MATLAB在微积分中的应用

0 MATLABMATLAB 在微积分中的应用在微积分中的应用 MATLABMATLAB 入门入门 1 11 1 matlabmatlab 的数值计算的数值计算 运行 MATLAB 的可执行文件 进入 Matlab 工作窗口 在提示符 后输入算术表达 式 按 Enter 键即可得到该表达式的值 就象在计算器中运算一样 加 减 乘 除 乘方的算符依次为 例例 1 计算的值 9 532 解解 在 Matlab 工作区输入命令 2 3 5 9 按 Enter 键 可得计算结果 2 3 5 9 ans 5859377 MATLAB 会将最近一次的运算结果直接存入一变量 ans 变量 ans 代表 MATLAB 运算 後的答案 并将其数值显示到屏幕上 也可以将计算结果赋值给一个自定义的变量 自 定义变量应遵循以下命名规则 1 MATLAB 对变量名的大小写是敏感的 2 变量的第一个字符必须为英文字母 而且不能超过 31 个字符 3 变量名可以包含下划线 数字 但不能为空格符 标点 例例 2 2 计算的值 并将其赋值给变量 a 1sin9 13 11 23 0 解 a 11 3 1 9 0 23 sin 1 a 13 9391 如果在上述的例子结尾加上 则计算结果不会显示在指令视窗上 要得知计 算值只须键入该变量名即可 MATLAB 可以将计算结果以不同的精确度的数字格式显示 我们可以在命令窗口的 File 菜单下点击 preferences 子菜单 在随之打开的 preferences 对话框中 选取 Command Window 选项 设置 Numerical Format 参数 或者直接在 matlab 工作区键入以下指令 format short 这是默认的 format long 等 1 21 2 MatlabMatlab 的数组运算的数组运算 Matlab 数组是 Matlab 进行运算的单元 创建数组就像我们在纸上写一个数组一样 元素与元素用 号或空格进行分隔 行与行用 号进行分隔 例 例 命令 a 1 2 3 4 5 6 建立一个 行 列的数组 该命令与 a 1 2 3 4 5 6 是一样的 1 命令 b 1 2 3 4 5 6 建立一个 行 列的数组 数组运算的运算符与数值运算一样 例 例 a 1 1 1 2 2 2 建立数组 a a 1 1 1 2 2 2 b 3 3 3 4 4 4 建立数组 b b 3 3 3 4 4 4 a b 求数组 a 与数组 b 的和 ans 4 4 4 6 6 6 a b 求数组 a 与数组 b 的差 ans 2 2 2 2 2 2 a 3 数组 a 的每一个元素都加上 ans 4 4 4 5 5 5 2 b 数组 b 的每一个元素都乘以 ans 6 6 6 8 8 8 两个同类型数组的对应元素相乘除的运算符是 和 例 例 a b a 的对应元素与 b 的对应元素相乘 ans 3 3 3 8 8 8 a b a 的对应元素除以 b 的对应元素 ans 0 33333333333333 0 33333333333333 0 33333333333333 0 50000000000000 0 50000000000000 0 50000000000000 运算符 及 应与运算符 及 相区别 a b 表示矩阵 a 与 b 的乘 积 a b 表示矩阵 a 乘以矩阵 b 的逆矩阵 例例 6 6 a 1 2 2 1 建立矩阵 a a 2 1 2 2 1 b 1 3 0 1 建立矩阵 b b 1 3 0 1 a b 求矩阵 a 与矩阵 b 的乘积 ab ans 1 5 2 7 a b 求矩阵 a 与矩阵 b 的逆矩阵的乘积 ans 1 1 2 5 运算符 表示方阵的幂 而运算符 表示数组中每一个元素的幂 例例 7 7 a 2 矩阵 a 的平方 ans 5 4 4 5 a 2 矩阵 数组 a 的每一个元素的平方 ans 1 4 4 1 1 31 3 MatlabMatlab 的符号运算的符号运算 matlab 可以进行符号运算 需要预先定义符号变量 使用指令 sym 或 syms 定义符 号变量 例例 8 8 a sym x 将符号变量 x 赋值给变量 a a x sin a cos a 符号表达式 sin a cos a ans sin x cos x syms x y 定义符号变量 x 和 y b x y 2 4 x y 将符号表达式赋值给变量 b b x y 2 4 x y a b 求变量 a 与 b 的和 ans 3 x x y 2 4 x y 1 41 4 MatlabMatlab 的数学常数和函数的数学常数和函数 Matlab 常用数学函数如下表 名称含义名称含义名称含义 sin 正弦 sec 正割 asinh 反双曲正弦 cos 余弦 csc 余割 acosh 反双曲余弦 tan 正切 asec 反正割 atanh 反双曲正切 cot 余切 acsc 反余割 acoth 反双曲余切 asin 反正弦 sinh 双曲正弦 abs 绝对值 acos 反余弦 cosh 双曲余弦 sqrt 平方根 atan 反正切 tanh 双曲正切 exp e 为底的指数 acot 反余切 coth 双曲余切 log 自然对数 Matlab 数学常数如下 pi 数学常数 inf 无穷大 