金陵中学四模数学.DOC

南京市金陵中学2011届高三第四次模拟考试数学注意事项：1. 本试卷满分160分，考试时间120分钟2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1. 在复平面内，复数3i和1i对应的点间的距离为_2. 命题：“若a，b，c成等比数列，则b2ac”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数是_3. 下图是一个算法流程图，则输出的S的值是_4. 用半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥桶，那么这个圆锥的高是_5. 为了调查高中学生眼睛高度近视的原因，某学校研究性学习小组用分层抽样的方法从全校三个年级的高度近视眼患者中，抽取若干人组成样本进行深入研究，有关数据见下表(单位：人)：年级高度近视眼患者人数抽取人数高一18x高二362高三54y若从高一与高三抽取的人选中选2人进行跟踪式家访调研，则这2人都来自高三年级的概率是_6. 双曲线x21的渐近线被圆x2y26x2y10所截得的弦长为_7. 在共有2 013项的等差数列an中，有等式(a1a3a2 013)(a2a4a2 012)a1 007成立；类比上述性质，在共有2 011项的等比数列bn中，相应的有等式_成立8. 已知向量p的模是，向量q的模为1，p与q的夹角为，a3p2q，bpq，则以a、b为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是_9. 若x，y满足不等式组且z2x4y的最小值为6，则k的值为_10. 已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn，Tn，且对任意nN*恒成立，则的值为_11. 已知Ax|1x2，Bx|x22xa0，A，B的交集不是空集，则实数a的取值范围是_12. 定义在R上的函数f(x)的图象过点M(6,2)和N(2，6)，对任意正实数k，有f(xk)f(x)成立，则当不等式|f(xt)2|4的解集为(4,4)时，实数t的值为_13. 平面四边形ABCD中，AB，ADDCCB1，ABD和BCD的面积分别为S，T，则S2T2的最大值是_14. 在直角坐标系xOy中，点P(xP，yP)和点Q(xQ，yQ)满足按此规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”此变换下，若m，POQ，其中O为坐标原点，则ymsin(x)的图象在y轴右边第一个最高点的坐标为_二、 解答题：本题共6小题，共计90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)已知函数f(x)sin2xsinxcosx(xR)(1) 若x，求f(x)的最大值；(2) 在ABC中，若AB，f(A)f(B)，求的值16. (本小题满分14分)已知在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，且满足ADAB，BCAD，AD16，AB8，BB18，E，F分别是线段A1A，BC上的点(1) 若A1E5，BF10，求证：BE平面A1FD.(2) 若BDA1F，求三棱锥A1AB1F的体积17. (本小题满分14分)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)2a，x0,24，其中a是与气象有关的参数，且a，若取每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)(1) 令t，x0,24，求t的取值范围；(2) 省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？18. (本小题满分16分)已知椭圆C：1(ab0)，O：x2y2b2，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是O上的动点(1) 若P(1，)，PA是O的切线，求椭圆C的方程；(2) 是否存在这样的椭圆C，使得是常数？如果存在，求C的离心率，如果不存在，说明理由19. (本小题满分16分)已知函数f(x)ax2(2a1)x2lnx(a为正数)(1) 若曲线yf(x)在x1和x3处的切线互相平行，求a的值；(2) 求f(x)的单调区间；(3) 设g(x)x22x，若对任意的x1(0,2，均存在x2(0,2，使得f(x1)g(x2)，求实数a的取值范围(本小题满分16分)设数列an满足：a11，a22，an2(n1，nN*)(1) 求证：数列是常数列；(2) 求证：当n2时，2aa3；(3) 求a2 011的整数部分.南京市金陵中学2011届高三第四次模拟考试数学附加题21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，只能选做2题，每小题10分，共计20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修4-1：几何证明选讲如图，设AB为O的任意一条不与直线l垂直的直径，P是O与l的公共点，ACl，BDl，垂足分别为C，D，且PCPD.