高考数学一轮复习 第五章 数列 第一节 数列的概念与简单表示法学案 文.doc

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数知识点一数列的定义、分类与通项公式 1数列的定义(1)数列：按照_排列的一列数(2)数列的项：数列中的_2数列的分类3.数列的通项公式如果数列an的第n项与_之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式答案1(1)一定顺序(2)每一个数2有限无限3.序号n1给出下列有关数列的说法：(1)数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7；(2)数列1,3,5,7与数列7,5,3,1是同一数列；(3)数列1,3,5,7与数列1,3,5,7，是同一数列；(4)数列ann2的图象是一群孤立的点其中说法正确的序号是_解析：(1)错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的，这是数列与数集的差别(2)错误，两数列的数相同但排列次序不相同，不是相同的数列(3)错误，数列1,3,5,7是有限数列，而数列1,3,5,7，是无穷数列(4)正确答案：(4)2(必修p31练习第4(1)题改编)数列1，的一个通项公式an是_解析：由已知得，数列可写成，故通项为.答案：知识点二数列的递推公式 如果已知数列an的_(或_)，且任何一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即anf(an1)或anf(an1，an2)，那么这个式子叫做数列an的递推公式答案第一项前几项3(必修p31例3改编)在数列an中，a11，an1(n2)，则a4()a. b.c. d.解析：由题意知，a11，a22，a3，a4.答案：b4已知数列an中，an，an1a，则数列an是_数列(填“递增”或“递减”)解析：an1anaan(an1)2，又0an，1an1，即(an1)20，an1an0，即an1an对一切正整数n都成立，故数列an是递增数列答案：递增知识点三数列的前n项和与通项的关系 数列的前n项和通常用sn表示，记作_，则通项_若当n2时求出的an也适合n1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示答案sna1a2anan5数列an的前n项和snn21，则an_.解析：当n1时，a1s12；当n2时，ansnsn1(n21)(n1)21n2(n1)22n1，an答案：6若数列an的前n项和snan，则an的通项公式是an_.解析：当n1时，a11；当n2时，ansnsn1anan1，故2，故an(2)n1.当n1时，也符合an(2)n1.综上，an(2)n1.答案：(2)n1热点一由数列的前n项求数列的通项公式 【例1】(1)已知数列an的前4项为2,5,8,11，则数列an的一个通项公式是_(2)已知数列an的前4项为，则数列an的一个通项公式是_(3)如图所示，这是一个正六边形的序列，则第n个图形的边数为()a5n1 b6nc5n1 d4n2【解析】(1)从第二项起，每一项都比前一项大3，且每一项都比项数的3倍少1，故其通项公式可以为an3n1.(2)原数列为，对于分子1,3,6,10，其通项公式为bn，对于分母2,5,10,17，其通项公式为cnn21，故可得数列an的一个通项公式为an(1)n.(3)第一个图形是六边形，即a16，以后每个图形是在前一个图形的基础上增加5条边，所以a26511 ，a311516，观察可得选项c满足此条件【答案】(1)an3n1(2)an(1)n(3)c【总结反思】根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.(1)(2017湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是()aan(1)n11bancan2sindancos(n1)1(2)(2017石家庄模拟)把1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)则第7个三角形数是()a27 b28c29 d30解析：(1)对n1,2,3,4进行验证，an2sin不合题意，故选c.(2)由图可知，第7个三角形数是123456728.答案：(1)c(2)b热点二 an与sn关系的应用 考向1已知sn求an【例2】已知数列an的前n项和sn3n22n1，则其通项公式为_【解析】当n1时，a1s13122112，当n2时，ansnsn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式故数列的通项公式为an【答案】an若本例中条件“前n项和sn3n22n1”改为“前n项积为tn3n22n1”，求an.解：当n1时，a1t13122112，当n2时，an.显然当n1时，满足上式故数列的通项公式为an.考向2利用an与sn的关系求sn【例3】(2016新课标全国卷)设sn是数列an的前n项和，且a11，an1snsn1，则sn_.【解析】将an1转化为sn与sn1，再求解由已知得an1sn1snsn1sn，两边同时除以sn1sn，得1，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则1(n1)n，所以sn.【答案】【总结反思】数列的通项an与前n项和sn的关系是an当n1时，a1若适合snsn1，则n1的情况可并入n2时的通项an；当n1时，a1若不适合snsn1，则用分段函数的形式表示.(2016浙江卷)设数列an的前n项和为sn.若s24，an12sn1，nn*，则a1_，s5_.解析：由于解得a11，由an1sn1sn2sn1得sn13sn1，所以sn13(sn)，所以sn是以为首项，3为公比的等比数列，所以sn3n1，即sn，所以s5121.答案：1121热点三 由递推公式求通项公式 【例4】设数列an中，a12，an1ann1，则an_.【解析】由条件知an1ann1，则an(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)a1(234n)2.【答案】1若将“an1ann1”改为“an1an”，如何求解？解：an1an，.ana1，2.2若将“an1ann1”改为“an12an3”，如何求解？解：设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，解得t3.故an132(an3)令bnan3，则b1a135，且2.所以bn是以5为首项，2为公比的等比数列所以bn52n1，故an52n13.3若将“an1ann1”改为“an1”，如何求解？解：an1，a12，an0，即，又a12，则，是以为首项，为公差的等差数列(n1).an.4若将本例条件换为“a11，an1an2n”，如何求解？解：an1an2n，an2an12n2，故an2an2.即数列an是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列当n为偶数时，a21，故ana22n1.当n为奇数时，an1an2n，an1n(n1为偶数)，故ann.综上所述，ann1，nn*.【总结反思】由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且anan1f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1且f(n)，可用“累乘法”求an.(3)已知a1且an1qanb，则an1kq(ank)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列ank(4)形如an1(a，b，c为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解(5)形如an1anf(n)的数列，可将原递推关系改写成an2an1f(n1)，两式相减即得an2anf(n1)f(n)，然后按奇偶分类讨论即可.热点四 数列性质的应用 【例5】(1)(2017云南一模)在数列an中，a1，a2，anan21，则a2 016a2 017()a. b.c. d5(2)已知数列an的通项公式是ann2kn4.若k5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；对于nn*，都有an1an，求实数k的取值范围【解析】(1)因为a1，a2，anan21，所以a32，a43，a5，a6，即数列an是周期数列，周期为4，则a2 016a2 017a4a13，故选c.(2)解：由n25n40，解得1nan知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到nn*，所以3.所以实数k的取值范围为(3，)【答案】(1)c【总结反思】(1)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值(2)解决数列的单调性问题可用以下三种方法用作差比较法，根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列或是常数列用作商比较法，根据(an0或an0)，求导得到f(x)1.令f(x)0，解得x；令f(x)0，解得0x.所以f(n)n1在(，)上是递增的，在(0，)上是递减的，因为nn*，所以当n5或6时，f(n)可能取得最小值又因为，所以的最小值为.答案：(1)c(2)1数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列anf(n)和函数yf(x)的单调性是不同的2由sn