体能测试的数学建模

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：浙江同济科技职业学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 吴泓学 2. 章鹏飞 3. 胡玉兰 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 数学建模教学组 日期： 2012 年 07 月 04 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：13目录摘要：1一、问题重述2二、问题分析3三、模型假设4四、符号说明4五、模型建立及求解4六、给学校的建议11七、模型评价11八、附录：12体能测试时间安排模型摘要：体能测试作为衡量学生身体健康素质的指标测试，建立一个合理的指标测试方案将对改进学校机器设备管理以及学校的人员安排具有重大意义，为学校节约人力资源，同时也使得学生在最优时间内完成体能测试项目，节省时间资源，为此，我们通过运用LINGO程序和MATLAB编写程序进行程序求解，制定合理体能测试方案。首先，我们根据机器测试的时间和机器台数求得所需总时间段数至少为4段。在同一个班级人数不进行分组的前提下，将56个班级划分为18个小组（一个小组3个班），再将人数最多的班级分为2个组，计算出每个小组测试完所有项目所需的时间。然后建立EXCEL- VBA规划模型或或0-1规划模型，将这20个小组的时间段放入每天的两个测试时间段内，使得全部放完这20个小组的时段所需要的总测试时间段数最少，并求得最少测试时间段数恰好为至少4段。其次，为了节省学生等待时间，我们将每个班级人数进行分组，每组为20人，共分成102组。由于这20人最多来自两个不同的班级，我们求得完成20人的时间只可能为425秒、430秒、435秒这三种情况。这样将原来问题转化为怎样用最少时间段数放入102个435秒。通过求解分析得到的时间段数为4段，等待时间最长的同学仅需等待2.6分钟，从而说明了分组的必要。最后，通过程序分析给出了每项测试的人均时间应该相等的结论，以及用来配置机器的台数，并讨论得出场地容量对所需时段和等待时间的影响。关键词： 等待时间 高斯函数 时间等级 分组 一、 问题重述每个学校都可以通过体能测试来了解各个学生的身体状况，以此设置相应的体育锻炼课程，增强学生的体质。某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试，以了解学生的身体状况。测试项目、测试仪器及每个学生的平均测试时间如下图表1。在测试时，每个学生测试每个项目前都要录入个人学号，平均需时5秒。仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位，若前后测试的学生的学号相连，则可省去录入时间，且同一班学生的学号是相连的。学校安排每天测试的两个时间段为8：0012：10与13：3016：45。五项测试的场所最多能容纳150个学生，且测试项目没有固定的先后顺序。参加体能测试的各班人数见下表2。学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试，并且在整个测试所需时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题，给出该数学问题的算法，尽量用清晰、直观的图表形式为学校工作人员及各班学生表示出测试时间的安排计划，并且说明该计划怎样满足学校的上述要求和条件。最后，请对学校以后的体能测试就以下方面提出建议，并说明理由：如引进各项测量仪器的数量；测试场所的人员容量；一个班的学生是否需要分成几个组进行测试等。 表1 测量仪器数量及所用时间测试项目测量仪器（台）仪器的单位测试时间（秒）每人所用时间（秒）身高与体重310(每人)3.333333333立定跳远120(每人)20肺活量120(每人)20握力215(每人)7.5台阶试验2210(每5人)21 表2 体能测试的各班人数 班号123456789101112131415人数414544442644422020383725454545班号161718192021222324252627282930人数442030393538382825303620243233班号313233343536373839404142434445人数413351392020443738394240375050班号4647484950515253545556人数4243414245421939751717二、 问题分析针对问题一，为使整个测试所需时间段最小和学生等待时间最短，我们通过对机器台数、每个项目测试时间和场地容量等因素的分析计算，我们将56个班级总人数划分成20个小组，其中最后2个班级单独分为两个小组。