基于自然灾害保险问题的研究数学建模

2013山东科技大学数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了山东科技大学数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： D 2013山东科技大学数学建模竞赛题 目 基于自然灾害保险问题的研究摘 要中国是一个传统的农业大国，又是世界上遭受自然灾害最为严重的国家之一，农业经济的发展受自然灾害影响严重。自然灾害保险是一个非常好的风险转移产品，但是在中国并没有得到普及，中国需要重视和加强自然灾害保险的研究和实践，推动由政府主导的自然灾害政策性保险方案的实施。在此我们特别的针对严重自然灾害的保险体系建设和对策方案进行了研究。针对问题一，我们查询了相关资料，对附表二中的不同作物不同时期的受灾概率进行了统计分析。并运用泊松分布和正态分布对作物的灾损率和风险率进行了分析，进而运用保险人和投保人的收益函数和政府承担的风险率求得三方的具体收益情况。分析比较得出现有的农业灾害保险险种方案中保险公司和投保人的收益差距太大，险种方案不合理。针对问题二，在保费厘定中我们采用方差原理出农业自然灾害保险的净保险费率；运用博弈决策建立了政府和农民的效用模型，带入相关数据求出相应的政府补贴；最后我们综合三方的利益给出了更合理的农业灾害保险险种方案。分析方案时，我们采用定量分析中的AHP（层次分析法）对三方承担的责任、义务和风险进行综合分析得出我们给出的方案时有效可行的。针对问题三，我们以山东省为例，运用问题二中做出的模型，通过带入相关数据给出了更实际可行的险种方案。并对可能存在的风险进行了趋势分析，针对对山东省农业影响极重的冻害进行了讨论研究。针对问题四，就我们给出的方案，给政府相关部门写了一篇建议书，细化均衡了地方政府、保险公司、投保人的利益，提出了更有利于自然灾害保险长远发展的对策方案，用层次分析法定量分析了方案的可行性和有效性，使建议书更具说服力。关键字：农业灾害保险 保费厘定 博弈决策 层次分析目录一、问题重述1二、问题分析1三、符号说明2四、模型假设2五、模型的建立与求解25.1 建模前的准备25.2 问题一模型的建立35.3 问题二的模型建立55.4 问题三模型的推广应用85.5 问题四9六、模型的优缺点及改进106.1 模型的优点106.2 模型的缺点106.3 模型的改进11七、参考文献11一、问题重述根据2013年3月5日环球时报转摘美国商业周报的相关报道，“在2012年全世界发生的10大自然灾害中，有4场是发生在中国。包括3场严重的夏季洪涝灾和席卷苏鲁冀等沿海地区的台风达维造成的灾害。另外，还有很多地区遭受了严重干旱、冰雹等自然灾害，共造成290亿美元的损失，但通过投保由保险公司赔付的比例仅占总损失的左右，这个比例相对美国的自然灾害保险赔付率相差甚远。” 另据报道：“2013年3月20日发生在广东、广西等省部分地区的一场大风和冰雹灾害，造成直接经济损失达13亿多元。”这个事实警示我们，中国需要重视和加强自然灾害保险的研究和实践，特别是针对严重自然灾害的保险体系建设和对策方案的研究，推动由政府主导的自然灾害政策性保险方案的实施。农业灾害保险是国家政策性保险之一，即政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分，它与现代农业技术、现代农业信息化及市场建设共同构成整个农业现代化体系。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基于投保人、保险公司和政府三方面的利益，按照公平合理的定价原则设计，由保险公司经营的保险产品，三方各承担不同的责任、义务和风险。农业灾害保险分种植业保险和养殖业保险两大类，现有几十个险种，因不同地区的气象条件和作物种类不同，其险种和设置方案都不尽相同。农业灾害保险除遵循保险的共同原理外，有其自身的特点。比如，其损失规律有别于人寿保险和通常的财产保险（如汽车险）等。政府作为投保人和承保人之外的第三方介入以体现对国家安全和救灾的责任。附件1给出了P省种植业现行的部分险种方案，请你们从实际出发，查阅和参考附件中的数据资料，通过分析建模，研究解决下面的问题：（1）对附件2中的数据做必要的统计分析，研究P省现有农业灾害保险险种方案可能存在的风险，并分析其方案是否存在不合理性。（2）针对P省的具体情况，选取其中部分农业灾害保险险种，设计更实际可行的农业灾害保险的险种方案，包括标的、保险金、保费、费率、赔付率、政府补贴率等；并对方案的有效性（即保险公司和投保人的风险大小）及可行性做出定量分析。（3）将你们的模型推广应用。