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线性方程组的求解 线性方程组的一般形式 1 记 则有矩阵形式 1 则方程组有向量形式 线性方程组的向量形式 记 线性方程组的一般形式 1 当时 称方程组 1 为齐次线性方程组 当 称方程组 1 为非齐次线性方程组 齐次线性方程组的解的性质 解向量 方程组的解构成向量称为解向量 结论 齐次线性方程组的解的任意线性组合还是该方程组的解 1 如果是齐次线性方程组的解 则也是方程组的解 2 如果是齐次线性方程组的解 则也是方程组的解 基础解系的概念 如果齐次线性方程组的解向量组线性无关 方程组的任意解可由该向量组线性表示 则该组解向量称为方程组的一个基础解系 注 基础解系是不惟一的 齐次线性方程组的解的结构 定理如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩 则齐次线性方程组有基础解系 基础解系中含有个解向量 证明 见书P267 例求解齐次线性方程组 用基础解系表示通解 解将系数矩阵A作行初等变换 方程组的一般解为 所以 其中为自由未知量 改写为向量形式 得 其中即为基础解系 方程组的一般解为 非齐次线性方程组的解的性质 非齐次线性方程组 对应的齐次线性方程组 如果是 1 的解 则是 2 的解 如果是 1 的解 是 2 的解 则是 1 的解 证明 证明 非齐次线性方程组的解的结构定理 如果是非齐次线性方程组的特解 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系 则非齐次线性方程组的通解可表示为 例设三元非齐次线性方程组AX b的系数矩阵A的秩为2 且它的三个解向量满足 求AX b的通解 解 由题设知 方程组AX 0的基础解系中只含有一个解向量 即为一基础解系 即为一特解 所以原方程组的通解为 非齐次线性方程组有解的充要条件 非齐次线性方程组AX b有解 向量b可由矩阵A的列向量组线性表示 向量组与向量组等价 其中 称为增广矩阵 定理线性方程组AX b有解的充分必要条件是 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩 即 当时 方程组有惟一解 当时 方程组有无穷多解 当时 方程组无解 例求解线性方程组 解将增广矩阵作行初等变换 所以 方程组有无穷多解 一般解为 其中Z为自由未知量 令Z K 将一般解改写为向量形式 得 其中为基础解系 例求解线性方程组 当K为何值时 方程组有 1 唯一解 2 无解 3 无穷多解 并用基础解系表示通解 解方程组的系数行列式为 1 当且时 方程组有唯一解 2 当时 增广矩阵
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