第26课圆的基本性质考前巩固

要点梳理1 主要概念 1 圆 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 定点叫圆心 定长叫半径 以O为圆心的圆记作 O 2 弧和弦 圆上任意两点间的部分叫弧 连接圆上任意两点的线段叫弦 经过圆心的弦叫直径 直径是最长的弦 3 圆心角 顶点在圆心 角的两边与圆相交的角叫圆心角 4 圆周角 顶点在圆上 角的两边与圆相交的角叫圆周角 5 等弧 在同圆或等圆中 能够完全重合的弧 2 圆的有关性质 1 圆的对称性 圆是轴对称图形 其对称轴是过圆心的任意一条直线 圆是中心对称图形 对称中心是圆心 旋转不变性 即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度 都能与原来的图形重合 2 垂径定理及推论 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 第26课圆的基本性质 第26课圆的基本性质 3 弦 弧 圆心角的关系定理及推论 弦 弧 圆心角的关系 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 推论 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦 两条弦心距中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 4 圆周角定理及推论 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 圆周角定理的推论 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 5 点和圆的位置关系 设d为点P到圆心的距离 r为圆的半径 点P在圆上d r 点P在圆内dd r 6 过三点的圆 经过不在同一直线上的三点 有且只有一个圆 三角形的外心 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆 外接圆的圆心叫做三角形的外心 三角形的外心是三边中垂线的交点 这个三角形叫做这个圆的内接三角形 3 相关辅助线 两条辅助线 1 有关弦的问题 常作其弦心距 构造直角三角形 2 有关直径的问题 常作直径所对的圆周角 第26课圆的基本性质 第26课圆的基本性质 考点巩固测试1 2013 衡阳 如图 O的直径CD过弦EF的中点G EOD 40 则 FCD的度数为 解析 直径CD过弦EF的中点 CD EF DE DF EOD 40 DF DE 40 FCD 20 感悟提高当图中出现同弧或等弧时 常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 通过求等的弧把角联系起来 变式测试1 2012 广东 如图 A B C是 O上的三个点 ABC 25 则 AOC的度数是 解析 圆心角 AOC与圆周角 ABC都对AC AOC 2 ABC 又 ABC 25 AOC 50 第26课圆的基本性质 2 一条弦的长度等于它所在的圆的半径 那么这条弦所对的圆周角的度数是 感悟提高在很多没有给定图形的问题中 常常不能根据题目的条件把图形确定下来 因此会导致解的不唯一性 这种题一题多解 必须分类讨论 本题中 弦所对的圆周角不是唯一的 圆周角的顶点可能在优弧上 也可能在劣弧上 依据 圆内接四边形的对角互补 这两个角互补 变式测试2 2013 安徽 如图 点A B C D在 O上 O点在 D的内部 四边形OABC为平行四边形 则 OAD OCD 解析根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半 AOC 2 D 又 四边形OABC是平行四边形 B AOC 圆内接四边形对角互补 B D 180 D 60 连接OD 则OA OD OD OC OAD ODA OCD ODC OAD OCD 60 第26课圆的基本性质 3 如图 已知AB CD是 O的弦 M N分别是AB CD的中点 且 AMN CNM 求证 AB CD 证明连接OM ON M N分别是AB CD的中点 OM AB ON CD AMO CNO 90 AMN CNM OMN ONM OM ON 又 OM AB ON CD AB CD AB CD 感悟提高连接OM ON 则OM AB ON CD OM ON分别是弦AB CD的弦心距 有弦常作弦心距 这是一个常用的方法 第26课圆的基本性质 变式测试3 1 2012 上海 如图 AB AC都是圆O的弦 OM AB ON AC 垂足分别为M N 如果MN 3 那么BC 解析 OM AB ON AC AM BM AN CN MN是 ABC的中位线 MN BC 即BC 2MN 2 3 6 2 如图 在 O中 已知AC BD 求证 OC OD AE BF 证明 连接OA OB OA OB A B AC BD OAC OBD OC OD OAC OBD AOC BOD AE BF 第26课圆的基本性质 4 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂 维修人员为更换管道 需确定管道圆形截面的半径 如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面 若这个输水管道有水部分的水面宽AB 16cm 水面最深地方的高度为4cm 求这个圆形截面的半径 解如图 设弦AB表示水面 O为圆心 过O作OD AB于C 交 O于D 连接OA 根据垂径定理 有AC BC 设OA OD r 在Rt AOC中 AC2 OC2 OA2 则82 r 4 2 r2 解得r 10 答 这个圆形截面的半径是10cm 感悟提高这是一道实际问题 关键是将其转化为数学问题 由于管道是圆形的 因此可以把水面宽度看作弦长 从而利用垂径定理构造直角三角形 再利用勾股定理 方程思想来求解 第26课圆的基本性质 变式测试4在直径为400mm的圆柱形油槽内 装入部分油 油面宽320mm 求油的深度 解如