eps 最小的浮点数 2 MATLABMATLAB 绘制一元函数的图形绘制一元函数的图形 2 12 1 常用命令常用命令 matlabmatlab 绘图命令比较多 我们选编一些常用命令 并简单说明其作用 这些命令的调 用格式 可参阅例题及使用帮助 helphelp 查找 表 二维绘图函数 barbar 条形图 histhist 直方图 plotplot 简单的线性图形 polarpolar 极坐标图形 表 2 基本线型和颜色 符号 颜色 符号 线型 y y 黄色 点 m m 紫红 0 0 圆圈 c c 青色 x x x 标记 4 r r 红色 加号 g g 绿色 星号 b b 兰色 实线 w w 白色 点线 k k 黑色 点划线 虚线 表 3 二维绘图工具 gridgrid 放置格栅 gtextgtext 用鼠标放置文本 holdhold 保持当前图形 texttext 在给定位置放置文本 titletitle 放置图标题 xlabelxlabel 放置 x x 轴标题 ylabelylabel 放置 y y 轴标题 zoomzoom 缩放图形 表 4 axisaxis 命令 axis x1 x2 y1 y2 axis x1 x2 y1 y2 设置坐标轴范围 axisaxis squaresquare 当前图形设置为方形 axisaxis equalequal 坐标轴的长度单位设成相等 axisaxis normalnormal 关闭 axisaxis equalequal 和 axisaxis squaresquare axisaxis ofoff 关闭轴标记 格栅和单位标志 axisaxis onon 显示轴标记 格栅和单位标志 linspacelinspace 创建数组命令 调用格式为 x linspace x1 x2 n x linspace x1 x2 n 创建了 x x1 到 x2x2 之间有 n n 个数据的数组 funtoolfuntool 函数工具 在 matlabmatlab 指令窗键入 funtoolfuntool 可打开 函数计算器 图形用 户界面 2 22 2 绘制函数图形举例绘制函数图形举例 例例 1 画出的图形 xysin 解解 首先建立点的坐标 然后用 plotplot 命令将这些点绘出并用直线连接起来 采用中学 五点作图法 选取五点 0 0 1 2 0 1 2 3 0 2 输入命令 5 x 0 pi 2 pi 3 pi 2 2 pi y sin x plot x y x 0 pi 2 pi 3 pi 2 2 pi y sin x plot x y 这里分号表示该命令执行结果不显示 从图上看 这是一条折线 与我们熟知的正弦曲 线误差较大 这是由于点选取的太少的缘故 可以想象 随点数增加 图形越来越接近 的图象 例如 在 0 到之间取 30 个数据点 绘出的图形与的图象xysin 2xysin 已经非常接近了 x linspace 0 2 pi 30 y sin x plot x y x linspace 0 2 pi 30 y sin x plot x y 也可以如下建立该图形 x 0 0 1 2 pi y sin x plot x y x 0 0 1 2 pi y sin x plot x y 还可以给图形加标记 格栅线 x 0 0 1 2 pi x 0 0 1 2 pi y sin x y sin x plot x y rplot x y r title title 正弦曲线 xlabel xlabel 自变量 x x ylabel ylabel 函数y sinx y sinx text 5 5 0 y sinx text 5 5 0 y sinx gridgrid 上述命令第三行选择了红色虚线 第四行给图加标题 正弦曲线 第五行给轴加x 标题 自变量 第六行给轴加标题 函数 第七行在点处放置xyxysin 0 5 5 文本 第八行给图形加格栅线 xysin 例例 2 画出和的图象 x y2 x y 2 1 解解 输入命令 x 4 0 1 4 y1 2 x y2 1 2 x plot x y1 x y2 x 4 0 1 4 y1 2 x y2 1 2 x plot x y1 x y2 axis 4 4 0 8 axis 4 4 0 8 matlab 允许在一个图形中画多条曲线 plot x1 y1 x2 y2 x3 y3 plot x1 y1 x2 y2 x3 y3 指令绘制 6 等多条曲线 matlab 自动给这些曲线以不同颜色 2 2 1 1xfyxfy 例例 3 画出的图象 arctgxy 解解 输入命令 从图上看 是有界函数 是其水平渐近线 arctgxy 2 y 例例 4 在同一坐标系中画出的图象 tgxyxyxy sin 解解 输入命令 x pi 2 0 1 pi 2 y1 sin x y2 tan x x pi 2 0 1 pi 2 y1 sin x y2 tan x plot x x x y1 x y2 plot x x x y1 x y2 axisaxis equalequal axis pi 2 pi 2 3 3 axis pi 2 pi 2 3 3 gridgrid 从图上看 当时 当时 0 xtgxxx sin0 x 是和在原点的切线 因tgxxx sinxy