第2章逻辑代数及其化简 北理考研复习资料 数电课件

第2章逻辑代数及其化简 作业 2 5 2 2 6 2 2 72 11 5 2 12 4 2 13 4 2 14 2 2 目录 2 1计数制与编码2 2逻辑代数基础2 3逻辑函数常用的描述方法2 4逻辑函数的化简2 5具有无关项逻辑函数的化简2 6用Multisim2001进行逻辑函数的化简与变换 3 2 1计数制与编码 任何数通常都可以用两种不同的方法来表示 一种是按其 值 表示 另一种是按 形 表示 按 值 表示 即选定某种进位的计数制来表示某个数的值 这就是所谓的进位计数制 简称数制 NumberSystem 4 2 1 1常用计数制及其转换 自学 5 2 1 1常用计数制及其转换 自学 6 按 形 表示 就是用代码来表示某些数的 值 按 形 表示一个数时 先要确定编码规则 然后按此编码规则编出代码 并给代码赋以一定的含义 这就是所谓的编码 7 计算机等数字系统所处理的信息多为数值 文字 符号 图形 声音和图像等 它们都可以用多位二进制数来表示 这种多位二进制数叫做代码 如果用一组代码并给每个代码赋以一定的含义则称编码 Encode 2 1 2编码 8 在数字电路中 常用二 十进制码 也叫做BCD Binary CodedDecimal 码 所谓二 十进制码 就是用4位二进制数组成的代码来表示1位十进制数 4位二进制数具有16种组合 二 十进制数的10个数字符号只需选用其中的10种组合来表示常用的几种二 十进制编码如表2 1所示 9 表2 1常用的几种二 十进制编码 有权码 无权码 10 英国数学家乔治 布尔 GeorgeBoole 于1847年在他的著作中首先对逻辑代数进行了系统的论述 故逻辑代数始称为布尔代数 因为逻辑代数用于研究二值变量的运算规律 所以也称为二值代数 2 2逻辑代数基础 11 2 2 1逻辑代数的基本运算和复合运算 逻辑代数的基本运算包括与 或 非三种运算 下面用三个指示灯的控制电路来分别说明三种基本逻辑运算的物理意义 设开关A B为逻辑变量 约定开关闭合为逻辑1 开关断开为逻辑0 设灯为逻辑函数F 约定灯亮为逻辑1 灯灭为逻辑0 12 逻辑与 也叫逻辑乘 定义如下 一个事件要发生需要多个条件 只有当所有的条件都具备之后 此事件才发生 A B F 怎么表示与运算呢 1 与运算 13 1 真值表 将逻辑变量所有可能取值的组合与其一一对应的逻辑函数值之间的关系以表格的形式表示出来 叫做逻辑函数的真值表 与逻辑运算真值表 1 与运算 输入 输出 14 2 逻辑表达式 表示逻辑与运算的逻辑函数表达式为F A B 式中 为与运算符号 有时也可以省略 与运算的规则为 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 与运算可以推广到多个逻辑变量 即F A B C 1 与运算 15 3 逻辑符号 电路图 在数字电路中 实现逻辑与运算的单元电路叫与门 与门的逻辑符号如图所示 本教材采用的符号 1 与运算 16 2 或运算 在决定一事件发生的多个条件中 只要有一个条件满足 此事件就会发生 A B F 逻辑或运算的真值表 17 或运算逻辑函数表达式为F A B 式中 为或运算符号 或运算的规则为 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 逻辑或运算也可推广到多个逻辑变量 即F A B C 2 或运算 18 2 或运算 实现逻辑或运算的单元电路叫或门 或门的逻辑符号如图所示 19 3 非运算 当条件不具备时 