数学【专题十】化归思想

1 数 学 专题十 专题十 化归思想化归思想 考情分析 化归与转换的思想 就是在研究和解决数学问题时采用某种方式 借助某种函数性质 图象 公式或已 知条件将问题通过变换加以转化 进而达到解决问题的思想 等价转化总是将抽象转化为具体 复杂转化为简 单 未知转化为已知 通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法 知识交汇 化归思想的核心 是以可变的观点对所要解决的问题进行变形 就是在解决数学问题时 不是对问题进 行直接进攻 而是采取迂回的战术 通过变形把要解决的问题 化归为某个已经解决的问题 从而求得原问 题的解决 化归思想不同于一般所讲的 转化 或 变换 它的基本形式有 化未知为已知 化难为易 化繁为简 化高维为低维 化抽象为具体 化非规范性问题为规范性问题 化数为形 化形为数 化曲为直 化实际问题为数学问题 化综合为单一 化一般为特殊等 匈牙利著名数学家罗莎 彼得在他的名著 无穷的玩艺 中 通过一个十分生动而有趣的笑话 来说明 数学家是如何用化归的思想方法来解题的 有人提出了这样一个问题 假设在你面前有煤气灶 水龙头 水壶和火柴 你想烧开水 应当怎样去做 对此 某人回答说 在壶中灌上水 点燃煤气 再把壶放在 煤气灶上 提问者肯定了这一回答 但是 他又追问道 如果其他的条件都没有变化 只是水壶中已经 有了足够的水 那么你又应该怎样去做 这时被提问者一定会大声而有把握地回答说 点燃煤气 再把 水壶放上去 但是更完善的回答应该是这样的 只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做 而数学家 会回答 只须把水壶中的水倒掉 问题就化归为前面所说的问题了 化归思想是指问题之间的相互转化 前苏联著名数学家 C A 雅诺夫斯卡娅 有一次向奥林匹克竞赛参加者 发表了 什么叫解题 的演讲 她的答案显得惊人地简单 完全出乎人的意料 解题就是把题归结为已经 解决过的问题 这句话实际上就是体现了化归思想 因此化归的常用模式为 转化 对 象 目 标 解答 思想方法 一 将未知的问题转化归结为已知的知识 例 1 设若方程中的 cosx 有两个不同的 0 1coscos2 2 xxxxf 2 cos xkxf 符号 求实数 k 的取值范围 分析 令 cosx t 则由得方程 1 1 t 2 cos xkxf 1 012 1 2 2 ktkt 中的 cosx 有两个不同的符号 等价于关于 t 的方程 1 在有异号两根 设 2 cos xkxf 1 1 t 问题 A问题 B 问题 A 的解答问题 B 的解答 2 数 学 专题十 则原问题又等价于 由此可得12 1 2 2 ktkttg 0 1 0 1 0 0 g g g 2 1 0 k 评注 将未知的问题向已知的知识转化 并使未知和已知的知识发生联系 使之能用熟悉的知识和方 法解决新的问题 这种转化经常可达到事半功倍的效果 例如要求空间两条异面直线所成的角 只须通过作 平行线转化成大家所熟悉的两相交直线所成的角 又如复杂的三角函数的最值问题有时也可以通过换元转化 为熟悉的二次函数最值问题 再如还可以用三角法解决几何量的最值问题等等 二 数形之间的转化 例 3 讨论方程的实数解的个数 2 23 xxa aR 分析分析 此题若从代数的角度去解恐怕是无从下手 我们不妨利用数 形结合来考虑看会怎么样 此题可转化为求函数 2 23 yxx 图象与函数图象的交点个数的问题 ya 解解 作出函数的图象 如右图所示 函数 2 23 yxx ya 为水平直线 由图形可知 当时 解的个数是 当或时 解的个数是0a 00a 4a 2 当时 解的个数是 当时 解的个数为 3 04a 44a 评注 注意数形的相互转化 使数形达到和谐的统一 以增强直观性和形象性及深刻了解数学的内涵 便 于发现和解决实质问题 某些代数问题 三角问题 往往潜在着几何背景 而借助其背景图形的性质 可使 那些抽象的概念 复杂的数量关系几何直观 以便于探求解题思路或找到问题的结论 三 特殊与一般的相互转化 在平面直角坐标系中 已知的顶点和 顶点在椭圆上 则xOyABC 4 0 A 4 0 C B 22 1 259 xy sinsin sin AC B 解析 这里顶点是椭圆上的动点 所以 不易确定 但根据 一般成立特殊一定成立 Bsin Asin BsinC 可将这个一般性的问题转化化归为点在特殊位置 椭圆短轴端点 来处理较易 B 当然 注意到 A C 是两焦点 利用正弦定理 进行数形转化也能取得很好的效果 答案 顶点取椭圆短轴端点 即 则 B 0 3 B 3 sinsincos 25 B AC 4 sin 25 B 3424 sin2sincos2 225525 BB B sinsin sin AC B 5 4 点评 象这种 特殊与一般的相互转化 在高考的选择题和填空题中经常应用 评注评注 对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题 可先用特殊情形探求解题思路或命题结论 再在一 