观察与猜想　看图时的错觉

5 1相交线 5 1 1相交线 直线AB CD相交于点O 如果两条直线有一个公共点 就说这两条直线相交 公共点叫做这两条直线的交点 握紧把手时 随着两个把手之间的角逐渐变小 剪刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片 如果把剪刀的构造看作两条相交的直线 这就关系到两条相交直线所成的角的问题 请你画出任意两条相交直线 用量角器量一量4个角的度数 看看这四个角有什么关系 问题 两条相交直线 形成的小于平角的角有几个 任意画两条相交直线 在形成的四个角 如图 中 两两相配共组成几对角 各对角存在怎样的位置关系 讨论 3 1 2 4 1和 2 4 2和 和 和 1 4 3 4 3 1和 3 和 2 O A B C D 1 3 4 2 O A B C D 1 3 4 2 有关概念 邻补角 如果两个角有一条公共边 它们的另一边互为反向延长线 那么这两个角互为邻补角 对顶角 如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线 那么这两个角互为对顶角 练习1 BOD DOE AOC和 BOD 1 如图所示 三条直线AB CD EF相交于一点O AOC的对顶角是 COF的对顶角是 COB的邻补角是 2 三条线相交于一点时共有几对对顶角 几对邻补角 对顶角 2 3 6 邻补角 4 3 12 1 练习1 下列各图中 1 2是对顶角吗 为什么 2 1 2 1 2 1 练习2 下列各图中 1 2是邻补角吗 为什么 2 1 2 1 2 对顶角的性质 对顶角相等 O A B C D 1 3 4 2 为什么 已知 直线AB与CD相交于O点 如图 求证 1 3 2 4 证明 直线AB与CD相交于O点 1 2 180 2 3 180 1 3 同理可得 2 4 2 180 1 180 40 解 由邻补角的定义 可得 140 由对顶角相等 可得 若 1 求各角的度数 若 m 求各角的度数 例题讲解 例1 如图 直线a b相交 1 40 求 2 3 4的度数 例2 如图 若 1 2 2 7 求各角的度数 解 设 1 2x 则 2 7x 根据邻补角的定义 得2x 7x 180 x 20则 1 40 2 140 根据对顶角相等 得 3 40 4 140 解答题 三条直线a b c相交于O点 1 40 2 30 求 3的度数 解 4 2 30 对顶角相等 3 180 4 1 180 30 40 110 补角定义 看谁做得棒 已知 直线AB CD相交于O点 OA平分 EOC EOC 70 求 BOD和 BOC的度数 解 OA平分 EOC EOC 70 已知 AOC 35 角平分线定义 BOD AOC 35 对顶角相等 BOC 180 AOC 108 35 145 邻补角定义 达标测试 一 判断题1 有公共顶点且相等的两个角是对顶角 2 两条直线相交 有两组对顶角 3 两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角 那么其余的三个角也是直角 二 选择题1 如右图直线AB CD交于点O OE为射线 那么 A AOC和 BOE是对顶角 B COE和 AOD是对顶角 C BOC和 AOD是对顶角 D AOE和 DOE是对顶角 2 如右图中直线AB CD交于O OE是 BOC的平分线且 BOE 50度 那么 AOE 度 A 80 B 100 C 130 D 150 A B C D O E C C 1 一个角的对顶角有个 邻补角最多有个 而补角则可以有个 一 两 无数 三 填空题 2 右图中 AOC的对顶角是 邻补角是 DOB AOD和 COB 3 若 1与 2是对顶角 1 160 则 2 0 若 3与 4是邻补角 则 3 4 0 4 若 1与 2为对顶角 1与 3互补 则 2 3 0 5 如图1 2与 3互为邻补角 1 2 则 1与 3的关系为 图1 16 180 180 互补 归纳小结 对顶角相等 邻补角互补 有公共顶点 没有公共边 两条直线相交形成的角 两条直线相交而成 有公共顶点 有一条公共边 都是两条直线相交而成的角 