根据某省（市、区）的实际情况（或参见附件3），查阅相关资料，提出相应的农业灾害保险的险种方案，并对可能存在的风险做出分析；针对其它方面的自然灾害保险问题进行研究。（4）结合你们的模型结果，从地方政府、保险公司和投保人三个方面，提出有利于自然灾害保险长远发展的对策方案，希望能用定量依据或方法说明其对策方案的可行性和有效性，并给政府相关部门写一篇建议书。二、问题分析自然灾害保险问题是一个关系民生的核心问题，本题目需通过Excel表格对P省的各个地区天气气象进行分类统计，建立数学模型来研究P省现有农业灾害保险险种方案可能存在的风险及存在的不合理性。针对农业灾害保险中不同险种的风险特点，研究P省各种农作物对于自然灾害的风险损失规律，进而利用效用期望模型，全局考虑投保人、保险公司和政府三方的不同利益，设计更实际可行的农业灾害保险险种方案。三、符号说明符号 表示含义保险费率 保险公司在标的下的收益 投保人在标的下的收益 投保人交纳某品种的保险费 政府补贴某品种的保险费 某品种投保种植面积 某品种投保中的受灾面积 负载因子政府的初始财富保险公司的初始财富农民的初始财富 保险公司支付给农民的农作物因灾损失四、模型假设1、投保人土地作物管理完善，没有人为的故意破坏。2、不考虑各自然灾害之间的相互影响。3、保险方案只考虑文章中提到的自然灾害。4、投保人投保不受社会文化结构、习惯、传统等因素的影响。5、不考虑保险公司本身运营所需的费用。五、模型的建立与求解5.1 建模前的准备(1) 通过查阅资料可以确定6级以上风为风速大于等于10.8m/s。(2) 洪涝灾害为日降水为大于50mm。(3) 农作物的生命周期冬小麦，9、10月份播种，次年4、5月份收割（主要在长城以南);春小麦，春节后播种，8、9月份收获；棉花，谷雨4月播种，处暑8月 、白露9月收获； 夏玉米，大豆播种节气相同，夏至6月播种，白露-秋分9月收获；花生，约在4月底至5月上旬播种，生长100150天，个别晚熟品种可达180天；在南方春秋两熟花生区适宜播种期为2-3月中旬.；春西瓜，大棚定植日在2月中旬开始播种育苗，中小棚定植日在2月下旬至3月上旬播种育苗，地膜覆盖加小拱棚栽培日在3月中旬后播种育苗；秋西瓜，指夏播秋收的一季西瓜，秋西瓜的播种期比较严格，江西一般在7月中、下旬播种可正常成熟，但适当提早到7月上旬播种更为稳妥；苹果，砧木种子春播一般在3月下旬至4月上旬进行；冬油菜，秋种春开花，5月份左右收获；春油菜，春季播种生育期60130天.5.2 问题一模型的建立以小麦的保险方案作为讨论对象，推广到其它农作物的保险方案，从而通过对附件2中的数据做必要的统计分析，对P省现有农业灾害保险险种方案可能存在的风险进行研究。首先小麦分为四个生长期：返青期、抽穗期、灌浆期、成熟期，根据附件二所给说的P省的数据，其温度范围可以推得该省大概位于华中地区，温度为适合冬小麦生长的范围。通过查阅资料可以推出以下信息： 生长期返青期抽穗期灌浆期成熟期时间范围二月下旬到四月中旬（2.20-4.19）四月下旬到五月上旬（4.20-5.09）五月上旬到六月初（5.10-6.04）六月五日到六月十日 根据P省2012年政策性农业保险统领条款（种植部分）中的小麦种植保险条款第二条在保险期限内，保险小麦由于冰雹、火灾、六级（含）以上风、暴雨形成的洪涝、倒伏造成的减产形成经济损失，保险公司对受损小麦的投入成本的损失负赔偿责任。根据附件2给出的P省10地区10年内的天气状况表，利用excel进行数据统计，计算出P省各农作物所受自然灾害的概率分布表，如下。品种损失概率自然灾害洪涝冰雹大风小麦返青期000抽穗期00.01250.0100灌浆期0.00110.02570.0020成熟期000合计0.00110.03820.0120玉米定植成活-分蘖期000拔节期-抽穗期00.01910.0060抽穗期-成熟期000合计00.01910.0060水稻定植成活-分蘖期000拔节期-抽穗期00.01700.0050灌浆期-成熟期000合计00.01700.0050豆类植物00.01300.0040棉花00.00200.0030油菜00.01000.0005西瓜00.01400.0009苹果00.00200.0043注：表中数据为各个品种在各个生长周期按中国中、南部、地区的种植节气和农业生产中受到的气候影响（高、低温，风速等）而产生的自然灾害损失概率。一般风险损失分布： 设随机变量X表示一般风险，对于一份保单0xX（M为保险标的保险价值），F（x）为随机变量X的分布函数，f（x）为随机变量X的密度函数，即损失概率。一般的，风险的损失概率分布是正态分布，即：保险公司与投保人的收益函数模型如下： 根据上述函数模型，在保费不变的情况下，结合受灾状况计算不同农作物的风险损失概率、投保人收益、保险公司收益，如下表所示。