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浅谈数学中的“握手问题” 分类：我的文章 2008-01-17 12:57 上一篇下一篇文章列表 握手是在相见、离别、恭贺或致谢时相互表示情谊、致意的一种礼节，双方往往是先打招呼，后握手致意。可你不得不赞叹数学的无处不在，这样一种礼节性的行为，却被编成了一道数学题，那就是有名的“握手问题”。题目是这样的“一位先生说：他与他太太参加了一次宴会，宴会上共有五对夫妇参加。参会的每个人都与其他人握了一次手。问：他的太太共握了几次手？此次宴会所有人共握了几次手？”第一问：其实这个问题很好解，不过解决这个问题，主要运用的是逻辑推理。既然宴会上共有人，任何人都不同自己握手，也不同自己的太太握手，所以任何一个人握手的次数最多只能等于。由于这位先生已问过各位宾客，得知他们每人握手的次数都不一样，可见这个人的握手次数必定是，。显然握手次数为的那一位已同除了自己的夫人以外的每个人都握过手，所以这个人（无法判定这个人是先生还是女士）的配偶必定就是那个握手次数为的人。由上述方法可以推定，握手次数为的人必定与握手次数为的人是一对夫妇；握手次数为的人必定与握手次数为的人是一对夫妇；如此等等。最后只剩下握手次数为的人，可以断定，此人肯定是提出问题的那位先生的太太，即提出问题的那位先生的太太共握了4次手。第二问：那么如果要求他们一共握了多少次手，该怎样计算呢？其实可以这样分析：假若两点代表两个人，连接两点的线段数目，就表示握手的次数。 我们可以作一个由点和线段组成的图来分析一下：握手图标握手人数握手次数2133=1+246=1+2+3510=1+2+3+4.N=1+2+3+(P-1)当P=时，N=“握手公式”（求上述“握手总次数”的的公式）便被总结出来，即设参会人数为人，即握手总数。并且，这个公式还可以利用到几何题上。例如下面两道题：例1.平面上有四个点，其中任意三个点都不在同一支线上，经过每两点画直线，一共可以画多少条？如果五个点，六个点，n个点呢？例2.在AOB的内部，过顶点O画2条射线，图形中共有几个角？画3条射线呢？画n条射线呢？同理，这两道题都可以利用“握手公式”来解决。第一题：我们一画就知道了。平面上有四个点其中任意三个点都不在同一支线上，经过每两点画直线，则可以画6条（如图一）；若5个点，则可以画10条（如图二）；若6个点，则可以画15条（如图三）若n个点，则可画条。（图一） （图二） （图三）第二题：同样，我们一画就知道了。在AOB的内部，过顶点O画2条射线，则图形中共有6个角（如图四）；在AOB的内部，过顶点O画3条射线，则图形中共有10个角（如图五）；根据规律，以及“握手公式”，我们可以归纳出：在AOB的内部，若过顶点O画n条射线，则图形中共有个角。 （图四） （图五）通过以上两题，可以得知：“握手公式”不仅可以应用到数学推理题中，还可以用来解几何问题。可见它的广泛性。由此我们还可以联想到数角的方法，如下题：例3数数下图中共有多少个角。分析 我们在数图形的时候一定要记住一件事情，那就是要有条理.那么在这道题里怎样数才会有条理呢？注意每个角的两条边可以分为上边和下边. （例3图） 在A1OA2中OA1为上边，OA2为下边. 那么我们就可以以上边分类，数一下图形中的角.解答 以OA0为上边的角有A0OA1, A0OA2, A0OA3,A0OA4, A0OA5共5个。以OA1为上边的角有A1OA2, A1OA3, A1OA4,A1OA5共4个。以OA2为上边的角有A2OA3, A2OA4, A2OA5共3个。以OA3为上边的角有A3OA4, A3OA5共2个。以OA4为上边的角有A4OA5 ,共1个。则图形中的角共有5+4+3+2+1=15.拓展 若A0OAn中被分为n个小角，如图。则图中的角共有n+(n+1)+ +1=（即“握手公式”） 啊！“握手公式”太奇妙了！回顾这道著名的“握手问题”，它已不单单是一道发散思维题，其“握手公式”已成为解决几何问题的重要公式。它的对称性、递归性、广泛性、消去法都得到了很好的体现，怪不得一些评论家们说“这样的数学题目，真是太艺术化了。”从“握手问题”中，我懂得