并且，每个小组内的班级人数尽可能的比较接近，这样来减少学生等待的时间。通过程序分析计算得出每个小组测试所需要的最少时间，然后将20个小组的时间段进行合理组合，以便得到最少的时间段数能包含这所有的20个时间段。针对问题二，在问题一的基础上，保证时间段数最少的情况下，当考虑每组内学生之间的录入时间时，由于每个仪器录入学号的平均需时为5秒，如果前后测试的学生学号相连就可省去录入时间，故在测试时尽量减少录入时间就要使每组学生的学号相连，以达到录用时间最少的效果，所以我们将同一班级人数进行合理的分组。如下图所示： 台阶测试1210秒握力测试仪 15秒/人（二台）立定跳远 20秒/人（一台）。身高与体重10 秒/人（三台）台阶测试2210秒肺活量20秒/人（一台）五名 五名 图1体能测试示意图针对问题三，综合考虑问题一二，在问题一二的程序上，我们对数据进行合理的改动，从而比较得出最佳测量仪器数量；测量场所人员容量，班级的分组情况等。三、 模型假设1、在测试过程中各个测试仪器都能正常工作；2、每个学生在转换测试项目时所用的时间不计；3、每个班级在安排测试的时间前都能保证到达测试地点；4、学生在测试完所有项目测试后能迅速离开，并不再占用场所空间；5、测试不受天气等各种因素的影响；6、台阶试验测试仪在测试人数不足5人时也可进行测试；7、忽略人员进入和离开测试场地所用时间；四、 符号说明1、把身高与体重、立定跳远、肺活量、握力、台阶实验测试分别称为A、B、C、D、E项测试；2、第轮测试所花费的时间；3、第个班级。4、第个班级的人数5、表示第个组合所需时间。6、表示第个时间段长度五、 模型建立及求解由于56个班级的总人数为2036，假设每台机器不停止工作，所有人完成A测试至少需要2036103+565=7066.67（s）。同理可得所有人完成B、C、D、F项测试至少需要的时间分别为41000、41000、15550、43036秒。那么，至少需要43036秒才能让所有人完成全部的测试项目。由于时间段长上午为15000秒、下午11700秒，因此至少需要2天4个时间段才能完成所有人的测试项目，即时间段的下届为4段。在不对单个班级进行分组的前提下，由于第五项每次可以测5名学生，且有两台机器，则对不同班级的总人数，用matlab编程求得图形（见附录一）可得班级人数与测试完台阶所需人数与时间的对照：班级人数为x1时测试台阶实验所需时间计算公式为：t=*210+5 定义：在只进行第五项测试时，把所有人数可能不同但测试完第五项所需时间相同的班级称为一个时间等级。例如：班级人数为25和35的两个班级分别做完第五项测试所用时间均为635秒，那么按照，这两个班级为同一时间等级。命题1：假设同一班级的人数不在进行分组，若每次同时进入测试场地的班级数为3，且每个班级的人数不小于17人时，那么有：同时进入场地的3个班级全部完成B项、C项、E项测试所需时间与这3个班级完成所有五项测试所需时间相同。证明： 假设同时入场的班级分别为,其人数分别为.（1） 现让这三个班级分别去做第B、C、E项测试，这三个班级都已经完成各自的测试称为第一轮；（2） 第一轮测试完成后，让班去做第C项测试，让班去做E项测试，让班去做B项测试，这三个班级都已经完成各自的测试称为第二轮；（3） 第二轮结束后，依次类推，让班去做E项测试，让班去做B项测试，让班去做C项测试，这三个班级都已经完成各自的测试称为第三轮。B项测试C项测试E测试第一轮第二轮第三轮在第一轮中，班的第一个学生在做完B项测试后，该同学完全可以利用等待该班第二位同学的B项测试的时间去进行A项测试（共需要10+5秒），而当他测试完B时，班第二位同学依然在进行B项测试，而此时班的第一个同学再去做D项测试，由于班的人数不小于17，因此班还有部分同学尚未完成第B项测试。班的第二个同学完全按照该班第一个同学的路线进行，以此类推。那么该班级除了后两位同学，其余均可以在n1班全部测完B项之前，也完成A、E项的测试。倒数后两位可以在第二轮开始，即n1进行C项测试时，离开n1班队列去做完A、D项测试，然后回到对列继续等待C项测试。由于B项测试的机器为三台，D项测试的机器为二台，完全足够，并且在第一轮中和班分别做B、C项的时间均为20秒每人，班的同学的路线与班相似。对于班也可以在第一、二、三轮测试的间隙完成A、B的测试。另外B、C测试需要20秒，而E测试序言210秒，但可以同时测试5人且有2台机器，那么人均耗时约为21秒。