xysin tgxy 此 当时 1 xxtgxxx sin 例例 5 画出及的图形 110 x y 1lg xy 解解 输入命令 x1 1 0 1 2 y1 10 x1 1 x2 0 99 0 1 2 y2 log10 x2 1 x1 1 0 1 2 y1 10 x1 1 x2 0 99 0 1 2 y2 log10 x2 1 plot x1 y1 x2 y2 plot x1 y1 x2 y2 从图上看 这两条曲线与我们所知的图象相差很远 这是因为坐标轴长度单位不一样 的缘故 与互为反函数 图象关于对称 为更清楚看出这110 x y 1lg xyxy 一点 我们再画出的图象 xy holdhold onon 7 x 1 0 01 2 y x plot x y r x 1 0 01 2 y x plot x y r axis 1 2 1 2 axis 1 2 1 2 axisaxis square holdsquare hold offoff plotplot 语句清除当前图形并绘出新图形 holdhold onon 语句保持当前图形 例例 6 画出心形线的图象 cos1 3ar 解解 输入命令 x 2 pi 0 1 2 pi r 3 1 cos x polar x r x 2 pi 0 1 2 pi r 3 1 cos x polar x r 例例 7 画出星形线的图象 tytx 33 sin3 cos3 解解 这是参数方程 可化为极坐标方程 2 3 3 2 3 2 sin cos 3 aa r 输入命令 x 0 0 01 2 pi x 0 0 01 2 pi r 3 cos x 2 1 3 sin x 2 1 3 3 2 r 3 cos x 2 1 3 sin x 2 1 3 3 2 polar x r polar x r 注意 如果建立与 的关系 此时 只是参数 不是极坐标系下的极角 rtt 8 练习练习 1 画出的图象 xyarcsin 2 画出在之间的图象 xysec 0 3 在同一坐标系中画出 的图象 xy 2 xy 3 xy 3 xy xy 4 画出的图象 并根据图象特点指出函数的奇偶 3 2 3 2 1 1 xxxf xf 性 5 画出及其反函数的图象 2ln 1 xy 6 画出及其反函数的图象 3 2 1 xy 3 利用利用 MATLABMATLAB 求一元函数的极限求一元函数的极限 3 13 1 常用命令常用命令 matlabmatlab 求极限命令可列表如下 数学运算matlabmatlab 命令 lim 0 xf x limit f limit f limxf ax limit f x a limit f x a 或或 limit f a limit f a limxf ax limit f x a left limit f x a left limxf ax limit f x a right limit f x a right matlabmatlab 代数方程求解命令 solvesolve 调用格式 solvesolve 函数 给出的根 xf0 xf 3 23 2 理解极限概念理解极限概念 数列收敛或有极限是指当无限增大时 与某常数无限接近或趋向于某 n xn n x n x 一定值 就图形而言 也就是其点列以某一平行与轴的直线为渐近线 y 9 例例 1 观察数列当时的变化趋势 1 n n n 解解 输入命令 n 1 100 xn n n 1 n 1 100 xn n n 1 得到该数列的前 100 项 从这前 100 项看出 随的增大 与 1 非常接近 画出的n 1 n n n x 图形 stem n xn stem n xn 或 forfor i 1 100 i 1 100 plot n i xn i r plot n i xn i r holdhold onon endend 其中 forfor endend 语句是循环语句 循环体内的语句被执行 100 次 n i n i 表示 n n 的第 i i 个分量 由图可看出 随的增大 点列与直线无限接近 因此可得结论n1 y 1 1 lim n n n 对函数的极限概念 也可用上述方法理解 例例 2 分析函数 当时的变化趋势 x xxf 1 sin 0 x 解解 画出函数在上的图形 xf 1 1 x 1 0 01 1 y x sin 1 x plot x y x 1 0 01 1 y x sin 1 x plot x y 从图上看 随着的减小 振幅越来越小趋近于 0 频率越来越高作无限次振荡 x x 1 sinx 作出的图象 xy holdhold on plot x x x x on plot x x x x 10 例例 3 分析函数当时的变化趋势 x xf 1 sin 0 x 解解 输入命令 x 1 0 01 1 y sin 1 x plot x y x 1 0 01 1 y sin 1 x plot x y 从图上看 当时 在 1 和 1 之间无限次振荡 极限不存在 仔细观察0 x x 1 sin 该图象 发现图象的某些峰值不是 1 和 1 而我们知道正弦曲线的峰值是 1 和 1 这是由 于自变量的数据点选取未必使取到 1 和 1 的缘故 读者可试增加数据点 比较它们 x 1 sin 的结果 例例 4 考察函数当时的变化趋势 x x xf sin 