1生活中的立体图形

1 常见的立体图形 1 柱体 棱柱 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每两个相邻的四边形的公共边互相 平行 由这些面围成的几何体叫棱柱 如三棱柱 四棱柱 五棱柱等 圆柱 以矩形的一边所在的直线为旋转轴 其余各边围绕它旋转形成的几何体叫做圆 柱 2 锥体 棱锥 有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 由这些面围成的几何 体叫棱锥 如三棱锥 四棱锥 五棱锥等 圆锥 以直角三角形一边所在的直线为旋转轴 其余各边围绕它旋转形成的几何体叫做 圆锥 3 球体 半圆以它的直径为旋转轴 旋转而成的几何体叫做球体 例 1 判断下列说法是否正确 1 柱体的上 下两个面不一样大 2 圆柱 圆锥的底面都是圆 3 棱柱的底面不一定是四边形 4 圆柱的侧面是平面 5 棱锥的侧面不一定是三角形 解析 柱体的上 下底面是平行且相等的 形状相同 大小相等 所以 1 错误 圆柱的上 下两个底面都是圆 圆锥的底面是圆 所以 2 正确 棱柱可以是三棱柱 四棱柱 五棱柱等 即棱柱的底面不一定是四边形 所以 3 正确 圆柱的侧面是曲面不是平面 所以 4 错误 棱 锥的侧面一定是三角形 所以 5 错误 答案 1 2 3 4 5 2 立体图形的分类 立体图形 为便于理解与识记 形象地总结立体图形的分类如下 例 2 下列图形中柱体的个数为 A 1B 2C 3D 4 解析 柱体的特点是它们的上 下底面是平行且相等的 形状相同 大小相等 由此判断 和 是柱体 答案 B 3 多面体 1 多面体的概念 围成棱柱和棱锥的面是平的面 像这样的立体图形叫做多面体 如图 下列图形分别为 棱柱 长方体 棱锥 三棱锥 它们均为多面体 2 正四面体 由四个完全一样的正三角形围成的空间图形称为正四面体 这些三角形的顶点 边分别称为正四面体的顶点 棱 相邻的三角形的公共边只算一条棱 3 正六面体 类似的 组成正方体的每个正方形的顶点 边分别称为正六面体的顶点 棱 相邻的正方形的公共边只算一条棱 此外 还有正八面体 正十二面体和正二十面体 如图 谈重点常见的多面体 棱柱和棱锥都是多面体 圆柱 圆锥和球不是多面体 例 3 一个棱柱的底面是五边形 它有几条侧棱 几个顶点 共有几个面 分析 由已知易知该立体图形是五棱柱 结合图形回答问题即可 它有 5 条侧棱 10 个顶点 共有 7 个面 析规律棱柱棱数 顶点数和面数的确定 底面为 n 边形的棱柱有 n 条侧棱 2n 个顶点 n 2 个面 4 常见几何体的特征 几何体 底面 侧面 顶点数 圆柱 两个底面 平行 形状大小相等 曲面 无 圆锥 一个底面 是圆形 曲面 一个 棱柱 两个底面 平行 形状大小相等的多边形 平面 有 棱锥 一个底面 是多边形 平面 有 三棱柱的面数是 5 顶点数是 6 棱数是 9 四棱柱的面数是 6 顶点数是 8 棱数是 12 类似的 n 棱柱的面数是 n 2 顶点数是 2n 棱数是 3n 三棱锥的面数是 4 顶点数是 4 棱数是 6 四棱锥的面数是 5 顶点数是 5 棱数是 8 类似的 n 棱锥的面数是 n 1 顶点数是 n 1 棱数是 2n 例 4 图中的两个几何体由几个面围成 面与面相交成几条线 它们是直的还是曲的 1 2 分析 仔细观察本题中的几何体 1 是一个圆柱沿着它的高线纵切形成的 由于圆柱的侧面 是曲面 所以此几何体的侧面也是曲面 2 是一个六面体截去一个角形成的 组成该几何体 的面全是平面 图中的几何体 1 由 4 个面围成 面与面相交成 6 条线 它们中有 4 条直的 还有 2 条曲的 几何体 2 由 7 个面围成 面与面相交成 14 条线 它们全部是直的 5 欧拉公式 由正多边形顶点数 V 面数 F 棱数 E 的计算得出结论 多面体 V F E 正四面体 4 4 6 正六面体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 正二十面体 12 20 30 由上表可知 多面体的顶点数 面数 棱数之间的关系式为 V F E 2 即顶点数 面数 棱数 2 伟大的数学家欧拉证明了这一公式 所以人们把它称为欧拉公式 在利用公式 V F E 2 时 首先需正确判断出顶点数 面数和棱数中的两个 而多面体的 面数是已知的 多面体的面数与多面体的名称一致 例如上表中四面体的面数是 4 八面体的面 数是 8 十二面体的面数是 12 所以只需知道顶点数和棱数中的一个 就可以求出另一个 当正方体木块切去一块时 剩下的部分还是多面体 它们的顶点数 棱数 面数虽然会发生一 些变化 但是三者之间的关系不变 仍然符合欧拉公式 解技巧欧拉公式的应用 解决多面体的棱 顶点 面之间的数量关系时 应用欧拉定理较为 简便 要得到多面体的顶点数 棱数 面数之间的数量关系 可以具体分析表中的数据