第7讲 二次函数

1 第 7 讲 二次函数 一 知识梳理 1 二次函数解析式的三种形式 1 一般式 2 顶点式 3 两根式 2 二次函数配方法的步骤是 2 0f xaxbxc a 1 2 b f xa xxc a 2 22 22 4 2424 bbbacb f xa xca x aaaa 二次函数的图象是一条抛物线 对称轴方程为 顶 2 0f xaxbxc a 点坐标是 当时 开口向 当 开口向 0a 0a 3 二次函数的单调性及最值 1 当 函数在上单调递 在上单调递 并且当0a 2 b a 2 b a 时 2 b x a minf x 2 当 函数在上单调递 在上单调递 并且当0a 2 b a 2 b a 时 2 b x a maxf x 4 根与系数的关系 二次函数 当时 图象与轴有两个交点 2 0f xaxbxc a 2 40bac x 这里的 是方程的两根 则根与系数的关系是 11 0 Mx 22 0 Mx 1 x 2 x 0f x 弦长 12 M M a 5 二次函数在闭区间的最值 2 若 二次函数在闭区间上的最大值为 最小值为 0a f x p qMN 令 0 1 2 xpq 1 若 则 2 b p a M N 2 若 则 2 b q a M N 3 若 则 0 2 b px a M N 4 若 则 0 2 b xq a M N 6 一元二次不等式的解集与二次方程的根的关系 2 00axbxca 1 若 方程有两个不等的实数根 则不等式0a 2 0axbxc 12 x x 12 xx 的解集为 不等式的解集为 2 0axbxc 2 0axbxc 2 若 方程有两个相等的实数根 则不等式0a 2 0axbxc 0 x 的解集为 2 0axbxc 3 若 方程无实根 则不等式的解集为0a 2 0axbxc 2 0axbxc 不等式的解集为 2 0axbxc 二 要点探究 探究点 1 求二次函数在闭区间上的最值 例 1 试求二次函数在区间上的最小值 2 23f xxax 1 2 变式题 已知函数在上有最大值 求的值 2 21f xxaxa 01x 2a 3 探究点 2 求二次函数的解析式 例 2 已知函数是二次函数 且 且 yf x 33 22 fxfx 3 49 2 f 方程的两个实根之差等于 求此二次函数的解析式 0f x 7 变式题 已知函数 当时 2 8f xaxbxaab 3 2x 0f x 时 32 x 0f x 1 求的解析式 yf x 2 为何值时 不等式解集为c 2 0axbxc R 探究点 3 二次函数的综合应用 例 3 已知关于的二次函数x 2 2210 xmxm 1 若方程有两根 其中一根在区间 另一根在区间 求的范围 1 0 1 2m 2 若方程两根均在区间内 求的范围 0 1m 4 例 4 某商品在内每天的价格与时间 的函数关系为100 f tt 22 040 4 52 40100 2 t ttN f t t ttN 每日销售量与时间 的关系是 求这种商品日销 g tt 112 0100 33 t g tttN 售额的最大值 价格单位为元 F t 三 规律总结 1 二次函数 一元二次不等式和一元二次方程 统称二次型 是一个有机的整体 要深刻 理解它们之间的关系 运用函数方程的思想方法将它们进行转化 是准确迅速解决此类问 题的关键 2 对二次函数在的最值的研究是本讲内容的重点 对如下 2 0yaxbxc a m n 结论必须熟练掌握 1 当时 是它的一个最值 另一个最值在区间端点取得 2 b xm n a 2 4 4 acb a 2 当时 最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得 2 b xm n a 3 二次函数在某个区间上的最值问题的处理 常常要利用数形结合的思想和分类讨论的 思想 当二次函数的表达式中含有参数或所给区间变化时 需要考查二次函数的图象特征 开口方向 对称轴与该区间的位置关系 抓住顶点的横坐标是否属于该区间 结合函数 的单调性进行分类讨论和求