0 x 解解 输入命令 x linspace 2 pi 2 pi 100 y sin x x plot x y x linspace 2 pi 2 pi 100 y sin x x plot x y 从图上看 在附近连续变化 其值与 1 无限接近 可见 x xsin 0 x 1 x x x sin lim 0 例例 5 考察当时的变化趋势 x x xf 1 1 x 解解 输入命令 x 1 20 1000 y 1 1 x x plot x y x 1 20 1000 y 1 1 x x plot x y 从图上看 当时 函数值与某常数无限接近 我们知道 这个常数就是 xe 11 3 33 3 求函数极限求函数极限 例例 6 求 1 3 1 1 lim 3 1 xxx 解解 输入命令 symssyms x f 1 x 1 3 x 3 1 limit f x 1 x f 1 x 1 3 x 3 1 limit f x 1 得结果 ans 1ans 1 画出函数图形 ezplot f holdezplot f hold on plot 1 1 r on plot 1 1 r 例例 7 求 3 0 sin lim x xtgx x 解解 输入命令 limit tan x sin x x 3 limit tan x sin x x 3 得结果 ans 1 2ans 1 2 例例 8 求 x xx x 1 1 lim 解解 输入命令 limit x 1 x 1 x inf limit x 1 x 1 x inf 得结果 ans exp 2 ans exp 2 例例 9 求 x x x 0 lim 解解 输入命令 limit x x x 0 right limit x x x 0 right 得结果 ansans 1 1 例例 10 求 x x ctgxln 1 0 lim 解解 输入命令 limit cot x 1 log x x 0 right limit cot x 1 log x x 0 right 得结果 ans exp 1 ans exp 1 3 43 4 求方程的解求方程的解 12 例例 11 解方程 0 2 cbxax 解解 输入命令 symssyms a a b b c c x x f a x 2 b x c f a x 2 b x c solve f solve f 得结果 ans ans 1 2 a b b 2 4 a c 1 2 1 2 a b b 2 4 a c 1 2 1 2 a b b 2 4 a c 1 2 1 2 a b b 2 4 a c 1 2 如果不指明自变量 系统默认为 也可指定自变量 比如指定为自变量 xb solve f b solve f b 得结果 ans a x 2 c x ans a x 2 c x 例例 12 解方程 015 5 xx 解解 输入命令 f x 5 5 x 1 solve f f x 5 5 x 1 solve f 得结果 ans ans 1 4405003973415600893186320629653 1 4405003973415600893186320629653 20006410262997539129073370075959 20006410262997539129073370075959 49456407933505360591791681140791e 1 49456407933505360591791681140791e 1 1 4994413672391491358223492788056 i 1 4994413672391491358223492788056 i 49456407933505360591791681140791e 1 49456407933505360591791681140791e 1 1 4994413672391491358223492788056 i 1 4994413672391491358223492788056 i 1 5416516841045247594257824014433 1 5416516841045247594257824014433 画出图象 ezplot f 2 2 holdezplot f 2 2 hold on plot 2 2 0 0 on plot 2 2 0 0 练习练习 1 计算下列函数的极限 1 x x x 4cos1 2sin1 lim 4 2 x x x sec3 2 cos1 lim 3 2 2 2 sinln lim x x x 4 2 1 2 0 lim x x ex 2 解方程 012 x x 13 3 解方程 1sin3 xx 4 解方程 为实数 0 3 qpxxpq 4 导数的计算导数的计算 4 14 1 常用命令常用命令 建立符号变量命令 symsym 和 symssyms 调用格式 x sym x sym x x 建立符号变量 x x symssyms x x y y z z 建立多个符号变量 x y zx y z matlabmatlab 求导命令 diffdiff 调用格式 diffdiff 函数 求的一阶导数 xf xf x f diffdiff 函数 n n 求的 n n 阶导数 n n 是具体整数 xf xf xf n 4 24 2 导数一般概念导数一般概念 