带电粒子在匀强磁场中的运动

带电粒子在磁场中运动问题的常见问题 临界 极值及多解问题 带电粒子在有界磁场中运动的临界 极值问题 1 解决此类问题的关键是 找准临界点 2 找临界点的方法是 以题目中的 恰好 最大 最高 至少 等词语为突破口 借助半径R和速度v 或磁场B 之间的约束关系进行动态运动轨迹分析 确定轨迹圆和边界的关系 找出临界点 然后利用数学方法求解极值 3 常用结论如下 1 刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切 2 当速度v一定时 弧长 或弦长 越长 圆心角越大 则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长 如图 真空室内存在匀强磁场 磁场方向垂直于纸面向里 磁感应强度的大小B 0 60T 磁场内有一块平面感光板ab 板面与磁场方向平行 在与ab的距离L 16cm处 有一个点状的放射源S 它向各个方向发射 粒子 粒子的速度都是v 3 0 x106m s 已知 粒子的电荷与质量之比q m 5 0 x107C kg现只考虑在图纸平面中运动的 粒子 求ab上被 粒子打中的区域的长度 s a b P1 P2 N L 旋转圆 2010 全国1 如图2 在0 x a区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场 磁感应强度的大小为B 在t 0时刻 一位于坐标原点的粒子源在xOy平面内发射出大量同种带电粒子 所有粒子的初速度大小相同 方向与y轴正方向的夹角分布在0 180 范围内 已知沿y轴正方向发射的粒子在t t0时刻刚好从磁场边界上P 3a a 点离开磁场 求 1 粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q m 2 此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围 3 从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间 tm 2t0 在真空中 半径r 3 10 2m的圆形区域内有匀强磁场 方向如图所示 磁感强B 0 2T 一个带正电的粒子 以初速度v 106m s从磁场边界上直径ab的一端a射入磁场 已知该粒子的比荷 108C kg 不计粒子重力 求 1 粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径是多少 2 若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角 求入射时v方向与ab的夹角 及粒子的最大偏转角 解 1 带电粒子射入磁场后做匀速圆周运动 由洛伦兹力提供向心力 根据牛顿第二定律得qvB m得 R 5 10 2m 2 粒子在磁场偏转角越大 圆心角越大 而粒子的速度大小一定时 轨迹半径是一定的 当轨迹对应的弦在最大时 轨迹所对应的圆心角最大 偏转角即最大 根据几何知识得知 当粒子从b点射出磁场时 此时轨迹的弦最长 恰好等于圆形区域的直径 则有sin 得 37 由几何知识得 偏转角 2 74 缩放圆 带电粒子在磁场中运动的多解问题 带电粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的问题一般有多解 形成多解的原因有 磁感应强度是矢量 如果题设只给出磁感应强度的大小 而未指出其方向 此时要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解 2 磁场方向不确定 受洛仑兹力作用的带电粒子 可能带正电 也可能带负电 当具有相同初速度时 正负粒子在磁场中的运动轨迹不同 导致形成双解 1 带电粒子电性不确定 一质量为m 电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动 若磁场方向垂直于它的运动平面 且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的3倍 则负电荷做圆周运动的角速度可能是 A B C D 当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时 根据牛顿第二定律可知 得 此种情况下 负电荷运动的角速度为 当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时 得 此种情况下 负电荷运动的角速度为 应选A C 3 临界状态不唯一形成多解 例3 如图甲所示 A B为一对平行板 板长为l 两板距离为d 板间区域内充满着匀强磁场 磁感应强度大小为B 方向垂直纸面向里 一个质量为m 带电量为 q的带电粒子以初速v0 从A B两板的中间 沿垂直于磁感线的方向射入磁场 求v0在什么范围内 粒子不会打在极板上 带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时 由于粒子运动轨迹是圆弧状 因此穿越磁场的轨迹可能有多种情况 r1 d 4 4 运动的重复性形成多解 例题1 例题2 变式题1 如图6 3 2所示 在空间中有一坐标系Oxy 其第一象限内充满着两个匀强磁场区域 和 直线OP是它们的边界 区域 中的磁感应强度为B 方向垂直纸面向外 区域 中的磁感应强度为2B 方向垂直纸面向内 边界上的P点坐标为 4L 3L 一质量为m电荷量为q的带正粒子从P点平行于y轴负方向射入区域 经过一段时间后 粒子恰好经过原点O 忽略粒子重力 已知sin37 0 6 cos37 0 8 求 图6 3 2 1 粒子从P点运动到O点的时间至少为多少 2 粒子运动的周期 3 粒子的速度大小可能是多少 解析 1 设粒子的入射速度为v 用R1 R2 T1 T2分别表示粒子在磁场 区和 区中运动的轨道半径和周期 则qvB m qv2B mT1 T2 粒子先在磁场 区中做顺时针的圆周运动 后在磁场 区中做逆时针的圆周运动 然后从O点射出 这样粒子从P点运动到O点所用的时间最短 粒子运动轨迹如图所示 tana 0 75 得 37 90 粒子在磁场 区和 区中的运动时间分别为t1 T1t2 T2粒子从P点运动到O点的时间至少为t t1 t2由以上各式解得t 2 粒子运动的周期 T 