高二数学椭圆的第二定义

高二数学椭圆的第二定义 参数方程 直线与椭圆的位置关系知识高二数学椭圆的第二定义 参数方程 直线与椭圆的位置关系知识 精讲精讲 一 本周教学内容 椭圆的第二定义 参数方程 直线与椭圆的位置关系 知识点 1 第二定义 平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数 e c a eM 01 的动点的轨迹叫做椭圆 定点为椭圆的一个焦点 定直线为 椭圆的准线 常数 e 是椭圆的离心率 注意 对对应于右焦点 的准线称为右准线 x a y b abF c 2 2 2 2 2 100 方程是 对应于左焦点 的准线为左准线x a c Fcx a c 2 1 2 0 e 的几何意义 椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比 2 焦半径及焦半径公式 椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径 对于椭圆 设 为椭圆上一点 由第二定义 x a y b abP xy 22 2 10 左焦半径 左 左 r x a c c a rex c a a c aex 0 2 0 2 0 右焦半径 右 右 r a c x c a raex 2 0 0 3 椭圆参数方程 问题 如图以原点为圆心 分别以 a b a b 0 为半径作两个圆 点 B 是大圆半径 OA 与小圆的交点 过点 A 作 AN Ox 垂足为 N 过点 B 作 BN AN 垂足为 M 求当半径 OA 绕 O 旋转时点 M 的轨迹的参数方程 解 解 设点的坐标是 是以为始边 为终边的正角 取 为Mxy Ox A 参数 那么 xONOA yNMOB xa yb cos sin cos sin 1 这就是椭圆参数方程 为参数时 称为 离心角 说明 对上述方程 1 消参即 x a y b x a y b cos sin 2 2 2 2 1普通方程 由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程 4 补充 名称 方程 参数几何意义 直线 xxt yyt t 0 0 cos sin 为参数 P xy 000 定点 倾斜角 tP P 0 P x y 动点 圆 xar ybr cos sin 为参数 A a b 圆心 r 半径 P x y 动点 旋转角 椭圆 xa yb cos sin 为参数 a 长半轴长 b 短半轴长 离心角 不是与的夹角 OMOx 一般地 取 02 5 直线与椭圆位置关系 1 相离 x a y b ykxb 2 2 2 2 1 相离无解 x a y b ykxb 2 2 2 2 1 求椭圆上动点 P x y 到直线距离的最大值和最小值 法一 参数方程法 法二 数形结合 求平行线间距离 作l l且l 与椭圆相切 关于直线的对称椭圆 2 相切 相切有一解 x a y b ykxb 2 2 2 2 1 过椭圆上一点 的椭圆的切线方程为P xy xx a yy b 000 0 2 0 2 1 3 1 2 2 2 2 相交有两解 x a y b ykxb 弦长公式 ABxxyy 12 2 12 2 14 2 12 2 12 kxxx x 1 2 12 kxx 1 2 k a 作差法中点 斜率 例 1 已知 是椭圆的右焦点 点在椭圆上移动 当AF xy M 23 1612 1 22 MA 2 MF 取最小值时 求点 M 的坐标 分析 分析 结合图形 用椭圆的第二定义可得 MAMFMAMPAA 2 这里 MP AP 分别表示点 A 到准线的距离和点 M 到准线的距离 解 解 设直线 是椭圆的右准线 垂足为 则 lMPlP MF MP eMP e 1 MFabceMP e MF 由已知方程得 由此得 42 32 1 2 1 2 MF 从而得 MAMFMAMPAAMAPMAP 2 即当点 三点共线且是内分点 时 等号成立 此时取得最小值 点的坐标为 MAMFM 22 33 例 2 椭圆的焦点为 点 为其上的动点 当 为钝角 xy FFPF PF 22 1212 94 1 时 点 P 横坐标的取值范围是 2000 年全国高考题 分析 分析 可先求 F1PF2 90 时 P 点的横坐标 解 法一解 法一 在椭圆中 依焦半径公式知 abcPFx 3253 5 3 1 PFxF PFPFPFF F 2121 2 2 2 12 2 3 5 3 由余弦定理知 为钝角 3 5 3 3 5 3 2 5 9 5 3 5 3 5 2222 xxxx 应填 法二法二 设 则当 时 点 的轨迹方程为 P xyF PFPxy 12 22 905 由此可得点 的横坐标 点 在 轴上时 点 在 轴上PxPxF PFPy 3 5 0 12 时 为钝角 由此可得点 横坐标的取值范围是F PFPx 12 3 5 3 5 小结 小结 本题考查椭圆的方程 焦半径公式 三角函数 解不等式知识及推理 计算能 力 例 3 过椭圆内一点 引一条弦 使弦被点平分 求这条 xy MM 22 164 121 弦所在的直线方程 分析 分析 本例的实质是求出直线的斜率 在所给已知条件下求直线的斜率方法较多 故 本例解法较多 可作进一步的研究 解 法一解 法一 设所求直线方程为 代入椭圆方程并整理 得yk x 12 4124 21160 2222 kxkk xk 又设直线与椭圆的交点为 A xyB xyxxxx kk k 11221212 