导数是函数的变化率 几何意义是曲线在一点处的切线斜率 1 1 导数是一个极限值导数是一个极限值 例例 1 设 用定义计算 exf x 0 f 解解 在某一点的导数定义为极限 xf 0 x x xfxxf x lim 00 0 我们记 输入命令 xh symssyms h limit exp 0 h exp 0 h h 0 h limit exp 0 h exp 0 h h 0 得结果 ans 1ans 1 可知1 0 f 2 2 导数的几何意义是曲线的切线斜率导数的几何意义是曲线的切线斜率 例例 2 画出在处 的切线及若干条割线 观察割线的变化趋 x exf 0 x 1 0 P 势 解解 在曲线上另取一点 则的方程是 x ey h ehMPM 14 即 0 1 0 1 h e x yh 1 1 x h e y h 取 分别作出几条割线 01 0 1 0 1 2 3 h h 3 2 1 0 1 0 01 a exp h 1 h x 1 0 1 3 h 3 2 1 0 1 0 01 a exp h 1 h x 1 0 1 3 plot x exp x r holdplot x exp x r hold onon forfor i 1 5 i 1 5 plot h i exp h i r plot h i exp h i r plot x a i x 1 plot x a i x 1 endend axisaxis squaresquare 作出在处的切线 x ey 0 x1 xy plot x x 1 r plot x x 1 r 从图上看 随着与越来越接近 割线越来越接近曲线的割线 MPPM 4 34 3 求一元函数的导数求一元函数的导数 1 1 的一阶导数的一阶导数 xfy 例例 3 求的导数 x x y sin 解解 打开 matlab 指令窗 输入指令 dy dx diff sin x x dy dx diff sin x x 得结果 dy dx cos x x sin x x 2dy dx cos x x sin x x 2 matlabmatlab 的函数名允许使用字母 空格 下划线及数字 不允许使用其他字符 在这里 我们用 dy dxdy dx 表示 x y 例例 4 求的导数 ln sin xy 解解 输入命令 dy dx diff log sin x dy dx diff log sin x 得结果 dy dx cos x sin x dy dx cos x sin x 在 matlabmatlab 中 函数用 log x log x 表示 而 log10 x log10 x 表示 xlnxlg 15 例例 5 求的导数 202 2 xxy 解解 输入命令 dy dx diff x 2 2 x 20 dy dx diff x 2 2 x 20 得结果 dy dx 20 x 2 2 x 19 2 x 2 dy dx 20 x 2 2 x 19 2 x 2 注意输入时应为 2 x 2 x x2 例例 6 求的导数 x xy 解解 输入命令 dy dx diff x x dy dx diff x x 得结果 dy dxdy dx x x log x 1 x x log x 1 利用 matlabmatlab 命令 diffdiff 一次可以求出若干个函数的导数 例例 7 求下列函数的导数 52 2 1 xxyxxy2cos2cos 2 2 x y sin 3 4 xylnln 4 解解 输入命令 a diff sqrt x 2 a diff sqrt x 2 2 x 5 cos x 2 2 cos 2 x 4 sin x 2 x 5 cos x 2 2 cos 2 x 4 sin x log log x log log x 得结果 a a 1 2 x 2 2 x 5 1 2 2 x 2 2 sin x 2 x 4 sin 2 x 1 2 x 2 2 x 5 1 2 2 x 2 2 sin x 2 x 4 sin 2 x 4 sin x cos x log 4 4 sin x cos x log 4 1 x log x 1 x log x dy1 dx a 1 dy1 dx a 1 dy1 dx 1 2 x 2 2 x 5 1 2 2 x 2 dy1 dx 1 2 x 2 2 x 5 1 2 2 x 2 dy2 dx a 2 dy2 dx a 2 dy2 dx 2 sin x 2 x 4 sin 2 x dy2 dx 2 sin x 2 x 4 sin 2 x dy3 dx a 3 dy3 dx a 3 dy3 dx 4 sin x cos x log 4 dy3 dx 4 sin x cos x log 4 dy4 dx a 4 dy4 dx a 4 dy4 dx 1 x log x dy4 dx 1 x log x 由本例可以看出 matlabmatlab 函数是对矩阵或向量进行操作的 a i a i 表示向量 a a 的第 i i 个 分量 2 2 参数方程所确定的函数的导数参数方程所确定的函数的导数 设参数方程确定函数 则的导数 tyy txx xfy y tx ty dx dy 例例 8 设 求 cos1 sin tay ttax dx dy 16 解解 输入命令 dx dt diff a t sin t dy dt