都是成对出现的 都有一个公共顶点 两直线相交时 对顶角只有两对邻补角有四对 有无公共边 5 1 2垂线 入水姿势 特殊情况 复习 B A C D O 1 2 3 4 在相交线的模型中 固定木条a 转动木条b 当 90 时 a与b垂直 当b的位置变化时 a b所成的角 也会发生变化 当 90 时 a与b不垂直 叫斜交 两条直线相交 斜交 垂直 垂直是相交的特殊情况 a b b b b b 观察与思考 1 垂直定义 当两条直线相交所成的四个角中 有一个角是直角时 这两条直线互相垂直 其中一条直线叫另一条直线的垂线 它们的交点叫垂足 例如 如图 a b互相垂直 O叫垂足 a叫b的垂线 b也叫a的垂线 从垂直的定义可知 判断两条直线互相垂直的关键 只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角 一 垂直的定义 日常生活中 两条直线互相垂直的情形很常见 说出图5 1 6中的一些互相垂直的线条 你能再举出其他例子吗 十字路口的两条道路 围棋盘的横线和竖线 铅垂线和水平线 图1 图4 图3 图2 b a 1 图形 O 2 文字 a b互相垂直 垂足为O 3 符号 a b或b a 若要强调垂足 则记为 a b 垂足为O 2 垂直的表示 A B C D O 书写形式 如图 当直线AB与CD相交于O点 AOD 90 时 AB CD 垂足为O 判定 AOD 90 已知 AB CD 垂直的定义 书写形式 反之 若直线AB与CD垂直 垂足为O 那么 AOD 90 性质 AB CD 已知 AOD 90 垂直的定义 AOC BOC BOD 90 3 垂直的书写形式 练习1 两条直线相交所成的四个角中 下列条件中能断定两条直线垂直的是 A 有一个角为90 B 有两个角相等 C 有三个角相等 D 有四个角相等 E 有四对邻补角 F 有一对对顶角互补 G 有一对邻补角相等 H 有两组角相等 ACDFG 练一练 如图 已知直线AB CD都经过O点 OE为射线 若 1 35 2 55 则OE与AB的位置关系是 切记 要证垂直必先想到直角 90 联想数学 练习2 OE AB A C E B D O 1 EOB 90 垂直的定义 EOD EOB BOD 90 55 145 解 AB OE 已知 BOD 1 55 二 例题 例1如图 直线AB CD相交于点O OE AB 1 55 求 EOD的度数 对顶角相等 1 在小学学段我们曾通过折纸的方法 得到两条垂线 现在你可以用几种折法得到两条垂线 想一想做一做 2 如图 5 直线a上有一点A 经过点A 你能折出几条与a垂直的直线 如图 6 直线a外有一点B 经过点B 你能折出几条与a垂直的直线 想一想做一做 过点A B分别可以做直线a的几条垂线呢 问题 怎么样画垂线 垂线的画法 问题 这样画l的垂线可以画几条 1放 2靠 3画线 l O 如图 已知直线l 作l的垂线 工具 直尺 三角板 A 无数条 1 垂线的画法 l A 如图 已知直线l和l上的一点A 作l的垂线 B 4画线 沿着三角板的另一直角边画出垂线 1放 放直尺 直尺的一边要与已知直线重合 3移 移动三角板到已知点 2靠 靠三角板 把三角板的一直角边靠在直尺上 则所画直线AB是过点A的直线l的垂线 1 垂线的画法 l A 如图 已知直线l和l外的一点A 作l的垂线 B 4画线 沿着三角板的另一直角边画出垂线 1放 放直尺 直尺的一边要与已知直线重合 3移 移动三角板到已知点 2靠 靠三角板 把三角板的一直角边靠在直尺上 则所画直线AB是过点A的直线l的垂线 请同学们画一下 1 垂线的画法 结论 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 能作一条 而且只能作一条 问题 过已知直线l和l上 或外 的一点A 作l的垂线 可以作几条 注意 过一点画已知线段 或射线 的垂线 就是画这条线段 或射线 所在直线的垂线 垂线的性质 1 过点P向线段AB所在直线引垂线 正确的是 ABCD C 练一练 练习3 E E E 注意 画线段 或射线 的垂线时 有时要将线段延长 或将射线反向延长 后再画垂线 练一练 练习5 点O是直线