般情况下给出证明 这不失为一种解题的明智之举 3 数 学 专题十 四 正与反的相互转化 若下列方程 0 中至少有一个方程0344 2 aaxx0 1 22 axaxaaxx22 2 有实根 试求实数 a 的取值范围 分析 分析 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况有一种 三个方程均没有实数 先求出反面情况时 a 的范围 取所得范围的补集就是正面情况的答案 解 解 设三个方程均无实根 则有 0 2 44 04 1 0 34 416 2 3 22 2 2 1 aa aa aa 解得 1 2 3 0 2 3 1 1 2 1 2 3 a a aa a 即或 所以当时 三个方程至少有一个方程有实根 2 3 1 aa或 评注 对于那些从 正面进攻 很难奏效或运算较难的问题 可先攻其反面 从而使正面问题得以解决 五 实际问题向数学问题的转化归结 例 6 某厂家拟在 2009 年举行促销活动 经调查测算 该产品的年销售量 即该厂的年产量 万件与年x 促销费用万元满足 为常数 如果不搞促销活动 则该产品的年销售量是 1 万件 0 m m 3 1 k x m k 已知 2009 年生产该产品的固定投入为 8 万元 每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元 厂家将每件产品的 销售价格定为每件产品年平均成本的 1 5 倍 产品成本包括固定投入和再投入两部分资金 不包括促销费用 1 将 2009 年该产品的利润y万元表示为年促销费用万元的函数 m 2 该厂家 2009 年的促销费用投入多少万元时 厂家的利润最大 解 1 由题意可知 当时 即 0 m1 x13k 2 k 每件产品的销售价格为元 2 3 1 x m 8 16 1 5 x x 2009 年的利润 168 168 5 1 mx x x xy m m mx 1 2 3 8484 0 29 1 1 16 mm m 4 数 学 专题十 2 时 0m 16 1 2 168 1 m m 当且仅当 即时 82921y 16 1 1 m m 3m max 21y 答 该厂家 2009 年的促销费用投入 3 万元时 厂家的利润最大 最大为 21 万元 评注 将实际问题转化为数学问题 使之能用数学理论解决具体的实际问题 解答数学应用问题 要善于 调整应用题中的条件关系和题型结构 使问题化难为易 化繁为简 若有些较复杂的应用题采用直接设元列 方程转化较困难 则可合理地设置间接未知数来设法进行转化 以寻求解决问题的新途径 专题演练 1 若不等式对一切均成立 试求实数的取值范围 2 43xpxxp 04p x 2 方程 y x3 3x a 有相异三个解 求 a 的取值范围 3 曲线 y 1 2 x 2 与直线 y r x 2 4 有两个交点时 实数 r 的取值范围 2 4x 4 为处理含有某种杂质的污水 要制造一个底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱 如图 污水从 A 孔流入 经沉淀后从 B 孔流出 设箱体的长度为 a 米 高度为 b 米 已知流出的水中该杂 质的质量分数与 a b 的乘积 ab 成反比 现有制箱材料 60 平方米 问当 a b 各 为多少米时 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小 A B 孔的面积忽略不 计 化归与转换的思想 就是在研究和解决数学问题时采用某种方式 借助某种 函数性质 图象 公式或已知条件将问题通过变换加以转化 进而达到解决问题的思想 等价转化总是将抽象 转化为具体 复杂转化为简单 未知转化为已知 通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法 参考答案 1 解解 2 43xpxxp 2 1 430 xpxx 令 则要使它对均有 只要有 g p 2 1 43xpxx 04p 0g p 或 0 0 4 0 g g 3x 1x 5 数 学 专题十 2 解 解 提示 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 易确定 f 1 2 是极大值 f 1 2 是极小值 当 2 a 2 时有 三个相异交点 3 解 解析 方程 y 1 的曲线为半圆 y r x 2 4 为过 2 4 的直线 2 4x 答案 4 3 12 5 4 解法一 设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为 y 则由条件 y k 0 为比例系数 其中 a b ab k 满足 2a 4b 2ab 60 要求 y 的最小值 只须求 ab 的最大值 由 a 2 b 1 32 a 0 b 0 且 ab 30 a 2b 应用重要不等式 a 2b a 2 2b 2 4 124 22 2 2 ba ab 18 当且仅当 a 2b 时等号成立 将 a 2b 代入 得 a 6 b 3 故当且仅当 a 6 b 3 时 经沉淀后流出