diff a 1 cos t dx dt diff a t sin t dy dt diff a 1 cos t dy dx dy dt dx dt dy dx dy dt dx dt 得结果 dy dx sin t 1 cos t dy dx sin t 1 cos t 其中分号的作用是不显示结果 4 44 4 求高阶导数求高阶导数 例例 9 设 求 x exxf 22 20 xf 解解 输入命令 diff x 2 exp 2 x x 20 diff x 2 exp 2 x x 20 得结果 ansans 99614720 exp 2 x 20971520 x exp 2 x 1048576 x 2 exp 2 x 99614720 exp 2 x 20971520 x exp 2 x 1048576 x 2 exp 2 x 练习练习 1 求下列函数的导数 1 2 1 1 1 x xyxxxylnsin 3 4 2 2 1 sin2 x y ln 22 axxy 2 求下列参数方程所确定的函数的导数 1 2 ty tx 4 4 arctgtty tx 1ln 2 设 求 xey x cos 4 y 验证满足关系式 xey x sin 022 yyy 5 matlabmatlab 自定义函数与导数应用自定义函数与导数应用 函数关系是指变量之间的对应法则 这种对应法则需要我们告诉计算机 这样 当我 们输入自变量时 计算机才会给出函数值 matlabmatlab 软件包含了大量的函数 比如常用的正 弦 余弦函数等 matlab matlab 允许用户自定义函数 即允许用户将自己的新函数加到已存在的 17 matlabmatlab 函数库中 显然这为 matlabmatlab 提供了扩展的功能 无庸置疑 这也正是 matlabmatlab 的精 髓所在 因为 matlab 的强大功能就源于这种为解决用户特殊问题的需要而创建新函数的 能力 matlabmatlab 自定义函数是一个指令集合 第一行必须以单词 functionfunction 作为引导词 存为 具有扩展名 m m 的文件 故称之为函数 M 文件 5 15 1 函数函数 M M 文件的定义格式文件的定义格式 函数 M 文件的定义格式为 functionfunction 输出参数 函数名 输入参数 函数体 函数体 一旦函数被定义 就必须将其存为 M 文件 以便今后可随时调用 比如我们希望建立 函数 在 matlabmatlab 工作区中输入命令 12 2 xxxf symssyms x y x 2 2 x 1x y x 2 2 x 1 不能建立函数关系 只建立了一个变量名为 y y 的符号表达式 当我们调用 y y 时 将返回这 一表达式 y y y x 2 2 x 1y x 2 2 x 1 当给出 x x 的值时 matlabmatlab 不能给出相应的函数值来 x 3 yx 3 y y x 2 2 x 1y x 2 2 x 1 如果我们先给 x x 赋值 x 3 y x 2 2 x 1x 3 y x 2 2 x 1 得结果 y 16y 16 若希望得出的值 输入 2 x y x 2 yx 2 y 得结果 y 16y 16 不是时的值 读者从这里已经领悟到在 matlabmatlab 工作区中输入命令 2 x y x 2 2 x 1y x 2 2 x 1 不能建立函数关系 如何建立函数关系呢 我们可以点选菜单 Fill New M Fill New M fillfill 打开 matlabmatlab 文本编辑器 输入 functionfunction y f1 x y f1 x y x 2 2 x 1 y x 2 2 x 1 18 存为 f1 mf1 m 调用该函数时 输入 symssyms x y f1 x x y f1 x 得结果 y y x 2 2 x 1x 2 2 x 1 输入 y1 f1 3 y1 f1 3 得结果 y1 16y1 16 matlabmatlab 求最小值命令 fminfmin 调用格式 fmin fun a b fmin fun a b 给出在上的最小值点 xf ba 5 25 2 自定义函数自定义函数 例例 1 建立正态分布的密度函数 2 2 2 2 1 x exf 解解 打开文本编辑器 输入 functionfunction y zhengtai x a b y zhengtai x a b y 1 sqrt 2 pi a exp x b 2 2 a 2 y 1 sqrt 2 pi a exp x b 2 2 a 2 存为 zhengtai mzhengtai m 调用时可输入命令 y zhengtai 1 1 0 y zhengtai 1 1 0 得结果 y 0 2420y 0 2420 此即的值 如果想画出标准正态分布的密度函数的图象 输入 0 1 1 f ezplot zhengtai x 1 0 ezplot zhengtai x 1 0 例例 2 解一元二次方程 0 2 cbxax 解解 我们希望当输入的值时 计算机能给出方程的两个根 在文本编辑器中建cba 立名为 rootquad mrootquad m 的文件 functionfunction x1 x2 rootquad a b c x1 x2 rootquad a b c