求证：(1) l是O的切线；(2) PB平分ABD.B. 选修4-2：矩阵与变换已知点A在变换T：的作用后，再绕原点逆时针旋转90，得到点B.若点B坐标为(3,4)，求点A的坐标C. 选修4-4：坐标系与参数方程求曲线C1：被直线l：yx所截得的线段长D. 选修4-5：不等式选讲已知a、b、c是正实数，求证：.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC45，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点(1) 求异面直线AB与MD所成角的大小；(2) 求平面OAB与平面OCD所成二面角的余弦值23. (本小题满分10分)已知构成某系统的元件能正常工作的概率为p(0p1)，且各个元件能否正常工作是相互独立的今有2n(n大于1)个元件可按如图所示的两种联结方式分别构成两个系统甲、乙(1) 试分别求出系统甲、乙能正常工作的概率p1，p2；(2) 比较p1与p2的大小，并从概率意义上评价两系统的优劣南京市金陵中学2011届高三第四次模拟考试数学参考答案及评分标准111. 22. 23. 94. R5. 6. 47. a1 0068. 9. 010. 11. 12. 213. 14. 15. (1) f(x)sin2xsin2xcos2xsin.(4分)0x，2x.(6分)当2x时，即x时，f(x)取最大值1.(7分)(2) f(x)sin，x是三角形的内角，则0x，2x.令f(x)，得sin，2x或2x.解得x或x.(9分)由已知，A，B是ABC的内角，AB且f(A)f(B)，A，B.CAB.(11分)由正弦定理，得.(14分)16. (1) 过E作EGAD交A1D于G，连接GF.，EG10BF.BFAD，EGAD，BFEG.四边形BFGE是平行四边形BEFG.(4分)又FG平面A1FD，BE平面A1FD，BE平面A1FD.(6分)(2) 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A平面ABCD，BD平面ABCD，A1ABD.由已知，BDA1F，AA1A1FA1，BD平面A1AF.BDAF.(8分)梯形ABCD为直角梯形，且满足ADAB，BCAD，在RtBAD中，tanABD2.在RtABF中，tanBAF.BDAF，ABDBAF，BF4.(10分)在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A平面ABCD，平面AA1B1B平面ABCD，又平面ABCD平面AA1B1BAB，ABF90，FB平面AA1B1B，即BF为三棱锥FA1B1A的高(12分)AA1B190，AA1BB18，A1B1AB8，SAA1B132.V三棱锥A1AB1FV三棱锥FA1B1ASAA1B1BF.(14分)17. (1) 当x0时，t0；(2分)当0x24时，x.对于函数yx，y1，当0x1时，y0，函数yx单调递增，当1x24时，y0，函数yx单调递增，y2，+）综上，t的取值范围是0，(5分)(2) 当a时，f(x)g(t)|ta|2a(8分)g(0)3a，ga，g(0)g2a.故M(a)(10分)当且仅当a时，M(a)2，(12分)故a时不超标，a时超标(14分)18. (1) P(1，)在O：x2y2b2上，b24.(2分)又PA是O的切线，PAOP，0，即(1，)(1a，)0，解得a4.椭圆C的方程为1.(5分)(2) 设F(c,0)，c2a2b2，设P(x1，y1)，要使得是常数，则有(x1a)2y，是常数即b22ax1a2(b22cx1c2)，(8分)比较两边，b2a2(b2c2)，ac，(10分)故cb2ca2a(b2c2)，即ca2c3ca2a3，即e32e10，(12分)(e1)(e2e1)0，符合条件的解有e，即这样的椭圆存在，离心率为.(16分)19. f(x)ax(2a1)(x0)(1) f(1)f(3)，解得a.(4分)(2) f(x)(x0)当0a时，2，在区间(0,2)和上，f(x)0；在区间上，f(x)0，故f(x)的单调递增区间是(0,2)和，单调递减区间是.(6分)当a时，f(x)0，故f(x)的单调递增区间是(0，)(8分)当a时，02，在区间和(2，)上，f(x)0；在区间上，f(x)0，故f(x)的单调递增区间是和(2，)，单调递减区间是.(10分)(3) 由已知，在(0,2上有f(x)maxg(x)max.(11分)由已知，g(x)max0，由(2)可知，当0a时，f(x)在(0,2上单调递增，故f(x)maxf(2)2a2(2a1)2ln22a22ln2，2a22ln20，解得aln21，ln210，故0a.(13分)当a时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，故f(x)maxf22lna.由a可知lnalnln1,2lna2，2lna2，22lna0，f(x)max0，(15分)综上所述，a0.(16分)20. (1) 易知，对一切n1，an0，由an2，得.依次利用上述关系式，可得1，从而数列是常数列(4分)(2) 由(1)得an1an.又a11，可知数列an递增，则对一切n1，有an1成立，从而0