第6章 第6节　数学归纳法.doc

第六节数学归纳法考纲传真(教师用书独具)1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题(对应学生用书第101页)基础知识填充1数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立2数学归纳法的框图表示基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项()(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223()答案(1)(2)(3)(4)(5)2已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2，且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()Ank1时等式成立Bnk2时等式成立Cn2k2时等式成立Dn2(k2)时等式成立Bk为偶数，则k2为偶数3在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于()A1 B2C3D0C因为凸n边形最小为三角形，所以第一步检验n等于3，故选C4(教材改编)已知an满足an1anan1，nN*，且a12，则a2_，a3_，a4_，猜想an_.答案345n15用数学归纳法证明：“11)”由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项的项数是_2k当nk时，不等式为1k.则nk1时，左边应为1，则左边增加的项数为2k112k12k.(对应学生用书第102页)用数学归纳法证明等式设f(n)1(nN*)求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)证明(1)当n2时，左边f(1)1，右边21，左边右边，等式成立(2)假设nk(k2，kN*)时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，当nk1时结论仍然成立由(1)(2)可知：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)规律方法数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.(2)注意点：由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程.易错警示：不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.跟踪训练求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*). 【导学号：97190216】证明(1)当n1时，等式左边2，右边2，故等式成立；(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，那么当nk1时，左边(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1)，所以当nk1时等式也成立根据(1)(2)可知，对所有nN*等式成立用数学归纳法证明不等式(2017武汉调研)等比数列an的前n项和为Sn.已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0，且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*)证明：对任意的nN*，不等式成立解(1)由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0，且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列，又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)证明：由(1)知an2n1，因此bn2n(nN*)，所证不等式为.当n1时，左式，右式，左式右式，所以结论成立假设nk时结论成立，即，则当nk1时，要证当nk1时结论成立，只需证，即证，由基本不等式可得成立，故成立，所以当nk1时，结论成立根据可知，nN*时，不等式成立规律方法用数学归纳法证明不等式的适用范围与关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)关键：用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时命题成立，证明nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.即一凑归纳假设，二凑证题目标.(3)特别注意：证nk1时，知nk时命题的结构特点需增加或减少多少项.跟踪训练(2017浙江高考节选)已知数列xn满足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*)证明：当nN*时，0xn10.当n1时，x110.假设nk时，xk0，那么nk1时，若xk10，则00.因此xn0(nN*)所以xnxn1ln(1xn1)xn1.因此0xn1xn(nN*)归纳猜想证明已知正项数列an中，对于一切的nN*均有aanan1成立(1)证明：数列an中的任意一项都小于1；(2)探究an与的大小关系，并证明你的结论解(1)由aanan1得an1ana.在数列an中，an0，an10，ana0，0an1，故数列an中的任何一项都小于1.(2)由(1)知0a11，那么a2a1a，由此猜想an.下面用数学归纳法证明：当n2，且nN*时猜想正确当n2时已证；假设当nk(k2，且kN*)时，有ak成立，那么，ak1aka，当nk1时，猜想正确综上所述，对于一切nN*，都有an.规律方法解决“归纳猜想证明”问题的一般思路：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.易错警示：猜想an的通项公式时应注意两点：(1)准确计算a1，a2，a3发现规律(必要时可多计算几项)；(2)证明ak1时，ak1的求解过程与a2，a3的求解过程相似，注意体会特殊与一般的辩证关系.跟踪训练(2017常德模拟)设a0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你