二阶线性偏微分方程的分类与小结.doc

第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结一 两个自变量的二阶线性方程1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成 它关于未知函数及其一、二阶偏导数都是线性的，其中都是自变量的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域内都连续，而且不全为0 。设是内给定的一点，考虑在的领域内对方程进行简化。取自变量变换,其中它们具有二连续偏导数，而且在处的雅可比行列式。=根据隐函数存在定理，在领域内存在逆变换,因为，将代入使其变为经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以不全为0。并可验证这表明，在可逆变换下与保持相同的正负号。 定理 在的领域内，不为常数的函数是偏微分方程之解的充分必要条件是：是常微分方程的通解。2 方程的类型及其标准形式 根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程：，(1) 若在的邻域内时，方程可以化为，该式称为双曲线方程的标准形式，其中是自变量的已知函数。(2) 若的邻域内时，可将方程简化成，该式称为抛物型方程的标准形式，其中是自变量的已知函数。(3) 若的邻域内时，可将方程简化成，该式称为椭圆型方程的标准形式，其中是自变量的已知函数。 总之，根据的正负号能将 简化成三种标准形式。 定义 若在区域中点处满足(或是=0，或是0)，则称方程在该点处是双曲线的(或是抛物型的，或是椭圆型的)。二 个自变量的二阶线性方程 1 方程的分类 个自变量的二阶线性偏微分方程一般可以表示成 其中，都是自变量的已知函数，假设它们在维空间中某一区域内连续，而且不全为0。 在区域内某点处，由二阶导数项的系数可构成相应的二次型= 其中，而是阶对称矩阵。 定义2 如果在点的二次型为非退化且是不定的，即它恰有个非零特征值，而且特征值的符号不全相同，则称方程在点是双曲线型。如果其中个非零特征值同号，只有一个非零特征值与它们异号，则称方程在点是狭义双曲线型的。如果其中不只一个非零特征值是异号的，则称方程在点是超双曲线型的。 定义3 如果在点的二次型为非退化的，即它至少有一个零特征值，则称方程在点是抛物型。如果只有一个零特征值，而另外个非零特征值同号，则称方程在点是狭义抛物型的。如果是其它有零特征值的情形，则称方程在点是广义抛物型的。 定义4 如果在点的二次型为正定或负定的，即它恰有个同号的非零特征值，则称方程在点是椭圆型的。 2 方程的简化 当方程中二阶偏导数项的系数全是常数时，相应的二次型是常系数实二次型。根据线性代数的理论，运用配方法或者正交变换法，总可找到一个可逆线性变换，即 其中是可逆矩阵，将二次型化成标准形，即= 其中=，而且=1或-1或0。 可取转置矩阵构造自变量可逆线性变换，即，就能将在区域内方程简化为+。三小结前面各章的各种定解问题具有的一个共同的特点偏微分方程与定解条件关于未知函数及其导数都是线性的，称这些业解问题都是线性问题。线性问题普遍成立有叠加原理。叠加原理是前面各章介绍的各种方法的基础。另一方面，二阶偏微分方程可以分成双曲线型、抛物型和椭圆型，由于它们描述了物理与工程技术中不同的自然现象，所以，它们不仅在二阶偏导数项系数的代数方面有差异，而且在定解条件与性态方程有本质区别。常系数齐次波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程分别是三类方程的典型代表。为了使定解问题能反映实际现象的客观规