第四章 分支理论.doc

第四章 分支理论 本章将研究常微分方程定义的光滑动力系统的分支问题。若某个系统在任意小的扰动下都会在系统的拓扑结构上发生根本的变化，这种变化称为分支(bifurcation)，它也称为分叉、分歧、分岔等。在动力系统中，一系列的分支有可能导致混沌运动的出现，分支问题与混沌运动有着密切的关系。分支问题包含十分丰富的内容，它是动力系统和非线性方程研究的重要组成部分。4.1 引言 分支问题的研究源于对天体力学、弹性力学、流体力学和非线性振动中的一些失稳现象的探讨，它有着深刻的应用背景。因此，长期刻以来分支研究主要在应用领域中进行。直到上世纪70年代，由于动力系统、非线性分析和非线性微分方程等方面研究的推动，以及随计算机科学的发展而来的强有力的数值手段的协助，才开始形成分支的数学理论和方法，并在生物学、生态举、物理学、力学、化学、数值计算、控制、工程技术、以至经济学和社会学中得到广泛的应用。当前，分支的研究无论在理论上还是应用上都在迅速深入地发展。 在实际应用中，许多系统都含有参数，考虑当参数连续地变动时，系统的拓扑结构是否会发生变化，这就是含参数系统的分支问题。 下面看两个例子。 例题4.1 考虑一维系统：其中，是参数。 图4.1图4.1是系统(1.1)当取不同值时，相对于的变化情况。从图4.1中不难看出，当时，系统(1.1)有唯一的平衡点，且是渐近稳定的。当时，式(4.1)有三个平衡点，其中是不稳定的，而是渐近稳定的。更方便地，可用图4.2来描述系统(4.1)随参数变化的情况。图中，铅直线上画出了当固定时系统(1.1)的相图。此外，图4.2还说明系统(1.1)的平衡点随变化的悄况，其中实线代表稳定平衡点(记为)，虚线代表不稳定平衡点(记为)。显然，当和时，系统有不同的拓扑结构。这表明系统(1.1)的拓扑结构在处发生突然变化，即这时出现平衡点分支。图4.2 图4.3 例题4.2 考虑平面系统： 其中的是参数。 引入极坐标，可以将系统(1.2)变成由系统(1.3)容易看出，当时，式(1.2)有唯一的渐近稳定焦点。当时，变为式(1.2)的不稳定焦点，并且还有个渐近稳定的极限环。在图1.3中与轴垂直的截面上画出了当固定时系统(1.2)的相图。此外，图4.3还说明了系统(4.2)的平衡点和极限环随变化的情况。显然，系统(1.2)的拓扑结构在处发生突然变化，即这时出现分支。 下面介绍一些有关的基本概念。设区域，。考虑含参数的常微分方程系统：其中称为状态变量，称为分支参数(亦称为控制变量)。 定义4.1 没当参数连续变动时，给定的系统(1.4)的拓扑结构在处发生突然变化，称系统(1.4)在处出现分支，并称为一个分支值(临界值)。在参数的空间中，由分支值组成的集合称为分支集。 为清楚地表示分支情况，在空间中画出系统(1.4)的极限集(如平衡点、极限环等)随参数变化的图形，称为分支图。图4.2、图4.3就是分支图。 一般来说，完整的分支分析需要研究向量场的全局拓扑结构，这是非常复杂的，甚至是难以完成的。在实际应用中，往往只关心在平衡点或闭轨附近轨线的拓扑结构的变化即只研究在平衡点或闭轨的某个邻域内的向量场的分支，这类分支问题统称为局部分支。如果在分支分析中需考虑向量场的全局性态，则称为全局分支。当然“全局”和“局部”是相对而言的，局部分支有时会影响向量场的全局结构。本章讨论局部分支问题。4.2 鞍结型分支（Saddle-Node Bifurcation)先看一个例子。 考虑系统： 容易验证和还注意到，系统(2.1)的平衡点集为即它表示平面上的一条抛物线，见图4.4。图中，竖直线表示系统(2.1)沿方向上的流。不难看出，当时，系统(2.1)没有平衡点，向量场沿是递减的；当时，式(4.5)有两个平衡点：一个是稳定的(图中用实线表示)，个是不稳定灼(图中用虚线表示)。 这是一个分支的实例，图4.4是系统(2.1)的分支图，是系统(2.1)的分支值。这种分支是一种特殊的分支：在分支值的边系统没有平衡点，而在分支值的另一边却有两个平衡点。这种分支称之为鞍结型分支。