d b b 4 a c d b b 4 a c x1 b sqrt d 2 a x1 b sqrt d 2 a x2 b sqrt d 2 a x2 b sqrt d 2 a 比如求方程的根 可用语句0732 2 xx r1 r2 rootquad 2 3 7 r1 r2 rootquad 2 3 7 得结果 r1 1 2656r1 1 2656 r2 2 7656r2 2 7656 5 35 3 验证罗必塔法则验证罗必塔法则 19 罗必塔法则是指在求及的极限时 可用导数之比的极限来计算 如果导数之比 0 0 的极限存在或 例例 3 以为例验证罗必塔法则 x ba xx x 0 lim 解解 这是型极限 0 0 f a x b x g x L limit f g x 0 f a x b x g x L limit f g x 0 得结果 L log a log b L log a log b df diff f x dg diff g x L1 limit df dg x 0 df diff f x dg diff g x L1 limit df dg x 0 得结果 L1 log a log b L1 log a log b 从结果看出 L L1L L1 即 x ba xx x 0 lim x ba xx x 0 lim 5 45 4 函数的单调性与极值函数的单调性与极值 例例 4 求函数的单调区间与极值 396 23 xxxxf 解解 求可导函数的单调区间与极值 就是求导函数的正负区间与正负区间的分界点 利用 matlabmatlab 解决该问题 我们可以先求出导函数的零点 再画出函数图象 根据图象可以 直观看出函数的单调区间与极值 输入命令 f x 3 6 x 2 9 x 3 df diff f x s solve df f x 3 6 x 2 9 x 3 df diff f x s solve df 得结果 ans 1 3 ans 1 3 画出函数图象 ezplot f 0 4 ezplot f 0 4 从图上看 的单调增区间为 单调减区间是 极大值 极 xf 1 1 3 1 7 1 f 小值 3 3 f 我们可以建立一个名为 dandiao mdandiao m 的 M 文件 用来求求函数的单调区间 disp disp 输入函数输入函数 自变量为自变量为 x x symssyms x x f input f input 函数函数f x f x df diff f df diff f s solve df s solve df a a forfor i 1 size s i 1 size s a i s i a i s i endend 20 ezplot f min a 1 max a 1 ezplot f min a 1 max a 1 要求函数的单调区间与极值 可调用 dandiao mdandiao m 输入 1ln xxy dandiaodandiao 在 matlabmatlab 工作区出现以下提示 输入函数 自变量为 x 函数 f x f x 在光标处输入 x log 1 x x log 1 x 可得结果 s 0s 0 从图上看 的单调增区间为 单调 xf 0 减区间是 极小值 0 0 0 f 5 55 5 函数的最值函数的最值 调用求函数最小值命令 fminfmin 时 可得出函数的最小值点 为求最小值 必须建立函数 M 文件 例例 5 求函数在区间上的最小值 1 3 2 xxf 5 0 解解 我们可以建立一个名为 f mf m 的函数 M 文件 functionfunction y f x y f x y x 3 2 1 y x 3 2 1 并且调用 fminfmin x fmin f 0 5 x fmin f 0 5 得 x 3 x 3 在最小值点处的值 函数最小值 是 xf1 3 f 求最大值时可用 x fmin f x a b x fmin f x a b 练习练习 1 建立函数 当为何值时 该函数在处取得极xxaaxf3sin 3 1 sin a 3 x 值 它是极大值还是极小值 并求此极值 2 确定下列函数的单调区间 1 2 71862 23 xxxy 8 2 0 yxx x 3 4 1ln 2 xxy 3 1 1 xxy 3 求下列函数的最大值 最小值 1 2 32 23yxx 41 x 42 82 13yxxx 21 6 6 一元函数积分的计算一元函数积分的计算 6 16 1 常用命令常用命令 matlabmatlab 积分命令积分命令 intint 调用格式调用格式 intint 函数 计算不定积分 xf dxxf intint 函数 变量名 计算不定积分 yxfx dxyxf intint 函数 计算定积分 baxf b a dxxf intint 函数变量名 计算定积分 yxfbax b a dxyxf 6 26 2 计算不定积分计算不定积分 例例 1 计算 xdxx ln 2 解解 输入命令 int x 2 log x int x 2 log x 可得结果 ans 1 3 x 3 log x 1 9 x 3ans 1 3 x 3 log x 1 9 x 3 注意设置符号变量 例例 2 计算下列不定积分 1 2 3 dxxa 22 dx x x 3 13 1 xdxx arcsin 