3 粒子的速度大小满足一定条件时 粒子先在磁场 区中运动 后在磁场 区中运动 然后又重复前面的运动 直到经过原点O 这样粒子经过n个周期性的运动直到过O点 每个周期的运动情况相同 粒子在一个周期内的位移为x n 1 2 3 粒子每次在磁场 区中运动的位移为x1 x x由图中几何关系可知 cosa由以上各式解得粒子的速度大小为v n 1 2 3 变式题2 如图6 4 2所示 直线MN下方无磁场 上方空间存在两个匀强磁场 其分界线是半径为R的半圆 两侧的磁场方向相反且垂直于纸面 磁感应强度大小都为B 现有一质量为m 电荷量为q的带负电微粒从P点沿半径方向向左侧射出 最终打到Q点 不计微粒的重力 求 1 微粒在磁场中运动的周期 2 从P点到Q点 微粒的运动速度大小及运动时间 解析 1 洛伦兹力提供向心力Bv0q mT T 2 粒子的运动轨迹将磁场边界分成n等分 n 2 3 4 如右图1 2 3所示 由几何知识可得 tan Bv0q m得v0 tan n 2 3 4 当n为偶数时 由对称性可得t T n 2 4 6 当n为奇数时 t为周期的整数倍加上第一段的运动时间 即t T T n 3 5 7 变式题3 如图所示 空间某平面内有一条折线是磁场的分界线 在折线的两侧分布着方向相反 与平面垂直的匀强磁场 磁感应强度大小都为B 折线的顶角 A 90 P Q是折线上的两点 AP AQ L 现有一质量为m 电荷量为q的带负电微粒从P点沿PQ方向射出 不计微粒的重力 求 1 若P Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场 能使速度为v0射出的微粒沿PQ直线运动到Q点 则场强为多大 2 撤去电场 为使微粒从P点射出后 途经折线的顶点A而到达Q点 求初速度v0应满足什么条件 3 求第 2 中微粒从P点到达Q点所用的时间 由电场力与洛伦兹力平衡得 qE qv0B得 E v0B 3分 根据运动的对称性 微粒能从P点到达Q点 应满足 其中x为每次偏转圆弧对应的弦长 偏转圆弧对应的圆心角为或 设圆弧的半径为R 则有2R2 x2 可得 n 1 2 3 当n取奇数时 微粒从P到Q过程中圆心角的总和为 其中n 1 3 5 当n取偶数时 微粒从P到Q过程中圆心角的总和为 其中n 2 4 6 变式题4 如图19所示 在直线MN右侧正方形ABCD区域内 外分布着方向相反且与平面垂直的匀强磁场 和 磁感应强度的大小都为B 正方形边长为L AB边与直线MN方向夹角为450 现有一质量为m 电荷量为q的带负电的微粒通过小孔O进入PQ与MN间的加速电场区域 进入时可认为初速度为零 微粒经电场加速后从正方形ABCD区域内的A点进入磁场 微粒进入磁场的速度垂直MN 也垂直于磁场 不计微粒的重力 1 若微粒进入磁场的速度为v 则加速电场的电压为多大 2 为使微粒从A点进入磁场后 途经B点或D点到达C点 求微粒刚进入磁场时的速度v应满足什么条件 3 求 2 问中微粒从A点到达C点所用的时间 小结 1 带电粒子进入有界磁场 运动轨迹为一段弧线 2 当同源粒子垂直进入磁场的运动轨迹 3 注意圆周运动中的有关对称规律 2 粒子进入单边磁场时 入射速度与边界夹角等于出射速度与边界的夹角 1 在圆形磁场区域内 沿径向射入的粒子 必沿径向射出 1 带电粒子电性不确定形成多解 受洛仑兹力作用的带电粒子 可能带正电 也可能带负电 当具有相同初速度时 正负粒子在磁场中的运动轨迹不同 导致形成双解 1 若粒子带负电 若粒子带正电 2 若粒子带负电 它从O到A所用的时间为 若粒子带正电 它从O到B所用的时间为 练1一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B 方向垂直纸面向里的匀强磁场 矩形区域的左边界ad宽为L 现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子 速度大小为v0 方向与ad边夹角为30 如图所示 已知粒子的电荷量为q 质量为m 重力不计 1 若粒子带负电 且恰能从d点射出磁场 求v0的大小 2 若粒子带正电 使粒子能从ab边射出磁场 求v0的取值范围以及粒子在磁场中运动时间t的范围 解 1 粒子带负电 由图可知 R L 2 据 则 2 当v0最大时 得R1 L 则 当v0最小时 得R2 L 3 则 带电粒子从ab边射出磁场 当速度为时 运动时间最短 速度为vmin时运动时间最长 粒子运动时间t的范围 练2 如图所示 现有一质量为m 电量为e的电子从y轴上的P 0 a 点以初速度v0平行于x轴射出 为了使电子能够经过x轴上的Q b 0 点 可在y轴右侧加一垂直于xOy平面向里 宽度为L的匀强磁场 磁感应强度大小为B 该磁场左 右边界与y轴平行 上 下足够宽 图中未画出 已知 L b 试求磁场的左边界距坐标原点的可能距离 结果可用反三角函数表示 解 设电子在磁场中作圆周运动的轨道半径为r 则 解得 当r L时 磁场区域及电子运动轨迹如图1所示 由几何关系有 则磁场左边界距坐标原点的距离为 其中 当r L时 磁场区域及电子运动轨迹如图2所示 由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为 解得 针对训练1 1 2010年课标全国卷 如图所示 在0 x a 0 y 范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场 磁感应强度大小为B 坐标原点O处有一个粒子源 在某时刻发射大量质量为m 电荷量为q的带正电粒子 它们的速度大小相同 速度方向均在xOy平面内 与y轴正方向的夹角分布在0 90 范围内 已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a 2到a之间 从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一 求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 1 速度的大小 2 速度方向与y轴正方向夹角的正弦 2009年福建卷 22 如图所示为可测定比荷的某装置的简化示意图 在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场 磁感应强度大小B 2 0 10 3T 在x轴