事件才会发生 Y A R 逻辑非运算的真值表 20 3 非运算 非运算的逻辑表达式为 式中A上的 为非运算符号 EDA中表示为 非运算的规则为 实现非运算的单元电路叫非门 或反相器 非门的逻辑符号如图所示 21 4 几种常用的逻辑运算 由与 或 非三种基本逻辑运算可以组合成多种常用的复合逻辑运算 1 与非运算 22 2 或非运算 4 几种常用的逻辑运算 23 3 与或非运算 4 几种常用的逻辑运算 24 4 异或逻辑运算对于两变量的异或运算 当输入相异时输出为1 输入相同时输出为0 25 5 同或逻辑运算对于两变量的同或运算 当输入相同时输出为1 输入相异时输出为0 26 2 2 2逻辑代数的基本公式和常用公式 1 基本公式 01定律 重叠律 27 2 2 2逻辑代数的基本公式和常用公式 28 同理可证明 2 2 2逻辑代数的基本公式和常用公式 29 2 2 2逻辑代数的基本公式和常用公式 证明 1 穷举法2 公式法 30 2 常用公式 31 2 常用公式 32 2 常用公式 33 异或公式 补充 34 2 2 3逻辑代数的基本规则 1 代入规则对任意逻辑等式 如果将式中的某一变量用其他变量或逻辑函数替换 则此等式仍然成立 例如 等式 若函数F BC去置换等式中地变量B 则等式左边 而等式右边 显然 等式仍然成立 35 2 反演规则 对于一个逻辑函数式F 若将其中所有的 则得到的结果就是F的反函数 36 注意 优先顺序不能变 不是单个变量上的反号不能变 37 3 对偶规则 F F 对于一个逻辑函数式F 若将其中的 则得到的结果就是F的对偶式 若两逻辑式相等 则它们的对偶式也相等 38 2 3 1逻辑函数常用的描述方法 2 3逻辑函数常用的描述方法及相互间的转换 逻辑表达式真值表逻辑电路图卡诺图 逻辑函数常用的描述方法 39 由逻辑变量和逻辑运算符号组成 用于表示变量之间逻辑关系的式子 称为逻辑表达式 1 逻辑表达式 40 与或表达式 标准与或表达式 或与表达式 标准或与表达式 与非与非表达式 或非或非表达式 与或非表达式 41 用来反映变量所有取值组合及对应函数值的表格 称为真值表 例如 对于三变量的判断奇数的电路中 当A B C三个变量中有奇数个1时 输出F为1 否则 输出F为0 2 真值表 42 表2 12三变量判断奇数电路的真值表 43 由逻辑门电路符号构成的 用来表示逻辑变量之间关系的图形称为逻辑电路图 简称逻辑图 3 逻辑图 44 4 卡诺图 将逻辑变量分成两组 分别在横竖两个方向排列出各组变量的所有取值组合 构成一个有个方格的图形 其中 每一个方格对应变量的一个取值组合 这种图形叫做卡诺图 45 2 3 2不同描述方法之间的转换 1 表达式 真值表由表达式列函数的真值表时 一般首先按自然二进制码的顺序列出函数所含逻辑变量的所有不同取值组合 再确定其对应的函数值 46 例2 1列出逻辑函数的真值表 解 逐个将变量A B C的各个取值组合代入逻辑函数中 求出相应的函数值 ABC取000时 F为0 ABC取001时 F为1 ABC取110时 F为1 ABC取111时 F为0 按自然二进制码的顺序列出变量A B C的所有不同取值组合 再根据以上的分析结果 47 表2 13逻辑函数的真值表 48 将所有已写出的组合进行 或 真值表 2 真值表 表达式 找出输出 1 的组合 用 与 写出使输出为1的组合 49 3 表达式 逻辑图 50 2 3 3逻辑函数的建立及其描述方法 为了解决某个实际问题 必须研究其因变量及其相互之间的逻辑关系 从而得出相应的逻辑函数 一般来说 