高数7.8 多元函数的极值及其求法

2020年4月7日星期二 1 第八节多元函数的极值及其求法 第七章 Absolutemaximumandminimumvalues 一 多元函数的极值 二 条件极值拉格朗日乘数法 三 小结与作业 2020年4月7日星期二 2 一 多元函数的极值及最大值 最小值 定义若函数 则称函数在该点取得极大值 极小值 例如 在点 0 0 有极小值 在点 0 0 有极大值 在点 0 0 无极值 极大值和极小值 统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 的某邻域内有 2020年4月7日星期二 3 说明 使偏导数都为0的点称为驻点 例如 函数 偏导数 证 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 取得极值 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点 有驻点 0 0 但在该点不取极值 且在该点取得极值 则有 存在 故 定理1 必要条件 2020年4月7日星期二 4 时 具有极值 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数 且 令 则 1 当 A 0时取极大值 A 0时取极小值 2 当 3 当 这个定理不加证明 时 没有极值 时 不能确定 需另行讨论 若函数 定理2 充分条件 2020年4月7日星期二 5 2020年4月7日星期二 6 提示 第一步求驻点 第二步判别 时 具有极值 1 当 A 0时取极大值 A 0时取极小值 2 当 3 当 时 没有极值 时 不能确定 需另行讨论 2020年4月7日星期二 7 提示 首先考察函数z在三角形区域D内的极值 其次 考察函数在三角形区域的边界上的最大值和最小值 2020年4月7日星期二 8 从上例可以看出 计算函数f x y 在有界闭区域D的边界上的最大值和最小值有时是相当复杂 在通常遇到的实际问题中 根据问题的实际背景往往可以断定函数的最大值与最小值一定在区域D的内部取得 这时就可以不考虑函数在区域边界上的取值情况了 如果又求得函数在区域内只有一个驻点 那么则可直接断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值或最小值 说明 2020年4月7日星期二 9 把它折起来做成 解 设折起来的边长为xcm 则断面面积 一个断面为等腰梯形的水槽 倾角为 积最大 为 问怎样折法才能使断面面 例3有一宽为24cm的长方形铁板 2020年4月7日星期二 10 令 解得 由题意知 最大值在定义域D内达到 而在域D内只有 一个驻点 故此点即为所求 2020年4月7日星期二 11 二 条件极值拉格朗日乘数法 极值问题 无条件极值 条件极值 条件极值的求法 方法1代入法 求一元函数 的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外 还有其它条件限制 例如 2020年4月7日星期二 12 如方法1所述 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极值问题 极值点必满足 设 记 例如 故 故有 方法2拉格朗日乘数法 2020年4月7日星期二 13 引入辅助函数 辅助函数L称为拉格朗日 Lagrange 函数 利用拉格 极值点必满足 则极值点满足 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法 2020年4月7日星期二 14 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形 设 解方程组 得到条件极值的可能点 例如 求函数 下的极值 在条件 推广 2020年4月7日星期二 15 要设计一个容量为 则问题为求x y 令 解方程组 解 设x y z分别表示长 宽 高 下水箱表面积 最小 z使在条件 水箱长 宽 高等于多少时所用材料最省 的长方体开口水箱 试问 例4 2020年4月7日星期二 16 得唯一驻点 由题意可知合理的设计是存在的 长 宽为高的2倍时 所用材料最省 因此 当高为 思考 1 当水箱封闭时 长 宽 高的尺寸如何 提示 利用对称性可知 2 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时 欲使造价 最省 应如何设拉格朗日函数 长 宽 高尺寸如何 提示 长 宽 高尺寸相等 2020年4月7日星期二 17 提示 目标函数 约束条件 构造拉格朗日函数 2020年4月7日星期二 18 内容小结 1 函数的极值问题 第一步利用必要条件在定义域内找驻点 即解方程组 第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点 2 函数的条件极值问题 1 简单问题用代入法 如对二元函数 2 一般问题用拉格朗日乘数法 2020年4月7日星期二 19 设拉格朗日函数 如求二元函数 下的极值 解方程组 在条件 求驻点 3 函数的最值问题 第二步判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值 第一步找目标函数 确定定义域 及约束条件 2020年4月7日星期二 20 习题7 82 6 7 8 作业 2020年4月7日星期二 21 思考练习 下的条件极值 解 构造拉格朗日函数 得方程组 解得 在指定条件 1 求函数 由于 所以 因此函数在点 处取得极小值 解法2 代入法 2020年4月7日星期二 22 2 求三个正数 使它们的和