第2章机械运动方程

华中农业大学专用作者 潘存云教授 作者 潘存云教授 一 机器运动方程的一般表达式 动能定律 机械系统在时间 t内的的动能增量 E应等于作用于该系统所有各外力的元功 W 举例 图示曲柄滑块机构中 设已知各构件角速度 质量 质心位置 质心速度 转动惯量 驱动力矩M1 阻力F3 动能增量为 外力所作的功 dW Ndt dE d J1 21 2 2 5机械的运动方程式 写成微分形式dE dW 瞬时功率为 N M1 1 F3v3cos 3 M1 1 F3v3 Js2 22 2 m2v2s2 2 m3v23 2 M1 1 F3v3cos 3 dt 华中农业大学专用作者 潘存云教授 运动方程为 d J1 21 2 Jc2 22 2 m2v2c2 2 m3v23 2 推广到一般 设有n个活动构件 用Ei表示其动能 则有 设作用在构件i上的外力为Fi 力矩Mi为 力Fi作用点的速度为vi 则瞬时功率为 机器运动方程的一般表达式为 式中 i为Fi与vi之间的夹角 Mi与 i方向相同时取 相反时取 上述方程 必须首先求出n个构件的动能与功率的总和 然后才能求解 此过程相当繁琐 必须进行简化处理 M1 1 F3v3 dt 华中农业大学专用作者 潘存云教授 二 机械系统的等效动力学模型 d J1 21 2 Jc2 22 2 m2v2c2 2 m3v23 2 上例有结论 重写为 右边小括号内的各项具有转动惯量的量纲 d 21 2 J1 Jc2 22 21 m2v2c2 21 m3v23 21 则有 d Je 21 2 Me 1dt 令 Je J1 Jc2 22 21 M1 1 F3v3 dt 1 M1 F3v3 1 dt Me M1 F3v3 1 Med 左边小括号内的各项具有力矩的量纲 华中农业大学专用作者 潘存云教授 作者 潘存云教授 称图 c 为原系统的等效动力学模型 而把假想构件1称为等效构件 Je为等效转动惯量 Me为等效力矩 同理 可把运动方程重写为 右边括号内具有质量的量纲 d v23 2 J1 21 v23 Jc2 22 v23 m2v2c2 v23 m3 v3 M1 1 v3 F3 dt 假想把原系统中的所有外力去掉 而只在构件1上作用有Me 且构件1的转动惯量为Je 其余构件无质量 如图 b 则两个系统具有的动能相等 外力所作的功也相等 即两者的动力学效果完全一样 图 b 还可以进一步简化成图 c a b Je 令 me J1 21 v23 Jc2 22 v23 m2v2c2 v23 m3 Fe M1 1 v3 F3 左边括号内具有力的量纲 则有 d mev23 2 Fev3dt Feds 华中农业大学专用作者 潘存云教授 作者 潘存云教授 同样可知 图 d 与图 a 的动力学效果等效 称构件3为等效构件 为等效质量me Fe为等效力 me 等效替换的条件 2 等效构件所具有的动能应等于原系统所有运动构件的动能之和 1 等效力或力矩所作的功与原系统所有外力和外力矩所作的功相等 Ne Ni Ee Ei d mev23 2 Fev3dt Feds 华中农业大学专用作者 潘存云教授 取移动构件作为等效构件 由两者动能相等 由两者功率相等 求得等效力矩 得等效转动惯量 由两者功率相等 由两者动能相等 求得等效力 得等效质量 一般结论 取转动构件作为等效构件 华中农业大学专用作者 潘存云教授 分析 由于各构件的质量mi和转动惯量Jci是定值 等效质量me和等效转动惯量Je只与速度比的平方有关 而与真实运动规律无关 而速度比又随机构位置变化 即 me me 而Fi Mi可能与 t有关 因此 等效力Fe和等效力矩Me也是这些参数的函数 也可将驱动力和阻力分别进行等效处理 得出等效驱动力矩Med或等效驱动力Fed和等效阻力矩Mer和等效阻力Fer 则有 Je Je Fe Fe t Me Med Mer Me Me t Fe Fed Fer 特别强调 等效质量和等效转动惯量只是一个假想的质量或转动惯量它并不是机器所有运动构件的质量或转动惯量代数之和 华中农业大学专用作者 潘存云教授 三 运动方程的推演 称为能量微分形式的运动方程式 初始条件 t t0时 0 0 Je Je0 v v0 me me0 则对以上两表达式积分得 变换后得 称为能量积分形式的运动方程 称为力矩 或力 形式的运动方程 回转构件 移动构件 或 把表达式 对于以上三种运动方程 在实际应用中 要根据边界条件来选用 华中农业大学专用作者 潘存云教授 一 Je Je Me Me 是机构位置的函数 如由内燃机驱动的压缩机等 设它们是可积分的 边界条件 可求得 t t0时 0 0 Je Je0 由 d dt联立求解得 t 四 机械运动方程的求解 求等效构件的角加速度 华中农业大学专用作者 潘存云教授 若Me 常数 Je 常数 由力矩形式的运动方程得 Jed dt Me 积分得 0 t 即 d dt Me Je 常数 再次积分得 0 0t t2 2 二 Je const Me Me 如电机驱动的鼓风机和搅拌机等 应用力矩形式的运动方程解题较方便 Me Med Mer 变量分离 dt Jed Me 积分得 Jed dt 华中农业大学专用作者 潘存云教授 若t t0 0