数字信号处理第一章差分方程、抽样

天津科技大学应用文理学院 1 1 3离散时间系统的时域描述 差分方程 一 常系数线性差分方程的一般表达式或其中ak br都是常数 连续时间系统 用微分方程描述系统输出输入之间的关系 离散时间系统 用差分方程描述或研究输出输入之间的关系 天津科技大学应用文理学院 2 说明 1 常系数 是指ak br都是常数 不含变数n 2 阶数 差分方程的阶数是由方程y n k 项中的k取值最大与最小之差确定的 3 线性 y n k 和x n r 项都只有一次幂且不存在相乘项 天津科技大学应用文理学院 3 二 差分方程的求解 时域经典法 类似于解微分方程 即求齐次解和特解 过程繁琐 应用很少 但物理概念比较清楚 迭代法 递推法 比较简单 且适合于计算机求解 但不能直接给出一个完整的解析式作为解答 也称闭合形式解答 卷积法 适用于系统起始状态为零时的求解 变换域方法 类似于连续时间系统的拉普拉斯变换 这里采用Z变换法来求解差分方程 这在实际使用上是最简单有效的方法 天津科技大学应用文理学院 4 例题 解 1 令x n n y n h n 0 n 0根据初始条件可递推如下y 0 ay 1 0 1y 1 ay 0 1 ay 2 ay 1 2 a2 y n ay n 1 an因此 h n y n anu n 该系统是因果系统 若系统用差分方程y n ay n 1 x n 描述 输入序列x n n 求初始条件分别为 1 h n 0 n0时的单位脉冲响应h n n 作用下 输出y n 就是h n 天津科技大学应用文理学院 5 已知 y n ay n 1 x n 求h n 0 n 0时的h n 2 将差分方程改写成y n 1 a 1 y n x n 根据初始条件可递推如下y 0 a 1 y 1 1 0y 1 a 1 y 0 0 a 1 y n ay n 1 an因此 h n y n anu n 1 是非因果系统 天津科技大学应用文理学院 6 以上结果说明 1 一个常系数线性差分方程不一定代表一个因果系统 2 一个常系数线性差分方程 如果没有附加的起始条件 不能唯一的确定一个系统的输入输出关系 并且只有当起始条件选择合适时 才相当于一个线性时不变系统 在以下的讨论中 除非特别声明 我们都假设常系数线性差分方程所表示的系统都是指线性时不变系统 并且多数是指因果系统 天津科技大学应用文理学院 7 采用差分方程描述系统简便 容易得到系统的运算结构 差分方程系统结构 该式说明 系统在某时刻n的输出值y n 不仅与该时刻的输入x n 有关 还与该时刻以前的输出值y n 1 y n 2 等有关 天津科技大学应用文理学院 8 1 4连续时间信号的抽样 采样 采样恢复 天津科技大学应用文理学院 9 一 采样的基本概念 采样的原理框图 采样器 连续信号 采样脉冲 采样信号 所谓 采样 就是利用采样脉冲序列从连续时间信号中抽取一系列的离散样值 由此得到的离散时间信号通常称为采样信号 以表示 天津科技大学应用文理学院 10 两种采样方式 a 实际采样 b 理想采样 天津科技大学应用文理学院 11 采样前后信号频谱的变化 研究讨论 什么条件下 可以从采样信号不失真地恢复出原信号 天津科技大学应用文理学院 12 二 理想采样 1 时域分析数学模型采样脉冲 理想采样输出 天津科技大学应用文理学院 13 2 频域分析 映射时域相乘频域卷积 模拟系统 天津科技大学应用文理学院 14 2 频域分析 1 冲激函数序列 T t 的频谱可求解出 因为 天津科技大学应用文理学院 15 2 理想采样信号的频谱 天津科技大学应用文理学院 16 2 理想采样信号的频谱 上式表明 1 频谱产生周期延拓 即采样信号的频谱是频率的周期函数 其周期为 s 2 频谱的幅度是Xa j 的1 T倍 天津科技大学应用文理学院 17 三 时域采样定理 如果信号xa t 是带限信号 且最高频率不超过 s 2 即那么采样频谱中 基带频谱以及各次谐波频谱彼此是不重叠的 用一个带宽为 s 2的理想低通滤波器 可以不失真的还原出原来的连续信号 频谱混叠现象 如果信号最高频率超过 s 2 那么在采样频谱中 各次调制频谱就会相互交叠起来折叠频率 s 2或fs 2 天津科技大学应用文理学院 18 采样信号的频谱图 天津科技大学应用文理学院 19 奈奎斯特采样定理 若原始信号是带限信号 为使采样后能不失真的还原出原信号 抽样频率必须大于两倍信号最高频率 即 为避免混叠 一般在抽样器前加入一个保护性的前置低通滤波器 将高于折叠频率的分量滤除掉 工程上一般取 天津科技大学应用文理学院 20 四 采样的恢复 内插 1 频域分析 天津科技大学应用文理学院 21 2 时域分析 把输出看成是与理想低通单位冲激响应h t 的卷积 理想低通H j 的冲激响应为 天津科技大学应用文理学院 22 根据卷积公式 低通滤波器的输出为 天津科技大学应用文理学院 23 采样内插公式 内插函数 权 内插公式 内插函数有一个重要特点 在抽样点nT上函数值为1 在其余抽样点上函数值都为0 内插结果使得被恢复的信号在采样点的值就等于xa nT 采样点之间的信号则是由各采样值内插函数的波形延伸叠加而成的 天津科技大学应用文理学院 24 采样内插公式说明 只要采样频率高于两倍信号最高频率 则整个连续信号就可以完全用它的采样值来代表 而不会丢掉任何信息 这就是奈奎斯特定理的意义 奈奎斯特定理的意义 天津科技大学应用文理学院 25 五 实际抽样 抽样脉冲不是冲激函数 而是一定宽度的矩形周期脉冲 其中系数Ck随k变化 抽样信号频谱 天津科技大学应用文理学院 26 抽样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓 周期为 s若满足奈奎斯特抽样定理 则不产生频谱混叠失真抽样后频谱幅度随着频率的增加而下降幅度变化并不影响信号恢复 天津科技大学应用文理学院 27 例 模拟信号 其中1 求xa t 的周期 采样频率应为多少 采样间