旋转几何证明.doc

此文档收集于网络，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除巧用旋转解题温州市实验中学 周利明传统几何中，有许多旋转的例子，尤其是正方形和等腰三角形中。因此旋转的方法是几何学习中必备的技巧，本文将介绍旋转方法的几种典型用法，与广大读者共同学习、交流。1利用旋转求角度的大小例1：在等腰直角ABC中, ACB=90,AC=BC, P是ABC内一点,满足PA=、PB=2、PC=1求BPC的度数. PABCP 分析：本题借助常规方法的入手是比较困难的，虽然三条线段的长度是已知的，但是这三条线段不是三角形的三条边长，因此要得到角度的大小是不太容易的，因此我们可以借助旋转来分析问题，因为AC=BC，这就给我们利用旋转创造了条件，因此可以考虑将绕点C逆时针旋转，得,连接，通过三角形的边与角的关系分别求得和，就可得到的大小。 解：由已知AC=BC，将绕点C逆时针旋转，得,连接；由旋转可知：，；， 是等腰直角三角形 ， 且，在中，是直角三角形，且，例2：如图所示,正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、AD上的点,的周长为2，求的大小分析：本题在已知三角形的周长和正方形的边长的条件下求角度的大小是比较困难的，因为正方形的边长BC=DC,所以可以考虑将绕点C顺时针旋转90，易证E、D、Q三点共线，通过证明和全等即可求得的大小ABDCQEP解： BC=DC， 将绕点C顺时针旋转90得； ，； ， 且 ， E、D、Q三点共线， 的周长为2，即，又 ， ， 在和中：， ；ADCBP练习：P为正方形内一点,且PA=1,BP=2,PC=3,求APB的大小2利用旋转求线段的长度例3：如图，P是等边ABC内一点，PA=2，PC=4，求BC的长。PACEB分析：本题BC虽然和CP、BP同处一个三角形，但是要求其长还缺角度，因此直接从已知条件入手是比较困难的，但是我们只要适当运用旋转的方法，就可以是问题简单化；因为本题的ABC是等边三角形，所以其三边是相等的，因此联想到将ABC内部的某个三角形进行旋转也是比较容易的；解： ABC是等边三角形， 将BPA绕点B逆时针旋转60，则BA与BC重合， 且 BP=BE，PA=EC，连接EP； ， 是等边三角形， 在中：； ， ， ， ， 例4：如图，在梯形ABCD中，AD/BC（BCAD），D=90，BC=CD=12，ABE=45，若AE=10。求CE的长度。ADBCGFE分析：仔细分析就会发现本题所给的条件不易直接求得CE的长度，还需要做一些变化，经观察容易发现把把BCE绕点B顺时针旋转90，可构成一个正方形，然后通过三角形全等，就找出边之间的关系。解：把BCE绕点B顺时针旋转90得，连接，易证A、G、F三点一线，且易知四边形BCDG为正方形由旋转可得：， ， 在和中：， 在， ，设 ，则，；在，即； ， 解之得： CE的长为4或6练习2：如图四边形ABCD中，AB=AD，A=C=90，其面积为16，求A到BC的距离3利用旋转探求线段之间的关系例5：如图，在凸四边形ABCD中，ABC=30，ADC=60，AD=DC，求证：分析：由本题的结论不难想到在直角三角形中应用ABDCE勾股定理可以证得含有平方关系的线段之间的关系，因此我们就需要将结论中的这三条线段放到同一个直角三角形中，由于AD=DC，所以可以考虑将绕点D顺时针方向旋转60，使AD和DC重合，这样就可以得到，然后通过证明是等边三角形就可以得到结论中线段之间的关系解：将绕点D顺时针方向旋转60，使AD和DC重合，得并连接，由旋转可得：，； ， 是等边三角形， ， ， 中：， 例6：如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，D、E在BC上，DAE=45，求证： 分析：由本题的结论我们可以联想到直角三角形中勾股定理的结论，因此我们就需要将结论中的三条线段放在同一个直角三角形中，再由AB=AC,ABEDCF我们不难想到将绕点A延顺时针方向旋转90，这样我们就将、放到了同一个三角形中，同时我们也不难证明，然后我们只要设法证明，则结论可得 解： AB=AC，将绕点A延顺时针方向旋转90得，连接，由旋转可得：，； ， ，在和中：， ； ， 是， 练习3：如图、，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明4利用旋转求面积的大小GBDCADBEF例7： 如图正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且BAE=30，DAF=15，求AEF的面积分析：本题由已知条件直接去求结论是比较困难的，由于该题中含15，30等特殊角度，因此通过旋转ADF，可构作出45角，构造三角形全等，通过等积变形来解决问题是比较容易的。解：将ADF绕A点延顺时针方向旋转90得ABG，由旋转性质可知：， ， 点G、B、E三点共线，又 ， ， 在和中：， ； ，又 ，中：，BAE=30， ，在RtEFC中， ， ， ， ， 例8：如图A、B、C、D是圆周上的四个点，且弦AB=8，弦CD=6，则图中两个弓形（阴影）的面积和是多少？图2图1 分析：从已知条件直接求两个弓形面积难度较大，抓住已知条件，容易发现正好是整个圆弧的一半，因此通过将弓形CmD绕圆心旋转使点D与点B重合，就可以得到直角三角形，然后求阴影部分的面积就会很容易解：由于，知的长正好是整个圆弧的一半，将弓形CmD绕圆心旋转，使点D与点B重合（如图2）：则恰好为半圆弧， AC为O的直径， ABC=90， 由勾股定理可求得，练习4：如图ABC是等腰直角三角形，D为AB的中点，AB=2，扇形ADG和BDH分别是以AD、BD为半径的圆的，求阴影部分面积参考答案：练习： ，提示：如图将逆时针旋转得，连接，分别求得和ADCBEP练习4练习3练习2练习1 练习2：距离为4，如图通过旋转变换得正方形 练习3：，把BDM绕点D顺时针旋转120得到，易证练习4：，将扇形BDH和BDC绕D点顺时针旋转180观察巧旋转 妙解题沈岳夫旋转是几何图形运动中的重要变换，随着课程改革的进一步深入，利用旋转知识进行有关计算或证明的题目很多，尤其是题目中没有涉及到旋转等文字，使不少学生在解答时无从着手，找不到解题的途径，但如果能根据题目特征加以观察，通过旋转，找到解题的突破口，那么问题就简单化了，现采撷部分试题加以归纳，供参考。