品种保险金额（元/亩）受灾概率风险损失概率保险公司赔款投保人收益保险公司收益保险费小麦3110.0930.052127.18+18玉米2510.07840.074419.66-+15水稻2780.08680.062524.14-+16豆类作物980.07840.08577.67-+5棉花3020.08490077425.64+-18花生2920.08360.042824.40-17油菜1490.08740.083813.02-+8西瓜1,0000.08580.075985.75+60苹果2,0000.08740.0886174.79-+140 由统计分析可知，在种植面积很大的情况下，相对灾害发生的事件概率小，保险公司的收益与投保人有很大差异，保险公司收益大于投保人并且差距大。因此，在气候不发生大的变化和巨型灾害情况下，不管农作物收益如何，保险公司几乎不赔偿投保人损失，这就造成保险公司收益和投保人收益的巨大差距，次保险险种方案存在不合理性。5.3 问题二的模型建立在设计更实际可行的农业灾害保险的行政方案时，要协调好投保人、保险公司和政府三方面的利益，我们只需考虑费率和政府补贴率即可。 首先以玉米（分期作物）和苹果（未分期作物）为例，统计分析在暴雨、大风、冰雹等自然灾害下得风险率、灾损率，详见下表。天气暴雨大风冰雹风险率灾损率玉米返青期0.040.2700.0980.421抽穗期0.030.07500.1360.354灌浆期0.0350.0400.2000.441成熟期0.070.010.010.1120.608苹果00.00200.00430.3040.775为形象描述冰雹、洪涝、大风等自然灾害与冰雹、气温、降水量、风速之间的关系，得出下面结构图： 影响农作物的产量的各种因素可以按照性质和时间尺度分为农业技术措施、气象条件和随机因素三类，因此农作产量序列由三部分叠加而成，即 其中Y为农作物产量，不为反映历史时期生产力的长期周期产量分量，称为趋势产量，为受气象条件影响的产量分量，称为为气象产量，为随机因素造成的产量分量，服从期望为零的正态分布。 在保费厘定的实际中，为了反映损失的波动性，一般在净保费的基础上增加一个风险负载因子;由于指数原理要求的效用函数难以确定，从而只具有理论上的意义，缺乏可操作性，故实际中的保费制定原理一般采用标准差原理或方差原理3。由于方差原理较标准差原理具有更好的性质，本文采用方差原理来厘定农业自然灾害保险的净保险费率，即注：其中，表示负载因子3。因此，由于，所以要在通过方差原理计算得到的基础之上，通过变换，才是要求的保费。保险责任关心的灾害风险损失，也就是气象产量，所以与保费直接相关的变量是，基于此，保费的计算公式为费率则为 假如没有政府参与，保险公司和农民的博弈结果是（拒保，自保）。也就是说，在无第三方干预的情况下，只有保险公司和农民参与的农业自然灾害保险市场是失灵的。因此，市场需要政府的介入。下面进一步研究当政府介入后的保险市场的情形。政府对保费实施补贴有个前提条件，必须满足下式：即补贴后政府的效用不能比补贴前降低。而农民的角度也应有即承保后的效用不能比不承保情况下低。因此，我们寻求的政府对农民保费的补贴额，应当建立在政府、保险公司的经营不受损失的条件上，在此基础上，再寻求农民的效用最大化。基于此，建立如下模型： S.t. 这里，分别表示政府、保险公司和农民的期望效用值，式中出现的积分是因为 通过对此模型的求解，就能够得到政府给予农民的保费补贴。根据我们的研究和模型求解，确定合理的保险金额、费率与政府补贴，得出了更加实际可行的保险险种方案，如下表所示。品种保险金额(元/亩)保险费率保险费(元)政府补贴农户自担玉米3224.8%1512.72.3苹果2436，46728.6%140，280121，25229，28 P省农业灾害保险的险种方案可从原理的有效性和实践的可行性证明其是合理的。投保人为使得农业灾害的损失降至最小而对不同的农业险种进行投保；保险公司经营各类农业保险产品从中取得收益；政府作为投保人和承保人之外的第三方介入以体现对国家安全和救灾的责任。所以，三方必须承担不同的责任、义务和风险，才能既维护投保人权益又使得保险公司免于亏损，从而推进国家农业现代化体系的进程。因此，上述农业灾害保险的险种方案是科学的、有效的。以比率分析法1为基础，利用AHP2（层次分析法）分析农户与保险公司的不同利益，定量的分析保险金额、受灾概率、风险损失及投保人和保险公司的收益；同时以趋势分析、结构分析、互补对比分析等方法为辅，全局考虑各方约束，最终确定不同风险区的厘定不同的保费及费率，以保证农户、保险公司、政府均有益可图，互谋发展。因此，由上表定量分析统计所得的农业灾害保险的险种方案是可行的。