并有以上的命题讨论我们知道若三个班级的人数相差不大，则比较节约时间，因此我讲56个班级分组，每组的班级同时入场。表3组号班级编号对应的人数第1组（52 55 56）（19 17 17）第2组（27 35 36）（20 20 20）第3组（8 9 17）（20 20 20）第4组（12 24 28）（25 25 24）第5组（25 23 5）（30 28 26）第6组（32 29 18）（33 32 30）第7组（26 20 30）（36 35 33）第8组（11 38 43）（37 37 37）第9组（21 22 39）（38 38 38）第10组（40 53 10）（39 38 38）第11组（42 19 34）（40 39 39）第12组(1 31 48)(41 41 41)第13组（46 49 51）（42 42 42）第14组（47 7 41）（43 42 42）第15组（6 16 37）（44 44 44）第16组（4 3 50）（44 44 45）第17组（13 14 15）（45 45 45）第18组（2 45 44）（45 50 50）第19 组（54）（25 25 25）第20组（33)（17 17 17）按照表3，可以分一下两种情况讨论：情况一：若该组中的三个班级人数为x1、x2、x3均处于同一时间等级，则完成第一轮测试所需时间为： =210+5 （这里是上取整数函数）； 这是因为若班级人数x1 x2 x3处于同一时间等级，则显然有： 20210；再加上第一位同学录入学号的5秒，则完成第一轮总共所需时间为： =210+5同理可得第二、三轮时间分别为=210+5和=210+5;则完成三轮测试所需的时间为： =+=+15 （1）由上面的分组我们可以知道除了第7、19两组，其他分组均出在同一时间等级，可按照上述（1）式计算完成时间（结果见表5）情况二：若三个班级不全处于同一时间等级，则由于人数不同有多种情况出现，具体情况时具体计算这里不给出计算公式。表3中有两组的班级不同一时间等级，这两组为第6组和第19组。现在分别计算器完成时间：表 4 第二项测试第三项测试第五项测试每轮测试所需要的时间（秒）班级编号（人数）所需时间（秒）班级编号（人）所需时间（秒）班级编号（人）所需时间（秒）第一轮26（36）72520(35)70530(33)845845第二轮30(33)66526（36）72520(35)845845第三轮20(35)70030(33)66526（36）10551055由表4得完成三轮测试所需的总时间T=845+845+1055=2745秒。同理可得第19组完成三轮测试所需的总时间T=4695秒。表组号班级编号对应的人数测试所需时间第1组（52 55 56）（19 17 17）1275第2组（27 35 36）（20 20 20）1275第3组（8 9 17）（20 20 20）1275第4组（12 24 28）（25 25 24）1905第5组（25 23 5）（30 28 26）1905第6组（32 29 18）（33 32 30）1905第7组（26 20 30）（36 35 33）2745第8组（11 38 43）（37 37 37）2535第9组（21 22 39）（38 38 38）2535第10组（40 53 10）（39 38 38）2535第11组（42 19 34）（40 39 39）2535第12组(1 31 48)(41 41 41)3165第13组（46 49 51）（42 42 42）3165第14组（47 7 41）（43 42 42）3165第15组（6 16 37）（44 44 44）3165第16组（4 3 50）（44 44 45）3165第17组（13 14 15）（45 45 45）3165第18组（2 45 44）（45 50 50）3165第19 组（54）（25 25 25）1590第20组（33)（17 17 17）1086现在问题转化为：将上述19个时间按照某种组合方式全部填入每天的两个时间段，从而使得所需的总时间段数最少。设表示所需的时间段总数，表示表5中第个组合所需时间，表示第个时间段长度，其中=1，2，.19；=1，2，.显然有：=，进一步假设0-1变量:=，其中=1，2，.19；=1，2，.即得到0-1规划模型一：min , =1; =1,2,.,19; ; =1，2，.上述模型中：第一个约束表示每个组能且只能安排在某一时段;第二个约束表示安排进任一时段的所有组的测试总时间必不大于该时段长度。