一. 通过旋转，解答角度问题 例1. 如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10。求APB的度数。图1解析：先将部分已知条件集中到一个三角形中，再研究这个三角形与所求的关系。将PAC绕点A逆时针旋转60后，得到FAB，连接PF（如图2），则BF=PC=10，FA=PA=6，FAP=60。FAP是等边三角形，FP=PA=6。在PBF中，BPF=90APB=APF+FPB=60+90=150图2二. 通过旋转，计算线段长度问题 例2. 如图3，P是正ABC内一点，PA=2，PC=4，求BC的长。图3解析：此题乍一看似乎无从着手，但只要运用旋转的方法来解题，就显得十分容易。将BPA绕点B逆时针旋转60，则BA与BC重合（如图4），BP=BM，PA=MC，连接MP。则MBP是正三角形，即，由，故CMP=90，因为，所以MPC=30，又因为MPB=60，故CPB=90，得图4 例3. 如图5，在梯形ABCD中，AD/BC（BCAD），D=90，BC=CD=12，ABE=45，若AE=10。求CE的长度。图5解析：经观察，把BCE绕点B顺时针旋转90，可构成一个正方形，然后通过三角形全等，找出边之间的关系。延长OA，把BCE绕点B顺时针旋转90，与DA的延长线分别交于点G，点M（如图6），易知四边形BCDG为正方形。BC=BG又=CBE=GBMRtBECRtBMGBM=BE，ABE=ABM=45ABEABMAM=AE=10设CE=x，则。在RtADE中，即所以CE的长为4或6。图6三. 通过旋转，巧算面积问题 例4. 如图7，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且BAE=30，DAF=15，求AEF的面积。图7解析：由于该题中含15，30等特殊角度，通过旋转ADF，可构作出45角，构造三角形全等，通过等积变形而获解。将ADF绕A点顺时针旋转90到ABG的位置（如图8），由旋转性质可知：AG=AF，BAG=FAD=15，故GAE=15+30=45。EAF=90GAE=FAE又AE=AEAEGAEF（SAS）EF=EG，AEF=AEG=60在RtABE中，BAE=30，则BE=1，在RtEFC中，FEC=，即图8 例5. 如图9，A、B、C、D是圆周上的四个点，。且弦AB=8，弦CD=4，则图中两个弓形（阴影）的面积和是多少？（结果保留三个有效数字）图9解析：要直接求两个弓形面积难度较大，抓住已知条件，运用整体思维可简易求得。由于，知长等于圆的周长的一半，将弓形CmD绕圆心旋转，使点D与点B重合（如图10），则恰好为半圆弧，此时AC为圆O的直径，从而ABC=90，由勾股定理可求得，故其面积和为15.4。图10四. 通过分割、旋转、拼接平行四边形 例6. 如图11，已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：_（用“能”或“不能”填空），若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由。图11解析：解此题的关键是把大四边形分割成四个小四边形，然后通过分割旋转达到目的，简答如下：能，如图12，取四边形ABCD各边的中点E、G、F、H，连接EF、GH，则EF、GH为裁剪线，EF、GH将四边形ABCD分成1、2、3、4四个部分，拼接时，图中的1不动，将2、4分别绕点H、F各旋转180，3平移，拼成的四边形满足条件（如图13）。图12图13五. 通过旋转巧证三点一直线 例7. 已知，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA、PB、PC。（1）将PAB绕B点顺时针旋转90到的位置（如图14）设AB的长为a，PB的长为b（ba）。求PAB旋转到的过程中边PA所扫过区域（图14中阴影部分）的面积。若PA=2，PB=4，APB=135，求PC的长。图14（2）如图15，若，请说明点P必在对角线AC上。解析：要说明点P必在对角线AC上（即点A、点P、点C三点成一直线）关键是弄懂第（1）小题的问题，实质第（1）小题的解答过程为第（2）问埋下伏笔，让学生从中受到启发，运用类比方法就易解答该题，简答如下：（1）图15如图16，连接，将PAB绕B点顺时针旋转90到的位置，则。AP=，APB=，为等腰直角三角形，。PC=6图16（2）将PAB绕点B顺时针旋转90到的位置（如图17）则，APB=，连接，则。即点P必在对角线AC上。图17六. 通过旋转探求线段之间的关系 例8. 如图18，E是正方形ABCD的边BC上的一点，AF平分EAD交CD于点F。求证：AE=BE+DF。图18解析：解此题的关键是如何把分散的三条线段集中到一个三角形中，经观察可通过旋转三角形达到目的。将ADF绕点B顺时针旋转90到ABG（如图19），由旋转性质可知：ADFABG。则DF=BG，BE+DF=BE+GB=GE在AGE中，AE=GEAE=BE+DF图19 例9. 操作：如图20，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。图20探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的思路，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少三步）；（2）在你经历说明（1）的过程中，可以从下列中选出一个补充或更换已知条件，完成你的证明：AN=NC（如图21）；DM/AC（如图22）图21图