2 解解 首先建立函数向量 symssyms x x symssyms a a realreal y sqrt a 2 x 2 x 1 3 x 1 1 3 x 2 asin x y sqrt a 2 x 2 x 1 3 x 1 1 3 x 2 asin x 然后对 y 积分可得对 y 的每个分量积分的结果 int y x int y x ansans 1 2 x a 2 x 2 1 2 1 2 a 2 asin 1 a 2 1 2 x 1 2 x a 2 x 2 1 2 1 2 a 2 asin 1 a 2 1 2 x 1 3 3 x 1 2 3 1 15 3 x 1 5 3 1 3 3 x 1 2 3 1 15 3 x 1 5 3 1 3 x 3 asin x 1 9 x 2 1 x 2 1 2 2 9 1 x 2 1 2 1 3 x 3 asin x 1 9 x 2 1 x 2 1 2 2 9 1 x 2 1 2 6 36 3 求和运算求和运算 sum x sum x 给出向量 x 的各个元素的累加和 如果 x 是矩阵 则 sum x sum x 是一个元素为 x 的每列列和的行向量 22 例例 1 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sum x sum x ans 55ans 55 例例 2 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x x 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 sum x sum x ans 12ans 12 1515 1818 符号表达式求和命令 symsumsymsum 调用格式 symsum s n symsum s n 求 n s symsum s k m n symsum s k m n 求 n mk s 当 x 的元素很有规律 比如为表达式是的数列时 可用 symsumsymsum 求得 x x 的各项和 ks 即 symsumsymsum 1 nks 2 1 nsss symsumsymsum 1 nsmsmsnmkks 例例 3 symssyms k k n n symsum k 1 10 symsum k 1 10 ans 55ans 55 symsum k 2 k 1 n symsum k 2 k 1 n ans 1 3 n 1 3 1 2 n 1 2 1 6 n 1 6ans 1 3 n 1 3 1 2 n 1 2 1 6 n 1 6 matlabmatlab 求定积分命令 intint 调用格式 intint 函数 计算定积分 baxf b a dxxf intint 函数变量名 计算定积分 yxfbax b a dxyxf 6 46 4 定积分的概念定积分的概念 定积分是一个和的极限 取 积分区间为 等距划分为 20 个子区间 x exf 1 0 x linspace 0 1 21 x linspace 0 1 21 选取每个子区间的端点 并计算端点处的函数值 y exp x y exp x 取区间的左端点乘以区间长度全部加起来 y1 y 1 20 s1 sum y1 20y1 y 1 20 s1 sum y1 20 23 s1 1 6757s1 1 6757 s1s1 可作为的近似值 1 0 dxex 若选取右端点 y2 y 2 21 s2 sum y2 20y2 y 2 21 s2 sum y2 20 s2 1 7616s2 1 7616 s2s2 也可以作为的近似值 下面我们画出图象 1 0 dxex plot x y holdplot x y hold onon forfor i 1 20i 1 20 fill x i x i 1 x i 1 x i x i 0 0 y i y i 0 b fill x i x i 1 x i 1 x i x i 0 0 y i y i 0 b endend 如果选取右端点 则可画出图象 forfor i 1 20 i 1 20 fill x i x i 1 x i 1 x i x i 0 0 y i 1 y i 1 0 b fill x i x i 1 x i 1 x i x i 0 0 y i 1 y i 1 0 b holdhold onon endend plot x y r plot x y r 在上边的语句中 forfor endend 是循环语句 执行语句体内的命令 20 次 fillfill 命令可 以填充多边形 在本例中 用的是兰色 blue 填充 从图上看 当分点逐21 1 0 sdxes x 渐增多时 的值越来越小 读者可试取 50 个子区间看一看结果怎样 下面按等分12ss 区间计算 n i n i n n i i nn exf 11 1 lim lim symssyms k k n n s symsum exp k n n k 1 n s symsum exp k n n k 1 n limit s n inf limit s n inf 得结果 ans exp 1 1ans exp 1 1 6 56 5 计算定积分和广义积分计算定积分和广义积分 例例 4 计算 1 0 dxex 解解 输入命令 int exp x