解得结果如下见表6：表6 组号班级号班级人数测试时间安排第一天上午第1组（52 55 56）（19 17 17）8:00:008:21:15第4组（12 24 28）（25 25 24）8:21:158:53:00第8组（11 38 43）（37 37 37）8:53:009:35:15第9组（21 22 39）（38 38 38)9:35:1510:17:30第12组(1 31 48)(41 41 41)10:17:3011:10:15第13组（46 49 51）（42 42 42）11:10:1511:53:00下午第2组（27 35 36）（20 20 20）13:30:0013:51:15第3组（8 9 17）（20 20 20）13:51:1514:12:30第7组（26 20 30）（36 35 33）14:12:3014:58:15第14组（47 7 41）(43 43 42)14:58:1515:51:00第15组（6 16 37）（44 44 44）15:51:0016:43:45第二天上午第6组（32 29 18）(33 32 30)8:00:008:31:45第10组（40 53 10）（39 38 38）8:31:459:14:00第11组（42 19 34）（40 39 39）9:14:009:46:15第16组（4 3 50）（44 44 45）9:46:1510:39:00第17组（13 14 15）（45 45 45）10:39:0011:31:45第19组（54）（25 25 25）11:31:4511:58:15下午第5组（25 23 5）（30 28 26）13:30:0014:01:45第18组（2 45 44）（45 50 50）14:01:4514:54:30第20组（33）（17 17 17）14:54:3015:12:36由结果可知整个测试所需时间段数最少为4段。由于已知所需时段的下限也是4，故以上结果为最优方案。对于以上的方案，基于假设2、3、4，每个组最后一名离开的同学（在该组中等待时间最长）等待时间完全由分组情况决定，与该组进入次序无关。当班级人数较多时，若不对同一个班级的学生分组会使得学生的等待时间较长。为了减少学生的等待时间，可以将同一个班级人数予以分组进入场地进行测试。现在考虑对同一班级学生进行分组的情况。命题2：若每次同时进入场地的人数为20人为最优人数（证明见附录二），且这20人学号顺序相连，则完成这20人全部的5项测试最少需要425秒，且可以达到425秒。证明：首先证明至少425秒。因为即使不考虑其他4项，只做完第五个项目，这20人就需要425秒（见表1）。其次证明可以达到425秒。我们假设这20人的学号次序为从1到20，则让学号为1到5的学生测试第一台台阶试验机，与此同时学号为6到10的同学测试第二台台阶实验机，让学号为11到15的同学测试肺活量，让学号为16到20的学生测试立定跳远，。如第一轮下图所示：台阶测试1台阶测试2 肺活量 立定跳远 学号12345学号678910学号1112131415学号1617181920这样1115号与1620号同时测完（都用了105秒）。两个交换测试项目每次同时测完(都用了105秒)，这两轮共用了210秒，而测试台阶的两个组由于要用215秒，因此第二轮进行台阶实验测试的组还在继续测试。过程如第二轮下图所示：台阶测试1台阶测试2 肺活量 立定跳远 学号12345学号678910学号1617181920学号1112131415 610，1620这两组在等待了5秒后有同时去做台阶实验测试，由于学号刚好能衔接，不需要输入学号时间。做完台阶实验测试的两组去做剩余项的测试。过程如下图所示：台阶测试1台阶测试2 肺活量 立定跳远 学号1617181920学号1112131415学号12345学号678910这样4组恰好同时离开，总共所需时间为：215+210=425. 这里指出，这4个组完成身高体重测试、握力测试均是利用间隙时间完成（讨论类似于命题1）。 若进入的20人来自两个不同班级，但来自同一班级的学生学号相连。对于这种情况我们给出命题3：若进入20人来自两个不同班级，但来自同一班级的学生学号相连。这时测试完这20人只需要430或435秒。命题3的证明类似于命题2，需要430还是435秒取决于两个班学生的衔接位置。由命题2、3我们发现同时入场的20人至多来自两个不同的班级，时间至多需要435秒。这样将所有班级人数以20为单位划分，不足的部分下一个班级的前几位同学自动衔接。这样远问题等价于长度为435秒的小段去填上、下午的测试时间段，使得总时间段数最少。按照以上方法，我们将这56个班级划分成102组，我们得到了体能测试方案。在这种情况下，按照论文模型假设中的3、4，所有同学中等待时间最长的仅等待了435-275=160秒（约2.6分钟）。这样在保证所用时间段仍为4个的前提下，通过