平面的基本性质与推论

点线面之间的位置关系 康成中学高一数学组 1 2 1平面的基本性质与推论 平面图形与立体图形比较 点 线 面的表示 1 字母表示 点 元素 大写字母A B C D 直线 点的集合 小写英文字母平面 点的集合 用希腊字母或用平行四边形ABCD相对两字母表示 即AC 2 点 线 面之间的关系表示用集合中的关系符号元素与集合关系 集合与集合关系 平面的特征 2 无限延展性 3 没有厚度 1 平展性 平面的画法 通常用平行四边形来表示平面 平面的表示 通常用希腊字母 等表示平面 或用表示平面的多边形的顶点字母来表示 如平面ABC 三种语言转换 点P在直线AB上点Q不在直线AB上 点M在平面AC内点A1不在平面AC内 直线AB与直线BC交于点B 直线l和平面 交于A 平面 和平面 交于直线l 直线AB在平面AC内直线AA1不在平面AC内 正方体的各顶点如图所示 正方体的三个面所在平面 分别记作 试用适当的符号填空 练一练 6 平面A1C1CA 平面D1B1BD A1 B1 C1 D1 O1 A B C D O oo1 平面基本性质 公理1 1 文字语言 若一条直线上的两点在同一个平面内 则这条直线上所有的点都在这个平面内 3 图形语言 平面的基本性质 基本性质2 过一点可以做几条直线 两点呢 过平面内一点可以做几个平面 两点呢 三点呢 平面基本性质 基本性质2 1 文字语言 经过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面 3 图形语言 平面基本性质 基本性质3 1 文字语言 如果不重合的两个平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过这个点的公共直线 3 图形语言 两个相交平面的画法 推论2经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论3经过两条平行直线 有且只有一个平面 b a a b 推论1经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 二 平面的基本性质的推论 课本练习A 思考与讨论 已知两条直线相交 过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线 这些平行线是否都共面 为什么 例题讲解 例题讲解 1 下面是一些命题的叙述语 A B表示点 a表示直线 表示平面 A A B AB B a a a 其中命题和叙述方法都正确的是 练习 D 2 下列推断中 错误的是 D A B C A B C 且A B C不共 C 例题讲解 例3两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内 已知 AB AC A AB BC B AC BC C 求证 直线AB BC AC共面 证法一 因为AB AB A 所以直线AB AC确定一个平面 推论2 因为B AB C AC 所以B C 故BC 公理1 因此直线AB BC CA共面 证法二 因为A 直线BC上 所以过点A和直线BC确定平面 推论1 因为A B BC 所以B 故AB 同理AC 所以AB AC BC共面 证法三 因为A B C三点不在一条直线上 所以过A B C三点可以确定平面 公理3 因为A B 所以AB 公理1 同理BC AC 所以AB BC CA三直线共面 要证各线共面 先确定一个平面 再证明其他直线也在这个平面内 例4已知三角形ABC的三条边AB BC AC与平面 分别交于P Q R 求证 P Q R共线 B A Q R C P 证明 同理Q R也为公共点 所以P Q R共线 要证明各点共线 只要证明他们是两个平面的公共点 小结 掌握利用平面的基本性质证明诸点共面 诸线共面 三点共线 三线共点问题的一般方法 1 证明若干点或直线共面通常有两种思路 1 先由部分元素确定若干平面 再证明这些平面重合 2 先由部分元素确定一个平面 再证明其余元素在这平面内 2 证明三点共线 通常先确定经过两点的直线是某两个平面的交线 再证明第三点是这两个平面的公共点 即该点分别在这两个平面内 3 证明三线共点 通常先证其中