矩阵相似的性质.doc

1 矩阵的相似1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】） 矩阵的相似及其应用1.1 矩阵的相似定义1.1：设为数域上两个级矩阵，如果可以找到数域上的级可逆矩阵，使得，就说相似于记作1.2 相似的性质（1）反身性：；这是因为.（2）对称性：如果，那么；如果,那么有，使，令，就有，所以。（3）传递性：如果，那么。已知有使，。令，就有，因此，。1.3 相似矩阵的性质若，则：（1）；引理：是一个矩阵，如果是一个可逆矩阵，是可逆矩阵，那么秩（）=秩（）=秩（）证明：设相似，即存在数域上的可逆矩阵，使得,由引理2可知，秩（）=秩（）=秩（）=秩（）（2）设相似于，是任意多项式，则相似于，即证明：设 于是， 由于相似于，则相似与，（为任意正整数），即存在可逆矩阵,使得，因此 所以相似于。（3）相似矩阵有相同的行列式，即；证明：设相似，即存在数域上的可逆矩阵，使得，两边取行列式得：，从而相似矩阵有相同的行列式。又由性质（2）知，有相同的特征多项式，因而有相同的特征值，而的迹，的迹，从而，即相似矩阵有相同的迹（4）与有相同的标准形；（5）相似矩阵同时可逆或同时不可逆。证明：设相似，由性质2可知，若可逆，即，从而，故可逆；若不可逆，即，从而,故不可逆。（6）若与相似，相似，则相似。证明：与相似，即存在可逆矩阵,使得,相似，即存在可逆矩阵,使得，由于 显然是可逆矩阵。由此可见，则相似。定理1.1：线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。证明：先证前一部分。设线性空间中线性变换 在两组基： （1） （2）下的矩阵分别为和,从基到基的过渡矩阵为，则：， 于是 由此可得 现在证后一部分。设级矩阵和相似，那么它们可以看作是维线性空间中一个线性变换 在基下的矩阵。因为，令：,显然， 也是一组基，在这组基下的矩阵就是。例一：证明与相似，其中是的一个排列。证明：设：，则，因为和是线性变换在不同基下的矩阵，故它们相似。定理2.1：设是数域上的两个级矩阵，与相似的充要条件是它们的特征矩阵和等价。例一：设是实数，,证明与相似。证明：故和等价，从而3，矩阵相似的应用3.1相似矩阵与特征矩阵定义3.1.1：把矩阵（或线性变换 ）的每个次数大于零的不变因子分解成互相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵（或线性变换 ）的初等因子。定理3.1.1：数域上的方阵相似的充要条件是和有相同的列式因子。定理3.1.2：两个同级复数矩阵相似充要条件是它们有相同的初等因子。例1：证明：任何方阵与其转置方阵 相似。证明：因为与 互为转置矩阵，它们对应阶子式互为转置行列式，故相等。从而两者有完全相同的各阶行列式因子，于是两者有完全相同的不变因子。故与 等价，从而与 相似。例2：证明：相似方阵有相同的最小的多项式。证法一：设相似，即可存在可逆矩阵，使，又设的最小多项式分别为，于是：,但是，的最小多项式整除任何以为根的多项式，故证法二：设相似，则和等价，从而有完全相同的不变因子，但最后一个不变因子就是最小多项式，故有相同的最小的多项式。4 相似矩阵与矩阵的对角化 矩阵的对角化问题的解法及其应用都有其明显特色，因而线性代数中通常被单独处理，尽管矩阵相似是完全独立的另一概念，但是却与对角化问题有重要的关联。定义3.1.2：数域上方阵，如果与一个上的对角方阵相似，则称在上可对角化。定理3.2.3：复数矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是的初等因子全是一次的。定理3.2.4：复数矩阵与对角阵相似的充分必要条件是的不变因子都没有重根。定理3.2.5：复数域上方阵与一个对角矩阵相似的充分必要条件是的最小多项式没有重根。定理3.2.6：设是阶方阵，则以下条件是等价的：（1）相似于对角矩阵；（2）属于的不同特征值的特征向量线性无关；（3）有个线性无关的特征向量；（4）的每一特征值的代数重数都等于它的几何重数。例4：设复矩阵的最小多项式，证明：与对角阵相似。证明： ，即的最小多项式无重根，所以的初等因子都是一次的，所以相似于对角阵。例5：设为阶方阵， 是的特征多项式，并令：，证明：与一个对角矩阵相似的充分必要条件是。证明：设，其中 互不相等，且，则：。如果与一个对角矩阵相似，则的初等因子都是一次的，其中全部不同的初等因子是 ，它们的乘积就是最后一个不变因子，亦即。但 就 是的 最 小 多 项 式 ， 所 以。反之，若，则的最小多项式整除，因而没有重根，故与对角矩阵相似。例7：设 ，试证明：（1）在复数域上可对角化；（2）在有理数域上不可对角化。证明： ,用辗转相除法可证得，故在复数域上相似于对角矩阵。（2）若在有理数域上可对角化，那么的特征值必须都是有理数，从而有有理根，而的首项系数为1，从而的有理根必为整数根。由于的常数项为-8，如果有整数根必为，用综合除法验算它们都不是的根，因此无有理根，从而得证在有理数域上不可对