二面角的平面角求法综合PPT课件

二面角的求法 总结 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 复习 1 定义法 直接在二面角的棱上取一点 特殊点 分别在两个半平面内作棱的垂线 得到平面角 2 三垂线法 利用三垂线定理或逆定理作出平面角 通过解直角三角形求角的大小 3 垂面法 通过做二面角的棱的垂面 两条交线所成的角即为平面角 A B D 4 射影面积法 若多边形的面积是S 它在一个平面上的射影图形面积是S 则二面角 的大小为COS S S C 2 两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系 探究准备 答 相等或互补 m 互补 相等 m 1 如图 AB是圆的直径 PA垂直圆所在的平面 C是圆上任一点 则二面角P BC A的平面角为 A ABPB ACPC 都不是 练习 60 二面角 例1 如图 已知P是二面角 AB 棱上一点 过P分别在 内引射线PM PN 且 MPN 60 BPM BPN 45 求此二面角的度数 C D 解 在PB上取不同于P的一点O 在 内过O作OC AB交PM于C 在 内作OD AB交PN于D 连CD 可得 COD是二面角 AB 的平面角 设PO a BPM BPN 45 CO a DO a PCa PDa 又 MPN 60 CD PCa COD 90 因此 二面角的度数为90 a 二面角 例2 如图P为二面角 内一点 PA PB 且PA 5 PB 8 AB 7 求这二面角的度数 过PA PB的平面PAB与棱 交于O点 PA PA PB PB 平面PAB AOB为二面角 的平面角 又 PA 5 PB 8 AB 7 由余弦定理得 P 60 AOB 120 这二面角的度数为120 解 O 二面角 取AB的中点为E 连PE OE O为AC中点 ABC 90 OE BC且OEBC 在Rt POE中 OE PO 所求的二面角P AB C的正切值为 例3 如图 三棱锥P ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt ABC斜边AC的中点O 若PB AB 1 BC 求二面角P AB C的正切值 PEO为二面角P AB C的平面角 在Rt PBE中 BE PB 1 PE OE AB 因此PE AB 解 二面角 D 二面角 探究一 试一试 例1 如图 在三棱锥S ABC中 SA 平面ABC AB BC DE垂直平分SC 分别交AC SC于D E 且SA AB a BC a 求 平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小 S A E C B D 分析 1 根据已知条件提供的数量关系通过计算证明有关线线垂直 2 利用已得的垂直关系找出二面角的平面角 解 如图 SA 平面ABC SA AB SA AC SA BD 于是SB a又BC a SB BC E为SC的中点 BE SC又DE SC故SC 平面BDE可得BD SC又BD SA BD 平面SAC CDE为平面BDE和平面BDC所成二面角的平面角 AB BC AC a在直角三角形SAC中 tan SCA SCA 300 CDE 900 SCA 600解毕 议一议 刚才的证明过程中 是用什么方法找到二面角的平面角的 请各小组讨论交流一下 S E C A B D 探究二 试一试 例二 如图 直四棱柱ABCD A1B1C1D1 底面ABCD是菱形 AD AA1 DAB 600 F为棱AA1的中点 求 平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小 A1 D1 C1 B1 A D C B F 要求 1 各人思考 2 小组讨论 3 小组交流展示 4 总结 A1 D1 C1 C B1 B D A P F 如图 延长D1F交DA的延长线于点P 连接PB 则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线 F是AA1的中点 可得A也是PD的中点 AP AB 又 DAB 600 且底面ABCD是菱形 可得正三角形ABD 故 DBA 600 P ABP 300 DBP 900 即PB DB 又因为是直棱柱 DD1 PB PB 面DD1B 故 DBD1就是二面角D1 PB D的平面角 显然BD AD DD1 DBD1 450 即为所求 解毕 解法一 A1 D1 C1 B1 F A D C B P E 解法二 如图 延长D1F交DA的延长线于点P 连接PB 则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线 因为是直棱柱 所以AA1 底面ABCD 过A做AE PB 垂足为E 连接EF 由三垂线定理可知 EF PB AEF即为二面角D1 PB D的平面角 同解法一可知 等腰 APB P 300 Rt APB中 可求得AE 1 设四棱柱的棱长为2 又AF 1 AEF 450 即为所求 思考 这种解法同解法一有什么异同 解法三 法向量法 建系如图 设这个四棱柱各棱长均为2 则D 0 0 0 D1 0 0 2 B 1 0 F 1 1 2 0 1 1 2 显然 就是平面ABCD的法向量 再设平面BDD1的一个法向量为向量 x0 y0 z0 则 且 2x0 0y0 z0 0且x0 y0 2z0 0令x0 1可得z0 2 y0 即 1 2 设所求二面角的平面角为 则COS 所以所求二面角大小为450解毕 A1 D1 C1 B1 A B C D x y z F 解法四 A1 D1 C1 B1 F C B D A 如图 由题意可知 这是一个直四棱柱 BFD1在底面上的射影三角形就是 ABD 故由射影面积关系可得COS ABD B 1 是所求二面角的平面角 以下求面积略 点评 这种解法叫做 射影面积法 在选择和填空题中有时候用起来会很好 河堤斜面 三垂线法 三垂线法 点O在二面角内 垂面法 M 例1 06年江西卷 如图 在三棱锥A BCD中 侧面ABD ACD是全等的直角三角形 AD是公共的斜边 且AD BD CD 1 另一个侧面是正三角形 求二面角B AC D的大小 N P E F 例2 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 P是AD的中点 求二面角A BD1 P的大小 例3 高考题 ABC中 AB BC SA 平面ABC DE垂直平分SC 又SA AB SB BC 1 求证 SC 平面BDE 2 求二面角E BD C的大小 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求二面角D1 AC D的大小 总一总 求二面角的方法你都学会了哪些 每一种方法在使用上要注意什么问题 请同学们先自己思考 然后小组内交流学习一下 二面角的几种主要常用的求法 1 垂面法 见例一和例二的解法一 2 三垂线法 见例二的解法二 3 射影面积法 见例二的解法三 4 法向量夹角法 见例二的解法四 其中垂面法和三垂线法也是直接找平面角的方法 也称为直接法 射影面积法和法向量法是没有找出平面角而求之的方法 也称之为间接法 这几种方法是现在求二面角的常用的方法 在高考中经常被考查 尤其是向量法 更有着广泛的被考查性 在应用的时候主要注意以下两点 1 合理建系 本着 左右对称就地取材 的建系原则 2 视图取角 由于法向量的取定有人为的因素 其夹角不一定正好是二面角的平面交的大小 我们要视原图形的情况和题意条件进行正确的选择大小 即要么是这个角 要么是它的补角 点评 试一试 例1 如图 在三棱锥S ABC中 SA 平面ABC AB BC DE垂直平分SC 分别交AC SC于D E 且SA AB a BC a 求 平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小 S A E C B D 请同学们将刚才的例一用其他方法试一下 规范训练一 1 本小题为2007年山东高考试卷理科19题 如图 在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 已知 DC DC1 2AD 2AB AD DC AB DC 设E是DC的中点 求证 D1E 平面A1BD 求二面角A1 BD C1余弦值 规范训练二 2 本小题为2008年山东高考理科试卷20题 如图 已知四棱锥P ABCD 底面ABCD为菱形 PA 平面ABCD ABC 600 E F分别是BC