221一元二次方程

一元二次方程 问题情景 1 问题 1 要设计一座高2m的人体雕像 使它的上部 腰以上 与下部 腰以下 的高度比 等于下部与全部的高度比 求雕像的下部应设计为高多少米 A C B 雕像上部的高度AC 下部的高度BC应有如下关系 分析 即 设雕像下部高xm 于是得方程 整理得 x 2 x 问题情景 2 问题 2 有一块矩形铁皮 长100 宽50 在它的四角各切去一个正方形 然后将四周突出部分折起 就能制作一个无盖方盒 如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米 那么铁皮各角应切去多大的正方形 100 50 x 3600 分析 设切去的正方形的边长为xcm 则盒底的长为 宽为 100 2x cm 50 2x cm 根据方盒的底面积为3600cm2 得 即 问题 3 要组织一次排球邀请赛 参赛的每两队之间都要比赛一场 根据场地和时间等条件 赛程计划安排7天 每天安排4场比赛 比赛组织者应邀请多少个队参加比赛 问题情景 3 分析 全部比赛共 4 7 28场 设应邀请x个队参赛 每个队要与其他个队各赛1场 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛 所以全部比赛共场 即 x 1 这三个方程都不是一元一次方程 那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里 它们有什么共同特点呢 特点 都是整式方程 只含一个未知数 未知数的最高次数是2 探究新知 一元二次方程的概念 像这样的等号两边都是整式 只含有一个未知数 一元 并且未知数的最高次数是2 二次 的方程叫做一元二次方程 quadraticequationinoneunknown 一元二次方程的一般形式 一般地 任何一个关于x的一元二次方程都可以化为的形式 我们把 a b c为常数 a 0 称为一元二次方程的一般形式 为什么要限制a 0 b c可以为零吗 想一想 ax2 bx c 0 a 0 二次项系数 一次项系数 常数项 例题讲解 例1 判断下列方程是否为一元二次方程 1 2 3 4 下列方程中哪些是一元二次方程 是一元二次方程的有 探究 例题讲解 将方程 3x 2 x 1 8x 3化为一元二次方程的一般形式 并写出二次项系数 一次项系数及常数项 解 去括号 得 3x2 3x 2x 2 8x 3 移项 合并同类项得 3x2 7x 1 0 所以得到一元二次方程的一般形式为 3x2 7x 1 0 其中二次项系数为3 一次项系数为 7 常数项为1 将下列方程化为一元二次方程的一般形式 并写出其中的二次项系数 一次项系数和常数项 练习 解 方程 1 整理为5x2 4x 1 0 其中二次项系数为5 一次项系数为 4 常数项为 1 方程 2 整理为4x2 81 0 其中二次项系数为4 一次项系数为0 常数项为 81 剪铁片的题目中 列得的方程为 x2 5x 150 0 144 136 126 24 0 16 可以发现 当x 10时 x2 5x 150 0 即x 10时 方程左右两边相等 所以x 10是方程x2 5x 150的解 一元二次方程的解也叫一元二次方程的根 通过计算可知 当x 15时 方程左边为0 与方程右边相等 所以x 15也是方程x2 5x 150 0的根 虽然方程x2 5x 150 0有两个根 x 10和x 15 但剪铁片问题的答案只有一个 宽应为10cm 由实际问题列出方程并得出方程的解后 必须考虑这些解是否是该实际问题的解 即是否符合生活实际 探究 2 4x2 1 1 3x2 27 0 0 2 4 6 8 2 4 6 8 2 试写出下列方程的根 3 x2 x 0 思考 小结 等号两边都是整式 只含有一个未知数 一元 并且未知数的最高次数是2 二次 的方程 叫做一元二次方程 1 定义 例题讲解 例题讲解 例 方程 2a 4 x2 2bx a 0 在什么条件下此方程为一元二次方程 在什么条件下此方程为一元一次方程 解 当a 2时是一元二次方程 当a 2 b 0时是一元一次方程 1 下列方程中 无论a为何值 总是关于x的一元二次方程的是 A 2x 1 x2 3 2x2 aB ax2 2x 4 0C ax2 x x2 1D a2 1 x2 0 2 当m为何值时 方程是关于x的一元二次方程 D 3 将下列方程化为一般形式 并分别指出它们的二次项 一次项和常数项及它们的系数 1 一元二次方程的概念 只含有一个未知数 并且