探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积.docx

探究与发现祖暅原理与柱体的体积教学设计（人教A版必修2 第一章 第三节 ）广东省佛山市第三中学 李亚青一、教学内容、地位及学情分析 在学生已初步学习柱体的体积公式的基础之上对柱体体积公式的由来进一步探究，主要内容为用祖暅原理推导柱体的体积公式；通过实践体验、模型演示，利用祖暅原理，推广到柱体的体积计算。班级学生已具备一定的数学逻辑思维能力，能积极动手参与活动，并具备一定的协助与合作的能力，在此通过进一步的学习，使学生感受几何体体积的求解过程，初步了解解决空间几何体问题的思想方法,逐步提高解决空间几何体问题的能力。二、教学编排依据 主要是从学生获取知识遵循“从特殊到一般，由浅入深，由易到难，循序渐进”的原则出发，符合学生的认知水平和接受能力。三、教学目标的确定1、理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法；2、在发现祖暅原理的过程中，体会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思想方法；体会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想；3、在推导柱体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握柱体的体积公式；4、通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣，拓展爱国主义情感教育。四、教学的重点、难点1、柱体的体积公式的探究2、学生探究能力的培养五、教学方法及教学手段 1、为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都能获得相应的满足，因此本节课采用探究性教学；2、为了发挥学生的主观能动性，提高学生的综合能力，确定了探究性学习法：通过分析、探索得出柱体的体积公式；3、教学手段：几何画板和PPT课件、视频多媒体。六、教学思路由祖暅原理推导柱体的体积，其结构图如下：体积概念长方体的体积祖暅原理转 化根 据柱的体积应用七教学主体过程设计教学步骤预计用时(分钟)设计意图教学内容教师活动学生活动教学评价环节一：复习引入环节二：问题引入，提出新课环节三：拓展延伸，小组讨论环节四：实践探究512515为了唤起学生对旧知识的记忆，并加深对学过知识的掌握；为了给本节课研究问题奠定基础 。构建与原有知识结构的问题，激发学习的热情。进一步设计符合学生发展水平的问题新出新课，降低难度。同时注重知识的发生与发展，体现学生是问题的主体地位。通过几何画板的现场数据的调整再次体验两几何体等体积变化的过程1、展示学生课前完成导学案及学生提出的问题 2、 “小崔组”展示观看图片、视频 想一想它们共同关注的话题？图1：一根圆柱形的木料 大约能做成6张桌子。 图2：大猫为什么被卡住了？图3：无人机航拍图片 对图片处理形成三维图；得到物体体积。提出问题：图片文字和视频谈论关于什么问题？ 预设答案体积多媒体展示1、复习回顾体积的概念几何体占有空间部分的大小叫做它的体积。2、求几何体的体积的办法有哪些？预设答案公式法、排水法、无人机测体积等方法。3、复习回顾：长方体的体积公式公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。 V长方体= abc 推论：长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。 V长方体= sh 引入新课：如何快速算出模型塔的体积？预设答案通过计算一个骨牌的体积，乘于60后即可得到模型的体积。预设理由结合上一节课计算人行道的面积问题，（数据及如左下图所示）结合右上图，由于点构成线，线构成面。 用平行于 底边的任意直线去截图形，截得的两条线段始终相等，那么这些相等线段组成的面积也相等。类比到几何体，面构成体。等底等高的两几何体在同一高处用平行于底面的任意平面去截两几何体，截得的两截面面积始终相等 那么这两几何体的体积相等。思考问题：1、改变了模型的形状，它的体积有没有改变? 2、同时还有哪些量不变？ 3、是不是等底等高两个几何体的体积就相等？预设答案1、没有改变；2、纸张数、底面积、高也不变；3、例如等底等高的棱柱和棱锥体积不等。概括总结：什么样的两个几何体的体积相等？预设答案 等高、等底，同一高度处用任意平行底的面去截，截面面积总是相等。 引出祖暅原理内容：“幂势既同 ，则积不容异”预设答案“幂”原是动词，表示覆盖的意思，放在句首，这里作名词使用，表示为覆盖区域的面积，“势”是高的意思；“积”是指“体积”；“不容异”是指“不得不相等”，双重否定加强语气，便是肯定的意思“相等”。 祖暅原理的提出要比其他国家的数学家早一千多年。在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里提出上述结论。问题2：夹在两个平行平面间的两个几何体，它们的形状可不可以不同？预设答案可以。问题3：利用祖暅原理求几何体的体积时，需要满足哪些条件? 预设答案1）需要构造与之等底等高的常见几何体；2）用一个平行于底面的平面去截这两个几何体，截面面积总是相等；3）常见几何体的体积公式。