图4.4 在系统(2.1)中，有一条唯一的过平衡点的平衡点曲线，记为。不难验证满足下面两个条件。 1. 在处与直线相切，即2. 整个平衡点曲线位于的一旁，且满足 推而广之，希望找出带一个参数的一维向量场出现鞍结型分支的条件。一般地，考虑系统：不失一般性，假定系统(2.7)有平衡点，即更进一步，假设是系统(2.7)的非双曲平衡点，即如果，根据隐函数定理，对充分小的，存在唯一函数使得。由鞍结型分支的定义，必有即式(2.8)、2.9)、(2.10)、(2.11)、(2.12)、(2.13)意味着是系统(2.7)的分支点，且在分支点处呈鞍结型分支。 需要找出系统(2.7)出现鞍结型分支时所应满足的条件。由(2.11)得将该式关于微分得由式(2.15)得因而，由式(2.9)、(2.10)得即平衡点曲线在处与直线相切。 再将式(2.15)两边微分，便有在处考虑式(2.18)，则有因此，只要就有 综上所述，有 定理4.1 ，并且是系统(2.7)在存在鞍结型分支的必要条件。 注 1. 式(2.22)蕴含过的平衡点曲线的唯一性，式(2.23)蕴含平衡点曲线只位于直线的一旁； 2对系统(2.7)，在非双曲平衡点处展开得通过计算易知，它在附近有范式 3. 利用中心流形定理把定理4.1推广到单参数维系统的情形。假设存在平衡点，有简单的零特征值，其余的特征值均具负的实部，则系统（2.25）存在二维中心流形。限制在上，固定参数，我们得到一个一维系统，即系统（2.7）。4.3 跨临界型分支 (Transcritical Bifurcation)考虑系统：容易看出更进一步系统(3.1)的平衡点曲线为即和图4.5如图4.5，不难看出，当时，系统有两个平衡点，是稳定的、是不稳定的；当时这两个平衡点重合。当时，是不稳定的平衡点而是稳定的平衡点。从而，两个平衡点的稳定性在处发生了变化。这种类型的分支称为跨临界型分支。 从本例可以看出： 1平衡点曲线通过，一条是，另一条是；2两条平衡点曲线都分布在直线的两侧；3每条平衡点曲线上的平衡点的稳定性在经过时均发生变化。 希望找到更一般的系统出现跨临界型分支的条件 考虑系统：。假定是它的非双曲平衡点，即。 由于跨临界分支出现时，有两条平衡点曲线通过，因而有否则，由隐函数定理知，通过的平衡点曲线只有一条。从而，不能直接将隐函数定理用于系统(3.7)。注意到是跨临界分支出现时的平衡点曲线。因此，若要系统(3.7)出现跨临界型分支，系统(3.7)必有平衡点曲线，从而有其中由式(3.12)可得。假定。由隐函数定理知，对充分小的，存在唯一的函数，使得。显然，是式(3.1)的平衡点曲线。为使不与重合并且的图形存在于直线的两边，要求。利用隐函数微分法则，同处理式(2.14)一样，可导出。将式(3.12)、(3.14)代入得综上所述，则有 定理4.2 ，并且是系统(3.1)经过一个跨临界型分支的必要条件。同处理系统(2.7)一样，容易得到系统(3.1)的范式。4.4 叉型分支 (Pitchfork Bifurcation)考虑系统：。容易看出。更进一步，系统(4.1)的平衡点曲线为和如图4.6，当时，系统(4.1)有一个稳定的平衡点；当时，仍是系统(4.1)的平衡点，但由稳定的变为不稳定的，另外增加了由给出的两个稳定的平衡点，出现了分支现象，这种类型的分支称之为叉型分支。图2.3 由本例不难看出，叉型分支的下述三个特征：1 有两条平衡点曲线通过。例中，一条是，另一条是；2 一条平衡点曲线分布于直线的两旁，另一条在直线的一旁。例中，分布于直线的两旁，另一条在直线的一旁； 3一条平衡点曲线在直线的两旁具有不同的稳定性，另一条平衡点曲线上的平衡点的稳定性是一致的。 希望找出对更一般的系统，它经过叉型分支时所必须满足的条件。 考虑系统：。假定是它的非双曲平衡点，即。由于叉型分支出现时，有两条平衡点曲线通过，因而，还要求：。 由于叉型分支出现，应是其平衡点曲线，从而系统(4.6)可改写为 其中由于除外的另一条平衡点曲线也通过点，并且有且只有这条曲线，因此有 从而，由隐函数定理知，对充分小的，存在唯一的函数，使得。