首先应根据提出的实际逻辑命题 确定输入逻辑变量 输出逻辑变量 研究它们之间的因果关系 列出其真值表 再根据真值表写逻辑函数表达式 根据表达式画出电路图 51 例2 13 有一水塔 用一大一小的两台电动机MS和ML分别驱动两个水泵向水塔注水 当水塔的水位降到C点时 小电动机MS单独驱动小水泵注水 当水位降到B点时 大电动机ML单独驱动大水泵注水 当水位降到A点时由两台电动机同时驱动水泵注水 试设计一个控制电动机工作的逻辑电路 52 解1 设水位C B A为输入变量 当水位降到C B A的某点时 取值为逻辑 1 否则取值为逻辑 0 电动机MS和ML为输出变量 工作时取值为 1 不工作时为 0 2 分析逻辑变量之间的因果关系 列出此逻辑函数的真值表 53 3 根据真值表可写出逻辑函数表达式 54 4 根据逻辑函数表达式画出逻辑电路图 55 2 4逻辑函数的化简2 4 1逻辑函数的最简形式 同一逻辑函数可以采用不同的逻辑电路图来实现 而这些逻辑电路图所采用的器件的种类或数量可能会有所不同 因此化简逻辑函数可以简化电路 节省器材 降低成本 提高系统的可靠性 因此 化简逻辑函数对工程设计来说具有重要意义 逻辑函数的最简表达式有很多种 常用的有最简与或式和最简或与式 56 与或式F1 AB BC与或式的最简标准是 含的与项个数最少 各与项中含的变量个数最少 或与式F2 A B B C 或与式的最简标准是 含的或项个数最少 各或项中含的变量个数最少 常用的化简方法有公式法和卡诺图法两种 57 公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式和常用公式 得到最简形式 2 4 2逻辑函数的公式化简 58 利用结合律 将两个与项合并为一个 消去其中的一个变量 1 并项法 例如 59 2 吸收法 利用吸收律A AB A 吸收多余的与项 例如 60 3 消因子法 利用吸收律消去某些与项中的变量 例如 61 利用吸收律 将某些与项消去 例如 4 消项法 62 5 配项法 利用等基本公式给某些逻辑函数配上适当的项 进而可消去原函数中的某些项或变量 例如 63 实际上 在化简一个较复杂的逻辑函数时 总是根据逻辑函数的不同构成 综合应用上述几种方法 例 64 例题 65 不同形式表达式之间的变换 利用基本公式对逻辑函数作形式上的变换 以便选用适合的器件来实现其逻辑功能 如将与或式变换成与非 与非表达式 以便用与非门来实现 例如 66 将或与式变换成或非 或非表达式 以便用或非门来实现 例如 不同形式表达式之间的变换 67 2 4 3逻辑函数的卡诺图化简 用公式法简化逻辑函数时 一方面 不仅要熟记逻辑代数的基本公式 而且还需要有熟练的运算技巧 另一方面 经过化简后的逻辑函数是否是最简或最佳时有时也难以确定 与之相比 应用卡诺图化简逻辑函数 则简捷直观 灵活方便 且容易确定是否已得到最简结果 68 1 定义标准与或表达式是一种特殊的与或表达式 其中的每个与项都包含了所有相关的逻辑变量 每个变量以原变量或反变量出现一次且仅出现一次 这样的与项称为标准与项 又称最小项 如F F A B 共有最小项4项 1 标准与或表达式 最小项 69 2 最小项编号 70 3 最小项的主要性质 每个最小项都与变量的惟一的一个取值组合相对应 只有该取值组合使这个最小项取值为1 其余任何组合均使该最小项为0 所有最小项相或 结果为1 任意两个不同的最小项相与 结果为0 71 例2 4写出函数的标准与或表达式 72 4 标准或与表达式 标准或与表达式是一种特殊的或与表达式 其中的每个或项都包含了所有的逻辑变量 