阅读与思考海伦和秦九韶

基本不等式 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标 会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去象一个风车 代表中国人民热情好客 思考 这会标中含有怎样的几何图形 思考 你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系 a b 1 正方形ABCD的面积S 四个直角三角形的面积和S S与S 有什么样的不等关系 探究 S S 即 问 那么它们有相等的情况吗 a b 猜想 一般地 对于任意实数a b 我们有 当且仅当a b时 等号成立 A B C D E FGH a b a b a b 思考 你能给出不等式的证明吗 证明 作差法 重要不等式 一般地 对于任意实数a b 总有当且仅当a b时 等号成立 文字叙述为 两数的平方和不小于它们积的2倍 适用范围 a b R 问题一 问题一 替换后得到 即 即 你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗 问题二 证明 要证 只要证 要证 只要证 要证 只要证 显然 是成立的 当且仅当a b时 中的等号成立 分析法 问题二 证明不等式 特别地 若a 0 b 0 则 通常我们把上式写作 当且仅当a b时取等号 这个不等式就叫做基本不等式 基本不等式 在数学中 我们把叫做正数a b的算术平均数 叫做正数a b的几何平均数 文字叙述为 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 适用范围 a 0 b 0 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 问题三 Rt ACD Rt DCB A B C D E a b O 如图 AB是圆的直径 O为圆心 点C是AB上一点 AC a BC b 过点C作垂直于AB的弦DE 连接AD BD OD 如何用a b表示CD CD 如何用a b表示OD OD 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 问题三 如何用a b表示CD CD 如何用a b表示OD OD OD与CD的大小关系怎样 OD CD 如图 AB是圆的直径 O为圆心 点C是AB上一点 AC a BC b 过点C作垂直于AB的弦DE 连接AD BD OD 几何意义 半径不小于弦长的一半 A D B E O C a b a b a b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a b R a 0 b 0 填表比较 注意从不同角度认识基本不等式 例1 求函数f x x x 1 的最小值 分析 x 1 2x 不是常数 2 1为 当且仅当时 取 号 例2 若0 x 求函数y x 1 2x 的最大值 若x y皆为正数 则当x y的值是常数S时 当且仅当x y时 xy有最大值 若x y皆为正数 则当xy的值是常数P时 当且仅当x y时 x y有最小值 已知函数 求函数的最小值和此时x的取值 运用均值不等式的过程中 忽略了 正数 这个条件 美女 找茬 已知函数 求函数的最小值 用均值不等式求最值 必须满足 定值 这个条件 用均值不等式求最值 必须注意 相等 的条件 如果取等的条件不成立 则不能取到该最值 小结 求最值时注意把握 一正 二定 三相等 2 利用基本不等式求最值 1 两个重要的不等式 1 已知x 0 y 0 xy 24 求4x 6y的最小值 并说明此时x y的值 4已知x 0 y 0 且x 2y 1 求的最小值 2已知a b 4 求y