阅读与思考函数概念的发展历程

函数概念的发展历程 1 早期函数概念 几何观念下的函数 十七世纪伽俐略在 两门新科学 一书中 几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念 用文字和比例的语言表达函数的关系 1 早期函数概念 几何观念下的函数 1673年前后笛卡尔在他的解析几何中 已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系 但因当时尚未意识到要提炼函数概念 大部分函数是被当作曲线来研究的 1673年 莱布尼兹首次使用 function 函数 表示 幂 后来他用该词表示曲线上点的横坐标 纵坐标 切线长等曲线上点的有关几何量 与此同时 牛顿在微积分的讨论中 使用 流量 来表示变量间的关系 1 早期函数概念 几何观念下的函数 函数概念 2 十八世纪函数概念 代数观念下的函数 1718年约翰 柏努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义 由任一变量和常数的任一形式所构成的量 强调函数要用公式来表示 函数概念 2 十八世纪函数概念 代数观念下的函数 18世纪中叶欧拉给出了定义 一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式 欧拉给出的函数定义比约翰 贝努利的定义更普遍 更具有广泛意义 函数概念 3 十九世纪函数概念 对应关系下的函数 1821年 柯西从定义变量起给出了定义 在某些变数间存在着一定的关系 当一经给定其中某一变数的值 其他变数的值可随着而确定时 则将最初的变数叫自变量 其他各变数叫做函数 在定义中 首先出现了自变量一词 同时指出对函数来说不一定要有解析表达式 不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示 这是一个很大的局限 函数概念 3 十九世纪函数概念 对应关系下的函数 1822年傅里叶发现某些函数也已用曲线表示 也可以用一个式子表示 或用多个式子表示 从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论 把对函数的认识又推进了一个新层次 函数概念 3 十九世纪函数概念 对应关系下的函数 1837年狄利克雷突破了这一局限 认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要 他拓广了函数概念 指出 对于在某区间上的每一个确定的x值 y都有一个确定的值 那么y叫做x的函数 这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述 以清晰的方式被所有数学家接受 这就是人们常说的经典函数定义 函数概念 3 十九世纪函数概念 对应关系下的函数 康托创立的集合论在数学中占有重要地位之后 维布伦用 集合 和 对应 的概念给出了近代函数定义 通过集合概念把函数的对应关系 定义域及值域进一步具体化了 且打破了 变量是数 的极限 变量可以是数 也可以是其它对象 函数概念 4 现代函数概念 集合论下的函数 1914年豪斯道夫在 集合论纲要 中用不明确的概念 序偶 来定义函数 其避开了意义不明确的 变量 对应 概念 库拉托夫斯基 Kuratowski 于1921年用集合概念来定义 序偶 使豪斯道夫的定义很严谨了 在1859年和英国传教士伟烈亚力和译的 代微积拾级 中首次将 function 译做 函数 函数概念 4 现代函数概念 集合论下的函数 1930年新的现代函数定义为 若对集合M的任意元素x 总有集合N确定的元素y与之对应 则称在集合M上定义一个函数 记为y f x 元素x称为自变元 元素y称为因变元 综上所述可知 函数概念的发展与生产 生