柱体体积公式：设有底面积都等于S，高都等于h 的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使得它的下底面在同一平面。根据祖暅原理，它们的体积相等。由于长方体的体积等于它的底面积乘于高，于是得的柱体的体积公式为：V柱体= sh 思考： 底面半径为r，高为h圆柱体积公式的表示？V圆柱= r2h 小结：柱体体积=横截面面积高三：拓展延伸，小组讨论问题1：上图几何体是不是柱体？问题2：使用公式计算时它的底和高在哪里？预设答案五棱柱；公式中底和高如下图：探究案例一：关于傍晚学校洗澡时间是否足够的问题？数据处理：据资料显示，男生洗一次澡约需要20升水，连接管长度约为150cm，直径约为0.5cm，从开闸到喷水的时间约为1s。问题：1）由圆柱体积公式v=sh=rh得连接管体积约为？2） 每秒的流速？ 3）每分钟的流速？4）每个男生用20升水要花掉的时间约为？ 5）每一个男生穿好衣服，整理装容约2min,则一个男生洗完澡需要多长时间？预设答案0.03升；0.03升/s；1.8升/min；11min;13min。因有两个花洒，10个人分为两组，则每5个男生洗澡所需时间一共约为65min，而下午放学时间约为1.5小时能满足男生洗澡需求。探究案例二：学校饮水机是否满足学生课间的打水？数据采集：出水口管的半径为1cm，流度为17.5cm/s问题：计算出热饮水机工作1s时对应的水柱体的体积？预设答案V圆柱= r2h=3.141217.5=54.95(cm3 )55(ml)计算出热饮水机流1s对应水柱体的体积约为55ml。进一步问题：已知学校每楼层冷水龙头有14个 ，温水水龙头有3个，热水水龙头有3个。热水需要的总流速为165ml/s=9900ml/min同理可计算：（四成学生选择冷水）冷水总用水速度为1190ml/s=71400ml/min(四成的学生选择温水）温水总流速为135ml/s=8100ml/min根据测量学生用水速度（高峰期）学生人流流速：50人/min持续时间：5min每人约需要用水：500ml 1min中内 5min中内20人需要冷水量 10000ml 50000ml20人需要温水量 10000ml 50000ml10人需要热水量 5000ml 25000ml结论：1、正常情况：所有同学都不需要排队，不存在拥堵。2、高峰期：冷水机和热水机不会发生拥堵，温水机会持续1-2min的拥堵情况。为了避免在高峰期发生拥堵，学校应该取消2-3个冷水机的位置，改装温水机。微课平台展示学生问题观察学生并记录学生探究过程的问题及解决问题的方案提出新的问题，展示PPT现场摆书引导学生对问题的本质深入分析，并完善分析过程展示几何画板动画引导学生朗读祖暅原理展示几何画板引导学生探究写出柱体的体积利用PPT展示图片，并提出问题观察学生，并记录及解答问题微课平台提交问题展示视频、PPT，学生回答问题展示视频，观看图片，分小组实践操作提出计算物体体积的方案投影仪展示解决问题的方案，小组合作探究问题朗读祖暅原理内容展示PPT参与解读，学习古代数学家对几何体体积研究的成果的数学历史小组交流回答问题自主探究写出柱体的体积公式展示视频、PPT，使用投影仪展示探究结果展示视频实践操作探究回答问题展示视频、图片微信平台展示答案，讨论结论网路评价学生是否完成课前预习内容及了解学生的学习困难观察学生时候认真思考并很快进入主题学习观察学生能否理解体积相等的条件，考察学生的归纳总结问题的能力通过课本的内容的再次解读，考查学生查阅资料及小组合整理知识的能力考查学生的归纳整理能力考查学生对已掌握的知识和方法的迁移能力考查学生能否将实际问题转化为数学模型的建模能力，是否具有量化计算，数形结合的答题能力环节五：总结5通过片断小结，进一步完善学生的知识结构，对探究过程的体验分享加深学生对数学的知识、思想、方法的理解。体积概念祖暅原理长方体的体积判断两个几何体积相等根 据转 化柱的体积柱体体积=底面积高=横截面面积高 V柱体= sh（弄清楚几何体的底面与高）V圆柱= r2h引导学生结合研究过程进行小结进行小结体会、分享、感悟考查学生的归纳整理能力六：（网络完成）布置作业1利用网络平台网络作业详见微课平台微课平台发布作业学生通过网络自主落实作业了解学生对已掌握知识的情况，为教学做出进一步引导教学设计反思：“为学而教，自主高效，促可持续发展”是本课的设计理念，从学生获取知识遵循“从特殊到一般，由浅入深，由易到难，循序渐进”的原则出发，本片段设计符合学生的认知水平和接受能力的问题，认真研究教材及相关数学史，并巧设“问题”，学生的问题才是真正的问题，引学学生成为学习的主体，这是我这节课的最大的体会。下面本人对教学过程、设计的形式等方面对本人片段教学进行总结反思：纵观本教案的设计：（1）发挥学生的积极能动性，善于挖掘课本的素材。本问题是学生掌握了几何体体积概念、长方体体积公式、求解几何体体积的一般办法的基础上，设计问题，引导学生通过二维问题到三维问题的探究，为了帮助学生在三维问题的探究，作者使用几何画板，主要围绕两等高等底的几何体，在等高处的横截面相等，完成对两个几何体体积相等的探究。（2）突出以学生为本，教师为主导的主线。本课不仅检测学生对旧知识的学习的掌握，更是体现学生对旧知识的驾驭能力。本片段研究以在模型操作体验、利用几何画板展示辅助学生理解祖暅原理的正确性；师生解读古