB的长为_解析将直线l的参数方程(t为参数)代入抛物线方程y24x，得24，解得t10，t28.所以|AB|t1t2|8.答案8二、解答题(410分40分)9导学号：35540863(10分)已知曲线C：1，直线l：(t为参数)，过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值解析曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|，则|PA|5sin(