根据由例中得出的叉型分支的特征，应满足： 利用处理式(2.14)同样的处理方式，来处理式(2.64)，可以得到。将式(4.17)、(4.18)化为关于的表达式：。综上所述，则有 定理4.3 ，并且 是系统(4.6)经过一个叉型分支的必要条件。同处理系统(2.7)一样，容易得到叉型分支出现时系统(4.6)的范式。4.5 霍夫分支 (Hopf Bifurcation) 前面讨论了三种类型的分支，它们都是平衡点的分支。下面讨论Hopf分支，它是闭轨的某个邻域内的向量场的分支，正如本章引言中例2所出现的情况。 考虑系统：， 其中，在包含所感兴趣的平衡点的开集上是()的，记该平衡点为，即。 考虑系统(5.1)在处的线性化向量场：。假定线性化矩阵有一对纯虚特征值，而其他特征值都具有非零实部。此时，是系统(5.1)的非双曲平衡点，从而系统(5.3)只能给出很少系统(5.1)在平衡点处的解的拓扑结构(有时，这种由(5.3)得到的关于(5.1)的有关信息甚至是错误的)的信息。也就是说，不能像通常所做的那样，将系统(5.1)在平衡点处线性化成系统(5.3)，然后由系统(5.3)来讨论系统(5.1)在平衡点附近的解的拓扑结构。然而，幸运的是可以利用中心流形理论来讨论这个问题。由中心流形理论可以知道，系统(5.1)在平衡点附近的解的拓扑结构可由二维中心流形上的向量场决定。仅就单参数的情况进行讨论（多参数时，固定其余的参数），即在以后的讨论中，假定。 假定，记，并假定有一对纯虚特征值，而其它特征值都具有非零实部。当充分小时，由中心流形理论易知，在中心流形上，系统(5.1)具有以下形式：其中，、是关于，的非线性部分，和是的特征值。 注意：这里仅就平衡点是原点及分支值的情况讨论，其它类型，通过坐标平移及参数变换化为这种情形。 记。由假设，显然有：。通过计算，得出系统(5.1)的范式为为讨论方便，将系统(5.7)变成极坐际形式：由于感兴趣的是附近的动态性质，因此，将、在附近泰勒展开，将式(5.8)变成其中“”表示对求导。 我们的目的是分析当充分小时，系统(5.9)的性质。为此，分以下两个步骤来讨论： 步骤1：讨论系统(5.9)去掉高阶项后的性质； 步骤2：说明系统 (5.9)与其去掉高阶项后的系统动态性质相同（Hopf分支定理）。首先，考虑步骤1。去掉系统(5.9)的高阶项，可以得到：其中，。 容易看出：对满足和的和，系统(5.10)出现周期轨道。 引理2.1 对，当充分小时，是系统(5.10)的周期轨道。 证 式(5.11)中的显然满足。为证明式(5.11)是周期解只需证明，而。由于，充分小，因此。下面讨论用期轨道的稳定性。引理2.2 周期轨道 当时是渐近稳定的； 当时是不稳定的。证 利用Poincare映射来讨论这个问题。首先，定义则利用Poincare映射来讨论为由于在处存在闭轨，得到。显然，当时，从而周期轨道是渐近稳定的。反之，时周期轨道是不稳定的。 由于周期轨道出现时必须， 从而式(5.11)是系统(5.10)的唯一的周期轨道。从式(5.10)知，为考察当或时周期轨道的稳定性和存在性，我们需要考虑以下四种情况： 1 2 3 4。对以上四种情况，注意到系统(5.10)，在处当时，原点作为平衡点对两种情况都是稳定的；当时，原点作为平衡点对两种情况都是不稳定的。下面就这四种情况进行讨论。情况1：。此时，若，则原点是不稳定的平衡点且无周期轨道；若，则原点是渐近稳定的平衡点且存在一个不稳定的周期轨道(见图4.7)。图4.7情况2：。此时，若，则原点是渐近稳定的平衡点且无周期轨道；若，则原点是不稳定的平衡点且有一个渐近稳定的周期轨道(见图4.8)。图4.8情况3：。此时，若，则原点是不稳定的平衡点且无周期轨道；若，则原点是渐近稳定的平衡点且有一个不稳定的周期轨道（见图 4.9)。 情况4：。此时，若，则原点是渐近稳定的平衡点且无周期轨道；若，则原点是不稳定的平衡点且有个渐近稳定的周期轨道(见图4.10)。 从以上四种情况可以看出：当时，周期轨道是渐近稳定(情况2，情况4)；当时，周期轨道是不稳定的。