2 2 8 2 41 则 是方程的两个根 于是 又为的中点 解之得 故所求直线方MAB xxkk k k 12 2 2 2 4 2 41 2 1 2 程为xy 240 法二法二 设直线与椭圆的交点为 为的中点 A xyB xyMAB 1122 21 又 两点在椭圆上 则 xxyyABxyxy 12121 2 1 2 2 2 2 2 424164 1640 1 2 2 2 1 2 2 2 两式相减得 xxyy yy xx xx yy 12 12 12 12 4 1 2 即 故所求直线为kxy AB 1 2 240 法三 法三 设所求直线与椭圆的一个交点为 A x y 由于中点为 M 2 1 则另一个交点为 Bxy 42 两点在椭圆上 有 ABxyxy 2222 41644 216 得 xy240 由于过 的直线只有一条 故所求直线方程为ABxy 240 法四法四 直线方程为 xt yt 2 1 cos sin 代入椭圆得 cos sin 24 1160 22 tt 44484160 2222 ttttcoscossinsin sincos sincos 48480 222 tt tt 12 22 0 84 4 0 sincos sincos 820sincos 82 1 2 sincostan 即 故所求直线为kxy AB 1 2 240 例 4 已知椭圆 在椭圆上求一点 使 到直线 xyPPlxy 22 8840 的距离最小并求出距离的最小值 或最大值 解 法一解 法一 设 由参数方程得P cossin 2 2 则d cossin sin 2 24 2 34 2 其中 当时 tan min 2 2 2 1 2 2 2 d 此时 cossinsincos 2 2 3 1 3 即 点坐标为 PP 8 3 1 3 法二法二 因 与椭圆相离 故把直线 平移至 使 与椭圆相切 则 与 的距离 llllll 即为所求的最小值 切点为所求点最大 l 设 则由消 得lxym xym xy x 0 0 88 22 928044980 2222 ymymmm 令 解之得 为最大 由图得mm 333 此时 由平行线间距离得Pl min 8 3 1 3 2 2 例 5 已知椭圆 是椭圆上一点E xy P xy 22 2516 1 1 22 求的最大值xy 2 若四边形 ABCD 内接于椭圆 E 点 A 的横坐标为 5 点 C 的纵坐标为 4 求四边形 ABCD 的最大面积 分析 分析 题 1 解题思路比较多 法一 可从椭圆方程中求出 y2代入 x2 y2 转化为 xxyxy的二次函数求解 法二 用椭圆的参数方程 将 代入 转化为三角 22 问题求解 法三 令 则利用圆与椭圆有公共点这一条件求的最xyrr 2222 值 解题时可结合图形思考 得最大值为 25 最小值为 16 题 2 可将四边形 ABCD 的面积分为两个三角形的面积求解 由于 AC 是定线段 故长 度已定 则当点 B 点 D 到 AC 所在直线距离最大时 两个三角形的面积最大 此时 四边形的面积最大 求得ABCD20 2 解 解 1 2516 116 1 25 22 2 2 法一 由得 xy y x 则 xyx xx 222 22 16 1 25 16 9 25 1625 的最大值为 最小值为xy 22 2516 法二 令 x y 5 4 cos sin 则 xy 22222 25161691625 cossincos 法三 令 则数形结合得 xyrr 2222 1625 2 由题意得 A 5 0 C 0 4 则直线 AC 方程为 4x 5y 20 054 又设 则点 到直线的距离BBAC cossin d1 202020 41 20 2 4 20 41 20 220 41 cossin sin 同理点 到直线的距离DACd2 20 220 41 四边形的最大面积SAC dd 12 20 2 例 6 已知椭圆 是椭圆上两点 线段的垂直平 x a y b abABAB 2 2 2 2 10 分线与 x 轴相交于点 P x0 0 求证 ab a x ab a 22 0 22 1992 年全国高考题 分析 分析 本题证明的总体思路是 用 两点的坐标 及 来表示 ABxxabx 120 利用证明 22 12 axxa 证明 法一证明 法一 设 由题意知 且 A xyB xyxxP x 1122120 0 由得 PAPBxxyxxy 10 2 1 2 21 2 2 2 又 两点在椭圆上 AByb x a yb x a 1 221 2 2 2 222 2 2 11 代入 整理得 2 2102 2 1 2 22 2 xxxxx ab a 有 xxx xxab a 120 12 22 2 2 又 且 axaaxaxx 1212 22 12 axxa 由此得 ab a x ab a 22 0 22 法二法二 令 则以 为圆心 PArP rxxyr为半径的圆的方程为 0 222 圆 与椭圆 交于 两点P x a y b abAB 2 2 2 2 10 由 消去 整理得y ab a xx xxrb 22 2 2 00 222 20 由韦达定理得 xx a x ab aa 12 2 0 22 2 22 ab a x ab a 22 0 22 法三法三 设 的中点为 A xyB xyABM mn 1122 xxmyyn 1212 22 又 两点在椭圆上 AB x a y b x a y b 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 