5.4 问题三模型的推广应用 为了推广模型的应用，我们以山东省为例。因为山东省是一个农业大省，农业种植面积较大，农作物在生长过程中易受干旱、洪水、大风、冰雹等恶劣天气的影响，并且受灾面积较大。与此同时，山东省的农作物种植面积在逐年减少，但易受灾区域并未减少，农户种植积极性大大降低并对农业保险的依赖性有所增加。因此，选取山东省为例，推广该模型是科学的、可行的。根据附件3，统计山东省农作物历年受灾情况的各项数据见下表：年份种植面积总计旱灾洪水灾冰雹灾受灾成灾受灾成灾受灾成灾受灾成灾199811138154151067921662321218556199911236.53005123025671000231121204107200011147.337002270334021101207310662200111266.13596228121601333497313504328200211047.84941.93179.4378725733.92.4396217200310885.3263.212585.717.315392.824.514.9200410638.62119.1771276.6126717381797.9151200510736.117807133567252434217085200610754.11880.11105.31026662.1366.5194.5452.6233.8200710724.41865.4636.2530.8281632133.930280200810764672.3233.825687.5121.481.626058.7200910778.423421182117581576118517587201010818.2258210525863321545703769201110865.42117416129520156818710718山东省历年农作物受灾、成灾总计趋势如下图所示。查询相关资料可知，山东省的主要农作物有小麦、玉米、大豆、苹果、高粱、棉花。根据本文问题二建立的模型推广应用可整理出针对山东的农业灾害保险的险种方案，使得该方案更适合山东省的实际投保，见下表：序号品种保险金额(元/亩)保险费率保险费(元)政府补贴农户自担1小麦3105.8%1815.22.82玉米2885.2%1511.63.44大豆1283.9%53.81.25棉花3395.3%1813.64.48高粱12315.1%6043179苹果2210，45316.8%140，280127，24213，38首先，保险公司为了获利才经营各种农业灾害保险，在新的农业保险的赔付率基础上，倘若一个地区内的农户的投保率过低的话，保险公司承担的风险将会相对较高。保险公司不能从中获利，将无法维持公司的正常运转。另外，政府的参与体现了对国家安全和救灾的责任，但就现在的农业灾害保险的险种方案来说，在出现重大自然灾害时，政府只是承担保费的补贴，并没有相应的措施使政府发挥其职能，这样的话投保人和保险公司要承担的风险较大。本题中我们以冻害为新的自然灾害研究保险问题。冻害（cold injury）是农业气象灾害的一种，即作物在0以下的低温使作物体内结冰，对作物造成伤害。山东省位于北方，冬季温度较低，主要农作物受冻害的影响极大，尤其是冬小麦常因冻害而遭受巨大损失。而在给定的险种方案中并没有针对冻害的保险举措，所以我们在这里对新的保险方案进行补充：在农作物受到冻害时，保险公司要充分考虑到各种作物适应温度的情况，对农作物冬季严寒期、入冬剧烈降温期、早春融冻期不同时期的受灾情况进行评估，制定不同的赔偿方案。5.5 问题四建议书尊敬的领导：中国是农业大国，自然灾害较频繁，需要重视和加强自然灾害保险的研究和实践，特别是针对严重自然灾害的保险体系建设和对策方案的研究。农业灾害保险应基于投保人、保险公司和政府三方面的利益，按照公平合理的原则来设计。对于农业灾害保险，首先需要增加农业保险的宣传力度，对于投保人，可以通过普及保险知识、提高保险意识来培育农村保险消费者了，这其中可采用的方法手段很多，例如组织保险知识讲座、挨家挨户讲解等等，让广大农民真正的了解保险、认识保险、购买保险、宣传保险，促成农业保险市场的良性发展。农业保险在原则上要做到低保费、低保障、责任宽，农民易于接受，因此保险公司应充分遵循市场经济规律，对原有险种进行技术改造，重点开发一些收费低、保额低、责任宽的适销对路的新险种，满足农民的需要，还应根据农业保险的分类有针对性的开发相应的险种。对于贫困和富裕地区的农民，也应该针对他们的经济状况和不同需求设计不同的险种。再者，由于农业保险赔付率高，所以保险公司承担的风险也相对较大，因此国家财政和各级政府应该对从事农业保险业务的保险公司应给予一定的地方性的税收优惠，适