注意到。所以，若，则当时，原点是渐近稳定的；当时，原点是不稳定的；若，则当时，原点是不稳定的平衡点，当时，原点是渐近稳定的平衡点。图4.9图4.10 现在，考虑步骤2。 在步骤1 中，了解了系统(5.9)中去掉高阶项后的系统的性质，要知道的是系统(5.9)的性质同它的关系，希望系统(5.10)的性质在系统(5.9)中能保持下来。幸运的是结论正是所希望的： 定理4.4 (Hopf分支定理) 系统(5.9)对充分小的出现情况1、情况2、情况3、情况4中所述性质。 其证明可参考文献3。一般情况下，我们利用如下形式的Hopf分支定理。 定理4.5 假定且满足如下性质：（H1）记，并假定有一对纯虚特征值，而其它特征值都具有非零实部。则 条件（H1）意味着系统（5.1）有一个光滑的平衡点曲线满足。的特征值，关于光滑变化，在通过虚轴。进一步设（H2） 则在上存在唯一通过三维中心流形和三维中心流形上的一个光滑系统（5.7）。如果，在中心流形上存在一个周期解曲面。如果，则这些周期解是稳定的极限环；当时，这些周期解是排斥的。 在利用定理4.4或定理4.5解决实际问题时，关键是要找到和的值，的值是容易得到的。而的值要通过铰繁琐的计算才能得到。对系统(5.4)，在分支点处()，它成为其系数由下式给出：其中所有偏导数都在处取值。4.6 离散系统的分支 本节介绍离散系统的折叠(fold)分支、倍周期（period-doubling or flip）分支及N-S (Neimark-Sacker) 分支。 考虑单参数离散动力系统其中：关于及是光滑的。有时将该系统表示成设是系统在的一个不动点，即。一般来说，不满足双曲性条件的不动点有三种情形，其对应的Jacob矩阵有特征值，或,如图6.1所示。图6.1 易知，满足上述条件之一的非双曲不动点是结构不稳定的，都会发生分支现象。下面给出相关定义。定义6.1 离散系统的不动点，在是发生的分支称为折叠分支，在时发生的分支称为倍周期分支，在时发生的分支称为分支。显然，当系统的维数时，就可能发生前两种分支，而第三种分支要求。下面分别讨论这三种分支。4.6.1 折叠分支先看含单参数的一维动力系统该系统在时，有一个非双曲不动点，相应的特征值为，当充分小时，在邻域系统的相图如图6.2所示，其分支图如图6.3所示。图6.2图6.3由图6.3可知，当时，系统有两个不动点，其中是稳定的，是不稳定的；当时，系统有唯一的不动点；当时，系统无不动点。当由负经零变正时，系统的两个不动点重合继而消失，这就是折叠分支的特点。对于系统也可类似地分析其分支现象。关于折叠分支有下列定理：定理6.1 设一维单参数的离散系统其中光滑。设当时，为一个不动点。，且满足非退化条件和，则存在一个光滑的可逆变换将系统化为本定理的证明可参见46。还可以进一步忽略高阶项的影响，得到下列结论。定理6.2（折叠分支的范式） 满足定理6.1条件的一维单参数系统（6.1）在原点的小邻域内局部等价于下列系统之一：式（6.3）称为折叠分支的范式。4.6.2 倍周期分支 先看单参数的一维离散动力系统系统（6.4）有不动点，相应的特征值为。当时，该不动点是线性稳定的，当时，是线性不稳定的。当时，的相应特征值，它是非双曲的稳定不动点。对于小，在原点附近没有其它的不动点。 现在考虑映射系统（6.4）的二次迭代。令，则显然，映射有稳定的平凡不动点。对于，还有两个非平凡不动点，其中，见图6.4。图6.4这两个不动点是稳定的，且对原来的映射构成了一个周期-2环，即图6.5图6.5给出映射的不动点随变化的情况，并在平面上展示分支图，见图6.6。水平轴对应于系统（6.4）的平凡不动点（当时稳定，当时不稳定），抛物线对应当时存在稳定周期-2环。从到，平凡不动点稳定性发生改变，与此同时产生一个稳定的周期-2环，这就是所谓的倍周期分支现象。图6.6系统（6.4）发生的倍周期分支称为超临界（supercritical）的。对于系统，类似分析得知，它也在时发生倍周期分支现象，称为亚临界（subcritical）的。