11 则两式相减得 xxxx a yyyy b 1212 2 1212 2 0 将及 代入整理得 yy xx mx n xxmyyn 12 12 0 1212 22 x ab a m xxab a 0 22 2 12 22 2 2 下略 这种解题方法通常叫做 端点参数法 或叫做 设而不求 例 7 设椭圆的中心是坐标原点 长轴在 轴 离心率 已知点 xeP 3 2 0 3 2 到这个椭圆上的点的最远距离是 求这个椭圆的方程 并求椭圆上到点 的7P 距离等于的点的坐标7 解法一 解法一 设椭圆的参数方程为 xa yb ab cos sin 其中 002 由 得e c a b a ab 2 2 2 2 1 3 4 2 设椭圆上的点 到点 的距离为 xyPd 则dxy 222 3 2 ab 222 3 2 cos sin 3 1 2 43 222 b b b sin 如果即 1 2 1 1 2b b 那么当时 取得最大值sin 17 3 2 222 db 由此得与矛盾bb 7 3 2 1 2 1 2 因此必有 此时当时 取得最大值 1 2 1 1 2 743 222 bb db sin 解得 ba 12 所求椭圆的参数方程是 x y 2cos sin 由 sincos 1 2 3 2 求得椭圆上到点 的距离等于的点是 与 P73 1 2 3 1 2 解法二 解法二 设所求椭圆的方程为 x a y b ab 2 2 2 2 10 由 解得e c a b a b a 2 2 2 2 1 3 4 1 2 设椭圆上的点 到点 的距离为 xyPd 则dxy 222 3 2 a a b yy 2 2 2 22 3 2 334 9 4 22 yyb 3 1 2 43 22 yb 其中 如果 则当时 bybbyb 1 2 db 222 7 3 2 取得最大值 解得与矛盾bb 7 3 2 1 2 1 2 故必有b 1 2 当时 取得最大值ydb 1 2 743 222 解得 ba 12 所求椭圆方程为 x y 2 2 4 1 由可求得到点 的距离等于的点的坐标为 yP 1 2 73 1 2 小结 小结 椭圆的参数方程是解决椭圆问题的一个工具 但不是所有与椭圆有关的问题必 须用参数方程来解决 模拟试题模拟试题 1 已知椭圆的焦点坐标是 x a y b ab 2 2 2 2 10 是椭圆上的任一点 求证 FcF cP xy 1200 00 和 率 PFaexPFaexe 1020 其中 是椭圆的离心 2 在椭圆上求一点 P 使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍 xy 22 259 1 3 椭圆的长轴长是 xy xy 11 4333 10 22 4 椭圆 离心率 y a x b abFcFc c 2 2 2 2 12 10000 的两焦点为 焦点到椭圆上点的最短距离为 求椭圆的方程 e 3 2 23 5 已知椭圆的一个焦点是 F 1 1 与它相对应的准线是 离心率为xy 40 求椭圆的方程 2 2 6 已知点 P 在椭圆上 为椭圆的两个焦点 求 y a x b ab 2 2 2 2 10 FF 12 的取值范围 PFPF 12 7 在椭圆内有一点 A 2 1 过点 A 的直线l的斜率为 1 且与椭圆交 xy t 22 8 1 于 B C 两点 线段 BC 的中点恰好是 A 试求椭圆方程 8 已知椭圆 在椭圆上求一点 M 使它到两焦点距离之积为 16 xy 22 2516 1 9 如图 已知曲线 点 A 在曲线上移动 点 C 6 4 493600 22 xyxy 以 AC 为对角线作矩形 ABCD 使 AB x 轴 AD y 轴 求矩形 ABCD 的面积最小时点 A 坐标 参考答案参考答案 1 证明 的两焦点 相应的准线椭圆 x a y b 2 2 2 2 10 abFcF c 12 00 方程分别是 x a c x a c 22 和 椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率 PF x a c e PF a c x e 1 0 2 2 2 0 化简得 PFaexPFaex 1020 点评 都是椭圆上的点到焦点的距离 习惯称作焦半径 PFPF 12 称作焦半径公式 结合这两个公式 显然到焦点距离最 PFaexPFaex 1020 远 近 点为长轴端点 2 解 设 P 点的坐标为 x y F1 F2分别为椭圆的左 右焦点 椭圆的准线方程为 x 25 4 PF x PF x 12 25 4 25 4 PFPF 12 2 2 25 4 25 4 25 12 22 PF x PF x x 把代入方程x xy 25 12259 1 22 得 y 119 4 因此 P 点的坐标为 25 12 119 4 点评 解决椭圆上的点到两焦点的距离 焦半径 问题 常利用椭圆的第二定义或焦 半径公式 如果利用焦半径公式 应先利用第二定义证明焦半径公式 3 32 3 解析 椭圆的方程可写成 xy xy 11 4333 5 1 2 22 c a 1 2 一个焦点是 1 1 相对应的准线方程是 43330 xy a c c 2 4333 5 8 由 得 aa 16 3 2 32 3 4 解 椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短 ac 23 又 e c a 3 2 故ab 21 椭圆的