每个变量以原变量或反变量出现一次且仅出现一次 这样的或项称为标准或项 又称最大项 例如 A B C的最大项对应的变量取值组合为010 其大小为2 因而 记为M2 如果一个或项缺少某变量 则或上该变量和其反变量的逻辑与 直至每一个或项都为最大项为止 73 将逻辑变量分成两组 分别在横竖两个方向排列出各组变量的所有取值组合 构成一个有2n个方格的图形 其中 每一个方格对应变量的一个取值组合 这种图形叫做卡诺图 1 每个小方格代表一个最小项 对于n变量来说 共有2n个小方格 2 几何上相邻的最小项 逻辑上具有相邻性 2 卡诺图构成的原则 74 AB 二变量卡诺图 最小项编号 ABC 三变量卡诺图 2 卡诺图构成的原则 75 ABCD 四变量卡诺图 注 上与下 左与右 对称 相邻 76 3 用卡诺图表示逻辑函数 在卡诺图中 由行和列两组变量构成的每一个小方格 都代表了逻辑函数的一个最小项 变量取值为1的代表原变量 为0的代表反变量 1 1 1 1 1 由变量数选定卡诺图2 所含最小项对应格填1 77 若逻辑函数为一般的与或表达式 无需先变换成最小项表达式 可直接将其填写在卡诺图中 1111 1 111 78 4 用卡诺图化简逻辑函数 1 相邻小方格的合并规则卡诺图中 凡相邻的两个小方格 此称几何相邻 都具有逻辑相邻性 也就是它们只有一个变量取值不同 其他变量取值相同 逻辑相邻的最小项相或时 可利用公式进行合并 合并时应注意以下规则 79 1 两个相邻小方格可以合并成一个乘积项 且消去一个变量 11 11 11 AB 80 2 4 22 个相邻的小方格可合并成一个乘积项 且消去两个变量 1111 C 1111 81 1 1 1 1 11111111 3 如果是八个相邻单元取值同为1 则可以合并 并消去三个变量 82 Y A 1111 1111 11111111 4 如果是2n个相邻单元取值同为1 则可以合并 并消去n个变量 83 2 用卡诺图化简逻辑函数的步骤 1 用卡诺图表示逻辑函数 将逻辑函数F变换成与或式 凡在F中包含有的最小项 在其卡诺图相应的小方格中填1 其余的小方格空着或填0 84 2 合并最小项 将相邻的为1的小方格圈在一起 画图时要将尽可能多的小方格圈在一起 圈画得越大 消去的变量就越多 所画的圈内都必须至少包含一个未被圈过的小项 否则所得的乘积项是冗余项 85 11 11 正确的圈法 所画的圈必须是矩形 并且个数为2n 一般是先画大圈 最后圈孤立的单个的小方格 86 注意 1 化简完成后要检查有无多余的圈 2 最简结果不唯一 Y ABD ABC ABD ABC CD 87 3 根据所画的圈写相应的乘积项 将各乘积项相或 便可得到化简后的逻辑函数F的与或表达式 88 例2 14用卡诺图化简逻辑函数 1 1111 111 1 89 2 5具有无关项逻辑函数的化简 根据逻辑命题写出逻辑函数通常有两大类 一类逻辑函数的逻辑值是完全确定的 它不是逻辑1就是逻辑0 这类逻辑函数的化简可按上述的方法进行 另一类逻辑函数值对于某些最小项却是不完全确定的 这类逻辑函数又有以下两种情况 90 1 任意项 输入变量的某些取值的组合根本不存在 或者某些取值的组合也确实存在 但它的存在对逻辑函数的输出没有任何影响 如BCD码中16种组合中未使用的6种组合 2 约束项 输入变量的某些取值的组合实际存在 但对逻辑函数来讲是不允许它出现的 如电机的正转 反转和停止的状态之间的关系 2 5具有无关项逻辑函数的化简 91 通常将任意项和约束项统称为无关项 可采用以下方式进行表示 2 5具有无关项逻辑函数