它们的主要区别在于分支后周期-2环的稳定性。前者产生稳定的周期-2环，后者产生不稳定周期-2环。关于倍周期分支的定理如下：定理6.3 考虑一维系统其中是光滑的。设当时有不动点，。如果下列非退化条件成立：（1）（2）。则存在光滑可逆的变换将原系统转化为系统。本定理的证明可见文献46。还可以进一步忽略高阶项的影响，得到以下定理：定理6.4（倍周期分支范式）考虑单参数的一维系统。它满足定理6.3的条件，则该系统在原点的小邻域内局部拓扑等价于范式。下面介绍一个具体的种群模型及其倍周期分支现象的特点。例6.1（Richer模型）考虑简单的种群模型其中表示在第年的种群密度，为增长率。该种群考虑了在密度较大时种群间的相互竞争。相应于上述模型的离散系统为对所有的参数，系统（6.5）都有平凡的不动点；当时，该系统还有非平凡的正不动点，相应的特征值。因此，当时，是稳定的；当时是不稳定的。在分支值处，该不动点的特征值为，因此发生倍周期分支，见图6.7。图6.7 易知，在分支值及不动点处，有满足定理6.3的非退化条件，因此当时，有一个稳定的周期-2环从处分支出来，这在时失去稳定性，经历又一次倍周期分支产生一个稳定的周期-4环。以后相继地失去稳定性和经历倍周期分支，分别在时产生一个稳定周期-8环，在时产生一个稳定的周期-16环，如此继续下去，得到一个分支值的无穷序列。在每个参数分支值处，周期为的极限环失去稳定性，分支出周期为的稳定极限环。进一步可以观察到前面几项的间距呈几何增长的趋势。事实上，当时，比率趋于常数称为费根鲍姆(Feigebaum)数，这种分支值的无穷序列称为费根鲍姆序列。值得注意的是，这个常数对许多经历倍周期分支行为的不同系统都是相同的，该性质称为费根鲍姆普适性（见下一章）。4.6.3 N-S分支 考虑含单参数的二维映射其中：是一个参数，和是光滑函数，且，。 显然，对所有的，是该映射的一个不动点，而且此点处的雅可比矩阵为该矩阵的特征值为。由此可知，映射（6.6）在原点附近对所有较小的都可逆。当时，不动点是非双曲的。为了进行分支分析，引入复变量，。令，则原系统化为其中：，皆为的复函数。 令，则式（6.6）在极坐标下可表示为其中：函数，关于光滑。由于在系统（6.8）中关于的映射与无关，所以可用系统（6.8）来分析经过时映射的分支情况。 系统（6.8）的第一个映射定义了一个一维动力系统，该映射对所有的有不动点。当时，该不动点是线性稳定的；当时为不稳定的；当时，其稳定性取决于系数的符号。假设，则该点是非线性稳定的。进一步，系统（6.8）中的第一个映射还有另一个不动点系统（6.8）的第二个映射描述了一个依赖于和的角度旋转，近似等于。因此，可以得到映射（6.6）的分支图，见图6.8。图6.8图6.9系统（6.8）总是有一个不动点，是稳定的，是不稳定的。原点附近的不变曲线分别与连续系统的稳定焦点（）和不稳定焦点（）附近的轨线形状类似。在分支值处，不动点是线性稳定的，当时不动点被唯一一个孤立的不变闭曲线所环绕，该曲线是半径为的稳定圆。所有在该闭曲线内外（除原点外）的轨线经系统（6.8）的迭代都趋于该闭曲线，这种分支称为N-S分支。在空间，N-S分支的闭不变曲线族形成了抛物面。关于的情形可以作类似分析，同样在处发生分支现象。不同之处在于，当时有不稳定的闭不变曲线，当由负经零变正时该闭曲线消失，见图6.9。注1 分支也分为超临界（）和亚临界（）。注2 关于系统（6.8）在闭不变曲线上的轨线结构取决于旋转数如果该旋转数是有理数，则曲线上所有的轨线都是周期的；相反，如果旋转数为无理数，则该曲线上无周期轨线，其上的所有轨线都是稠密的。 下面进一步考虑系统其中光滑依赖于。此时，高阶项确实影响着系统的分支行为，因而系统（6.9）的局部拓扑并不等价于截断系统（6.6）。事实上，在极坐标下表示系统（6.9），就可以发现关于的映射不仅依赖于，同时依赖于。然而，基于系统（6.6）和系统（6.9）的结构特点，它们仍有一些共同的性质，如下面定理所述：定理6.5 高阶项并不影响系统（6.9）的闭不变曲线的分支，即